В предыдущем параграфе мы видели, что введением новых координат, являющихся линейными функциями первоначальных, можно кинетическую и потенциальную энергии колеблющейся системы привести к виду:
$$\begin{array}{rl}T& =\frac{1}{2}({\dot{q}}_1^2+{\dot{q}}_2^2+\cdots +{\dot{q}}_n^2),\\ V& =\frac{1}{2}({\lambda }_1{q}_1^2+{\lambda }_2{q}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{q}_n^2).\end{array}$$

Теперь встает вопрос, будет ли это преобразование действительным, т. е. будут ли коэффициенты преобразования $m_1,m_2,\dots ,m_n,h_1$, $h_2,\dots ,h_n$ действительными или комплексными. Так как эти коэффициенты определяются линейными уравнениями, коэффициенты которых за исключением, быть может, корней ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ несомненно действительны, то задача сводится к исследованию, будут ли корни уравнения
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}\lambda -b_{11}& a_{12}\lambda -b_{12}& \dots & a_{1n}\lambda -b_{1n}\\ a_{21}\lambda -b_{21}& a_{22}\lambda -b_{22}& \dots & a_{2n}\lambda -b_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}\lambda -b_{n1}& a_{n2}\lambda -b_{n2}& \dots & a_{nn}\lambda -b_{nn}\end{array}\right|=0$$

действительными. При этом известно, что величины $a_{rs}$ и $b_{rs}$ действительны и что форма
$$a_{11}{\dot{q}}_1^2+a_{22}{\dot{q}}_2^2+\cdots +a_{nn}{\dot{q}}_n^2+2a_{12}{\dot{q}}_1{\dot{q}}_2+\cdots +2a_{n-1,n}{\dot{q}}_{n-1}{\dot{q}}_n$$

является определенной положительной.
${}^1$ Cм. Muths. Elementarteiler, Leipzig 1899, или Bôcher, Einführung in die höhere Algebra, Leipzig 1910. (Есть русский перевод: Бохер, Введение в высшую алгебру, ОНТИ, 1934.)
${}^2$ Cм. Weierstrass, Gesammelte werke, т. 1, стр. 233.

Пусть ${}^1\mathrm{\Delta }$ означает определитель $\Vert a_{rs}\lambda -b_{rs}\Vert ,{\mathrm{\Delta }}_1$ — определитель, получающийся вычеркиванием из $\mathrm{\Delta }$ первой строки и первого столбца, ${\mathrm{\Delta }}_2$ — вычеркиванием первых двух строк и первых двух столбцов, и т. д. Как известно, для всякого симметрического определителя
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}& \dots & {\alpha }_{1n}\\ {\alpha }_{21}& {\alpha }_{22}& \dots & {\alpha }_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ {\alpha }_{n1}& {\alpha }_{n2}& \dots & {\alpha }_{nn}\end{array}\right|$$

имеет место соотношение:
$$\frac{\partial D}{\partial {\alpha }_{11}}\frac{\partial D}{\partial {\alpha }_{22}}-{\left(\frac{\partial D}{\partial {\alpha }_{12}}\right)}^2=D\frac{{\partial }^{2}D}{\partial {\alpha }_{11}\partial {\alpha }_{22}}.$$

Поэтому, если $\frac{\partial D}{\partial {\alpha }_{11}}$ обращается в нуль, то величины $D$ и $\frac{{\partial }^{2}D}{\partial {\alpha }_{11}\partial {\alpha }_{22}}$ имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что если при какомнибудь значении $\lambda$ один из членов ряда:
$$\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n({\mathrm{\Delta }}_n=1)$$

обращается в нуль, то при том же значении $\lambda$ два следующих члена должны иметь противоположные знаки.

Пусть ${\overline{\mathrm{\Delta }}}_r$ означает определитель, который получается из $\mathrm{\Delta }$, если в нем $\lambda$ заменить единицей, а величины $b_{rs}$ положить равными нулю. ${\overline{\mathrm{\Delta }}}_r$ есть, следовательно, коэффициент при наивысшей степени $\lambda$ в ${\mathrm{\Delta }}_r$. Так как
$$a_{11}{\dot{q}}_1^2+a_{22}{\dot{q}}_2^2+\cdots +a_{nn}{\dot{q}}_n^2+2a_{12}{\dot{q}}_1{\dot{q}}_2+\cdots +2a_{n-1,n}{\dot{q}}_{n-1}{\dot{q}}_n$$

есть определенная положительная форма, то величина ${\mathrm{\Delta }}_r$ — положительна при всяком $r$ от нуля до $n$. Поэтому все коэффициенты при наивысших степенях $\lambda$ в функциях $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n$ имеют одинаковые знаки. Отсюда вытекает, что при изменении $\lambda$ от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$ в этом ряде функций потеряется $n$ перемен знака.

