Рассмотрим динамическую систему, для которой в уравнениях движения:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

функция $H$ не содержит явно времени.
Система из $2 n$ совокупных алгебраических уравнений:
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=0, \quad \frac{\partial H}{\partial q_{r}}=0, \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

определяет в общем случае одну или несколько систем значений $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Каждой такой системе значений соответствует либо положение равновесия, либо стационарное состояние движения. Мы будем исходить из какой-либо одной из этих систем значений $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ и покажем, как можно найти ряды, представляющие то движение системы, которое стремится в пределе к соответствующему этой системе значений положению равновесия или стационарному состоянию движения. Так, например, если рассматривать движение математического маятника около его положения равновесия, при котором маятник расположен вертикально вниз, то наша цель будет заключаться в нахождении тех рядов, которые отвечают колебательному движению маятника.

Если ввести новые переменные $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}$, определяемые уравнениями:
\[
q_{r}=a_{r}+q_{r}^{\prime}, \quad p_{r}=b_{r}+p_{r}^{\prime} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

то уравнения движения примут вид:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}}, \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Для достаточно малых значений новых переменных функция $H$ может быть разложена в ряд:
\[
H=H_{0}+H_{1}+H_{2}+H_{3}+\ldots,
\]

где $H_{k}$ означает совокупность членов $k$-го порядка относительно переменных.

Величина $H_{0}$ как постоянная может быть отброшена. Что же касается $H_{1}$, то так как дифференциальные уравнения должны удовлетворяться при $q_{1}^{\prime}=q_{2}^{\prime}=\cdots=q_{n}^{\prime}=p_{1}^{\prime}=p_{2}^{\prime}=\cdots=p_{n}^{\prime}=0$, то оно обращается тождественно в нуль. Следовательно, разложение $H$ начинается членом $\mathrm{H}_{2}$, который (при опускании штрихов) может быть написан в виде:
\[
H_{2}=\frac{1}{2} \sum\left(a_{r r} q_{r}^{2}+2 a_{r s} q_{r} q_{s}\right)+\sum b_{r s} q_{r} p_{s}+\frac{1}{2} \sum\left(c_{r r} p_{r}^{2}+2 c_{r s} p_{r} p_{s}\right),
\]

где
\[
a_{r s}=a_{s r}, \quad c_{r s}=c_{s r},
\]

но $b_{r s}$, вообще говоря, отличен от $b_{s r}$. Если пренебречь членами $H_{3}, H_{4}, \ldots$ по сравнению с $H_{2}$, то мы придем к обычной задаче колебаний (гл. VII).