Докажем теперь одну теорему Адамара ${ }^{5}$, выясняющую общий характер движения консервативной голономной системы. Примем для простоты, что система состоит из одной материальной точки массы 1 , движущейся на гладкой поверхности под действием сил, имеющих потенциал $V$. Аналогичная теорема легко доказывается и для более сложных систем.

Пусть параметры $u$ и $v$ определяют положение точки на поверхности, элемент длины которой определяется формулой:
\[
d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2},
\]

где $E, F, G$ суть заданные функции от $u$ и $v$. Точка обладает кинетической энергией:
\[
T=\frac{1}{2}\left(E \dot{u}^{2}+2 F \dot{u} \dot{v}+G \dot{v}^{2}\right),
\]
${ }^{1}$ Annali di Mat., т. 5, стр. 221, 1901.
${ }^{2}$ Annali di Mat., т. 11, стр. 67, 1904.
${ }^{3}$ Verhand. d. K. Akad. v. Wetensch., т. 5, № 8, 1897; Archives Neerland (2), т. 1, стр. 229, 1897.
${ }^{4}$ Amsterdam Proc., т. 12, стр. $618,735,1910 ;$ т. 13, стр. 742, 1911; Archives Neerland (2), т. 15, стр. 246, 1910; (3a), стр. 185, 1912; Phil. Mag. (6), т. 26, стр. 268, 1913.
${ }^{5}$ Journ. de Math. (5), т. 3, cтp. 331.

и уравнения движения имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{u}}\right)-\frac{\partial T}{\partial u}=-\frac{\partial V}{\partial u}, \quad \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{v}}\right)-\frac{\partial T}{\partial v}=-\frac{\partial V}{\partial v} .
\]

Эти уравнения могут быть приведены к виду:
\[
\begin{aligned}
\left(E G-F^{2}\right) \ddot{u} & =-G \frac{\partial V}{\partial u}+F \frac{\partial V}{\partial v}+\dot{u}^{2}\left(F \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2} G \frac{\partial E}{\partial u}-\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial v}\right)+ \\
& +\dot{u} \dot{v}\left(F \frac{\partial G}{\partial u}-G \frac{\partial E}{\partial v}\right)+\dot{v}^{2}\left(\frac{1}{2} G \frac{\partial G}{\partial u}+\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial v}-G \frac{\partial F}{\partial v}\right), \\
\left(E G-F^{2}\right) \ddot{v} & =F \frac{\partial V}{\partial u}-E \frac{\partial V}{\partial v}+\dot{u}^{2}\left(\frac{1}{2} E \frac{\partial E}{\partial v}+\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial u}-E \frac{\partial F}{\partial u}\right)+ \\
& +\dot{u} \dot{v}\left(F \frac{\partial E}{\partial v}-E \frac{\partial G}{\partial u}\right)+\dot{v}^{2}\left(F \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2} E \frac{\partial G}{\partial v}-\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial u}\right) .
\end{aligned}
\]

Дифференцирование дает:
\[
\begin{array}{c}
\dot{V}=\frac{\partial V}{\partial u} \dot{u}+\frac{\partial V}{\partial v} \dot{v}, \\
\ddot{V}=\frac{\partial V}{\partial u} \ddot{u}+\frac{\partial V}{\partial v} \ddot{v}+\frac{\partial^{2} V}{\partial u^{2}} \dot{u}^{2}+2 \frac{\partial^{2} V}{\partial u \partial v} \dot{u} \dot{v}+\frac{\partial^{2} V}{\partial v^{2}} \dot{v}^{2} .
\end{array}
\]