Но так как ${\mathrm{\Delta }}_n$ отличен от нуля, а ${\mathrm{\Delta }}_{r-1}$ и ${\mathrm{\Delta }}_{r+1}$ имеют противоположные знаки, когда ${\mathrm{\Delta }}_r$ обращается в нуль, то ряд функций $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n$ может только тогда потерять или получить перемену знака, когда $\lambda$ проходит через нулевое значение величины $\mathrm{\Delta }$. Когда $\lambda$ изменяется от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$, этот ряд функций теряет $n$ перемен знака; поэтому все $n$ корней определителя $\mathrm{\Delta }$ действительны. Преобразование к нормальным координатам всегда действительно².
${}^1$ Приводимое доказательство принадлежит Нансону (Nanson, Mess. of Math., т. 26, стр. 59,1896 ).
${}^2$ Sylvester, Phil. Mag., cep. 4, т. 4, стр. 1852; Coll. Papers, т. 1, стр. 378.

Так как при переходе $\lambda$ через нулевое значение определителя $\mathrm{\Delta }$ паpa функций $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}_1$ теряет одну перемену знака, то ${\mathrm{\Delta }}_1$ необходимо меняет знак в интервале между двумя корнями $\mathrm{\Delta }$. Следовательно, $n$ корней определителя $\mathrm{\Delta }$ разделяются $n-1$ корнями определителя ${\mathrm{\Delta }}_1$. Точно так же корни любой из функций ${\mathrm{\Delta }}_r$ разделяются корнями функции ${\mathrm{\Delta }}_{r+1}$. Но ${\mathrm{\Delta }}_n$ не имеет никаких корней; если ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ имеет одинаковые знаки при $\lambda =0$ и $\lambda =-\mathrm{\infty }$, то корень функции ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ не может быть отрицательным. Если также функция ${\mathrm{\Delta }}_{n-2}$ имеет одинаковые знаки при $\lambda =0$ и $\lambda =-\mathrm{\infty }$, то ее корни не могут быть отрицательными. Ибо при этом предположении ${\mathrm{\Delta }}_{n-2}$ либо совсем не имеет отрицательных корней, либо он их имеет два. Последнее, однако, невозможно, так как ${\mathrm{\Delta }}_{n-1}$ не имеет отрицательного корня, который мог бы разделить отрицательные корни величины ${\mathrm{\Delta }}_{n-2}$. Вообще справедливо следующее положение: для того, чтобы ни одна функция из ряда $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\dots ,{\mathrm{\Delta }}_n$ не имела отрицательных корней, необходимо, чтобы каждая из этих функций имела одинаковые знаки при $\lambda =0$ и $\lambda =-\mathrm{\infty }$. Таким образом, для того, чтобы все корни определителя $\mathrm{\Delta }$ были положительны, необходимо, чтобы каждая из величин ${\mathrm{\Delta }}_r$ имела при $\lambda =0$ знак величины $(-1{)}^{n-r}$, т. е. чтобы все определители
$$\left|\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \dots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \dots & b_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ b_{n1}& b_{n2}& \dots & b_{nn}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cccc}{b}_{22}& b_{23}& \dots & b_{2n}\\ b_{32}& b_{33}& \dots & b_{3n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ b_{n2}& b_{n3}& \dots & b_{nn}\end{array}\right|,\dots ,,b_{nn}$$

были положительными. Но в этом, как известно, заключается условие положительности формы:
$$b_{11}{q}_1^2+b_{22}{q}_2^2+\cdots +b_{nn}{q}_n^2+2b_{12}{q}_1{q}_2+\cdots +2b_{n-1,n}{q}_{n-1}{q}_n.$$

Следовательно: для того, чтобы детерминантное уравнение $\Vert a_{rs}\lambda -b_{rs}\Vert =0$ имело только положительные корни, необходимо, чтобы квадратичная форма
$$b_{11}{q}_1^2+b_{22}{q}_2^2+\cdots +b_{nn}{q}_n^2+2b_{12}{q}_1{q}_2+\cdots +2b_{n-1,n}{q}_{n-1}{q}_n$$

была определенной положительной, т. е. потенциальная энергия колебательного движения была существенно положительной.