Мы будем различать двоякого рода динамические системы, различие которых весьма существенно при аналитическом исследовании движения. Это различие мы поясним на простом примере.
Рассмотрим движение шара данного радиуса, который при своем движении все время касается некоторой неподвижной плоскости, которую мы примем за плоскость $x y$. Положение шара в каждое мгновение вполне определяется пятью координатами: двумя прямоугольными координатами $x, y$ центра шара и тремя углами Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$, определяющими вращение шара вокруг своего центра. Шар может занимать любое положение, при котором он сохраняет соприкасание с плоскостью, поэтому все пять координат $x, y, \vartheta, \varphi, \psi$ могут принимать любые значения.
Если плоскость – гладкая, то перемещение из положения с координатами $x, y, \vartheta, \varphi, \psi$ в бесконечно близкое положение, определяемое координатами $x+\delta x, y+\delta y, \vartheta+\delta \vartheta, \varphi+\delta \varphi, \psi+\delta \psi$, где $\delta x, \delta y, \delta \vartheta, \delta \varphi, \delta \psi-$ любые бесконечно малые величины, является возможным перемещением, т. е. шар может выполнить это перемещение без нарушения наложенных на него связей. Но если плоскость является абсолютно шероховатой, то это перемещение при произвольных $\delta x, \delta y, \delta \vartheta, \delta \varphi, \delta \psi$ не будет возможным. В самом деле, перемещение точки касания (с точностью до величин порядка выше первого) должно равняться нулю, и поэтому величины $\delta x, \delta y, \delta \vartheta, \delta \varphi, \delta \psi$ не являются более независимыми. В рассматриваемом случае эти величины удовлетворяют двум неинтегрируемым линейным дифференциальным уравнениям. Таким образом для шара, находяшегося на абсолютно шероховатой плоскости, перемешение, определяемое произвльными бесконечно малыми изменениями координат, не является обязательно возможным.
Система называется голономной, если всякое перемещение, определяемое любым бесконечно малым изменением координат, является возможным (например, шар на гладкой плоскости), в противном случае система называется неголономной (например, шар на шероховатой плоскости).
Произвольные бесконечно малые изменения $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{n}$ координат динамической системы, которые для голономной системы всегда определяют возможное движение, должны для неголономной системы удовлетворять некоторому числу $m$ уравнений связей, для того чтобы они определяли возможное движение. Число $n-m$ называется числом степеней свободы. Голономные системы характеризуются, следовательно, тем, что для них число степеней свободы всегда равно числу независимых координат, необходимых для определения конфигурации системы.