Заменяя здесь $\ddot{u}$ и $\ddot{v}$ их значениями из предыдущих уравнений, будем иметь:
\[
\ddot{V}=-\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{E\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)^{2}-2 F \frac{\partial V}{\partial u} \frac{\partial V}{\partial v}+G\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)^{2}\right\}+\Phi(\dot{u}, \dot{v}),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\Phi(\dot{u}, \dot{v}) & =\left[\frac{\partial^{2} V}{\partial u^{2}}+\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{\frac{\partial V}{\partial u}\left(F \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2} G \frac{\partial E}{\partial u}-\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial v}\right)+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{\partial V}{\partial v}\left(\frac{1}{2} E \frac{\partial E}{\partial v}+\frac{1}{2} F \frac{\partial E}{\partial u}-E \frac{\partial F}{\partial u}\right)\right\}\right] \dot{u}^{2}+ \\
& +\left[2 \frac{\partial^{2} V}{\partial u \partial v}+\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{\frac{\partial V}{\partial u}\left(F \frac{\partial G}{\partial u}-G \frac{\partial E}{\partial v}\right)+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{\partial V}{\partial v}\left(F \frac{\partial E}{\partial v}-E \frac{\partial G}{\partial u}\right)\right\}\right] \dot{u} \dot{v}+ \\
& +\left[\frac{\partial^{2} V}{\partial v^{2}}+\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{\frac{\partial V}{\partial u}\left(\frac{1}{2} G \frac{\partial G}{\partial u}+\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial v}-G \frac{\partial F}{\partial v}\right)+\right.\right. \\
& \left.\left.+\frac{\partial V}{\partial v}\left(F \frac{\partial F}{\partial v}-\frac{1}{2} E \frac{\partial G}{\partial v}-\frac{1}{2} F \frac{\partial G}{\partial u}\right)\right\}\right] \dot{v}^{2} .
\end{aligned}
\]

Величины, входящие в это уравнение, могут быть выражены через инварианты изгибания ${ }^{1}$ поверхности. Основные инварианты изгибания поверхности с элементом длины
\[
d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2}
\]

суть дифференциальные параметры:
\[
\begin{aligned}
\Delta(\varphi, \psi) & =\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{E \frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial \psi}{\partial v}-F\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \psi}{\partial v}+\frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial \psi}{\partial u}\right)+G \frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \psi}{\partial u}\right\} . \\
\Delta_{1}(\varphi) & =\left(E G-F^{2}\right)^{-1}\left\{E\left(\frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)^{2}-2 F \frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \varphi}{\partial v}+G\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u}\right)^{2}\right\} \\
\Delta_{2}(\varphi) & =\left(E G-F^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\left[\frac{\partial}{\partial u}\left\{\left(E G-F^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(G \frac{\partial \varphi}{\partial u}-F \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)\right\}+\right. \\
& \left.+\frac{\partial}{\partial v}\left\{\left(E G-F^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(-F \frac{\partial \varphi}{\partial u}+E \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)\right\}\right]
\end{aligned}
\]

где $\varphi$ и $\psi$ – произвольные функции от $u$ и $v$.
При помощи этих обозначений последнее уравнение может быть записано в виде:
\[
\ddot{V}=-\Delta_{1}(V)+\Phi(\dot{u}, \dot{v}) .
\]

Используя интеграл энергии
\[
E \dot{u}^{2}+2 F \dot{u} \dot{v}+G \dot{v}^{2}=2(h-V)
\]

и замечая, что выражение:
\[
\frac{\Phi(\dot{u}, \dot{v})}{E \dot{u}^{2}+2 F \dot{u} \dot{v}+G \dot{v}^{2}}-\frac{\Phi\left(\frac{\partial V}{\partial v},-\frac{\partial V}{\partial u}\right)}{E\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)^{2}-2 F\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)+G\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)^{2}}
\]

содержит величину $\dot{u} \frac{\partial V}{\partial u}+\dot{v} \frac{\partial V}{\partial v}$ в качестве множителя, мы можем написать:
\[
\ddot{V}=-\Delta_{1}(V)+\frac{2(h-V) I_{V}}{\Delta_{1}(V)}+(\lambda \dot{u}+\mu \dot{v}) \dot{V},
\]

где $\lambda$ и $\mu$ содержат в знаменателе только величину:
\[
E\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)^{2}-2 F\left(\frac{\partial V}{\partial v}\right)\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)+G\left(\frac{\partial V}{\partial u}\right)^{2}
\]
${ }^{1}$ Определение инвариантов изгибания дано в подстрочном примечании на стр. 126 .

a $I$ означает выражение:
\[
\frac{\Phi\left(\frac{\partial V}{\partial v},-\frac{\partial V}{\partial u}\right)}{\left(E G-F^{2}\right)}
\]

Нетрудно видеть, что $I_{V}$ может быть представлено в виде:
\[
I_{V}=\Delta_{1}(V) \Delta_{2}(V)-\frac{1}{2} \Delta\left\{V, \Delta_{1}(V)\right\} .
\]

Рассмотрим на траектории точку, в которой $V$ имеет минимум. Для нее $V=0$ и $\ddot{V}$ положительно. Так как $\Delta_{1}$ положительно ( $d s^{2}$ есть определенная положительная форма), то $I_{V} \geqslant 0$, причем знак равенства имеет место только тогда, когда $\Delta_{1}(V)$ равно нулю, т. е. для положения равновесия.

Когда точка описывает траекторию, функция $V$ либо принимает бесчисленное множество чередующихся друг с другом максимумов и минимумов (общий случай), либо, начиная с определенной точки, изменяется в одном направлении (частный случай). Допустим сначала, что имеет место первый из этих случаев. Разложим поверхность на две такие области, что в одной из них $I_{V}>0$, а в другой $I_{V}<0$. Тогда из вышесказанного следует, что первая из этих областей содержит все точки траекторий, в которых $V$ имеет минимум, т. е., вообще говоря, бесчисленное множество отрезков траекторий, каждый из которых имеет конечную длину. Напротив, во второй области, где $I_{V}<0$, материальная точка не может оставаться постоянно. На этом основании обе эти области называются соответственно притягивающей и отталкивающей областями. В общем случае существуют одновременно обе эти области. Ибо нетрудно видеть, что все изолированные точки поверхности, в которых $V$ имеет минимум, т. е. точки, в которых возможно устойчивое равновесие, лежат в притягивающей области, а все точки, в которых $V$ имеет максимум, лежат в отталкивающей области.

Интересно сопоставить этот результат с аналогичным положением при движении точки с одной степенью свободы, например, при движении точки по заданной кривой под действием силы, зависящей только от положения. В этом случае точка либо описывает бесконечно большой путь в определенном направлении, либо колеблется около положения устойчивого равновесия. Притягивающая область при движении с двумя степенями свободы соответствует положению устойчивого равновесия при движении с одной степенью свободы.

Допустим теперь, что мы имеем дело со вторым случаем, т. е. что, начиная с некоторого момента времени, функция $V$ изменяется в одном направлении. Мы будем предполагать, что поверхность нигде не простирается в бесконечность и не имеет особых точек, а функция $V$ – правильна во всех точках поверхности. Так как функция $V$ изменяется в одном направлении, то она необходимо стремится к некоторому определенному пределу, а $\dot{V}$ и $\ddot{V}$ стремятся к нулю.
Из равенства
\[
\ddot{V}=\frac{-\Delta_{1}(V)+2(h-V) I_{V}}{\Delta_{1}(V)+(\lambda \dot{u}+\mu \dot{v}) \dot{V}}
\]

мы видим, что $\lambda$ и $\mu$ конечны, а последний член правой части бесконечно мал, когда $\Delta_{1}(V)$ не очень мало. Следовательно, либо существуют сколь угодно большие значения $t$, для которых $I_{V}>0$ (и тогда отрезок траектории, лежащей в притягивающей области, превосходит по длине на любую заданную величину), либо же $\Delta_{1}(V)$ стремится к нулю. Последнее возможно только тогда, когда $\frac{\partial V}{\partial u}$ и $\frac{\partial V}{\partial v}$ обращаются в нуль. Поэтому, если на поверхности существует только конечное число положений равновесия (что в большинстве случаев действительно имеет место), то материальная точка приближается к одному из этих положений со скоростью, стремящейся к нулю. Такого рода положение равновесия будет неустойчивым, так как при обращении движения материальная точка, находясь в начальный момент вблизи положения равновесия и имея малую скорость, будет с течением времени отдаляться от этого положения, что находится в противоречии с определением устойчивости.

Таким образом, мы получаем окончательно теорему Адамара, которую мы сформулируем следующим образом: Если материальная точка может свободно двигаться на поверхности, нигде не простирающейся в бесконечность и не имеющей нигде особых точек, и если потенциальная энергия есть функция правильная во всех точках поверхности и имеет на ней только конечное число максимумов и минимумов, то либо длина отрезка траектории, лежащего в притягивающей области, превышает всякое заданное число, либо траектория приблщатся асимптотически к положению неустойчивого равновесия.
ЗАДАчА 1. Показать, что если рассматривать все значения $t$ от $-\infty$ до $+\infty$, то часть траектории материальной точки лежит в притягивающей области.