В предыдущем параграфе мы видели, что введением новых координат, являющихся линейными функциями первоначальных, можно кинетическую и потенциальную энергии колеблющейся системы привести к виду:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \\
V & =\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} q_{1}^{2}+\lambda_{2} q_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n} q_{n}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Теперь встает вопрос, будет ли это преобразование действительным, т. е. будут ли коэффициенты преобразования $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}, h_{1}$, $h_{2}, \ldots, h_{n}$ действительными или комплексными. Так как эти коэффициенты определяются линейными уравнениями, коэффициенты которых за исключением, быть может, корней $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ несомненно действительны, то задача сводится к исследованию, будут ли корни уравнения
\[
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} \lambda-b_{11} & a_{12} \lambda-b_{12} & \ldots & a_{1 n} \lambda-b_{1 n} \\
a_{21} \lambda-b_{21} & a_{22} \lambda-b_{22} & \ldots & a_{2 n} \lambda-b_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n 1} \lambda-b_{n 1} & a_{n 2} \lambda-b_{n 2} & \ldots & a_{n n} \lambda-b_{n n}
\end{array}\right|=0
\]

действительными. При этом известно, что величины $a_{r s}$ и $b_{r s}$ действительны и что форма
\[
a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\cdots+a_{n n} \dot{q}_{n}^{2}+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\cdots+2 a_{n-1, n} \dot{q}_{n-1} \dot{q}_{n}
\]

является определенной положительной.
${ }^{1}$ Cм. Muths. Elementarteiler, Leipzig 1899, или Bôcher, Einführung in die höhere Algebra, Leipzig 1910. (Есть русский перевод: Бохер, Введение в высшую алгебру, ОНТИ, 1934.)
${ }^{2}$ Cм. Weierstrass, Gesammelte werke, т. 1, стр. 233.

Пусть $^{1} \Delta$ означает определитель $\left\|a_{r s} \lambda-b_{r s}\right\|, \Delta_{1}$ – определитель, получающийся вычеркиванием из $\Delta$ первой строки и первого столбца, $\Delta_{2}$ – вычеркиванием первых двух строк и первых двух столбцов, и т. д. Как известно, для всякого симметрического определителя
\[
D=\left|\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \ldots & \alpha_{1 n} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \ldots & \alpha_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\alpha_{n 1} & \alpha_{n 2} & \ldots & \alpha_{n n}
\end{array}\right|
\]

имеет место соотношение:
\[
\frac{\partial D}{\partial \alpha_{11}} \frac{\partial D}{\partial \alpha_{22}}-\left(\frac{\partial D}{\partial \alpha_{12}}\right)^{2}=D \frac{\partial^{2} D}{\partial \alpha_{11} \partial \alpha_{22}} .
\]

Поэтому, если $\frac{\partial D}{\partial \alpha_{11}}$ обращается в нуль, то величины $D$ и $\frac{\partial^{2} D}{\partial \alpha_{11} \partial \alpha_{22}}$ имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что если при какомнибудь значении $\lambda$ один из членов ряда:
\[
\Delta, \Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots, \Delta_{n} \quad\left(\Delta_{n}=1\right)
\]

обращается в нуль, то при том же значении $\lambda$ два следующих члена должны иметь противоположные знаки.

Пусть $\bar{\Delta}_{r}$ означает определитель, который получается из $\Delta$, если в нем $\lambda$ заменить единицей, а величины $b_{r s}$ положить равными нулю. $\bar{\Delta}_{r}$ есть, следовательно, коэффициент при наивысшей степени $\lambda$ в $\Delta_{r}$. Так как
\[
a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}+\cdots+a_{n n} \dot{q}_{n}^{2}+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+\cdots+2 a_{n-1, n} \dot{q}_{n-1} \dot{q}_{n}
\]

есть определенная положительная форма, то величина $\Delta_{r}$ – положительна при всяком $r$ от нуля до $n$. Поэтому все коэффициенты при наивысших степенях $\lambda$ в функциях $\Delta, \Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots, \Delta_{n}$ имеют одинаковые знаки. Отсюда вытекает, что при изменении $\lambda$ от $-\infty$ до $+\infty$ в этом ряде функций потеряется $n$ перемен знака.

Но так как $\Delta_{n}$ отличен от нуля, а $\Delta_{r-1}$ и $\Delta_{r+1}$ имеют противоположные знаки, когда $\Delta_{r}$ обращается в нуль, то ряд функций $\Delta, \Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots, \Delta_{n}$ может только тогда потерять или получить перемену знака, когда $\lambda$ проходит через нулевое значение величины $\Delta$. Когда $\lambda$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$, этот ряд функций теряет $n$ перемен знака; поэтому все $n$ корней определителя $\Delta$ действительны. Преобразование к нормальным координатам всегда действительно².
${ }^{1}$ Приводимое доказательство принадлежит Нансону (Nanson, Mess. of Math., т. 26, стр. 59,1896 ).
${ }^{2}$ Sylvester, Phil. Mag., cep. 4, т. 4, стр. 1852; Coll. Papers, т. 1, стр. 378.

Так как при переходе $\lambda$ через нулевое значение определителя $\Delta$ паpa функций $\Delta, \Delta_{1}$ теряет одну перемену знака, то $\Delta_{1}$ необходимо меняет знак в интервале между двумя корнями $\Delta$. Следовательно, $n$ корней определителя $\Delta$ разделяются $n-1$ корнями определителя $\Delta_{1}$. Точно так же корни любой из функций $\Delta_{r}$ разделяются корнями функции $\Delta_{r+1}$. Но $\Delta_{n}$ не имеет никаких корней; если $\Delta_{n-1}$ имеет одинаковые знаки при $\lambda=0$ и $\lambda=-\infty$, то корень функции $\Delta_{n-1}$ не может быть отрицательным. Если также функция $\Delta_{n-2}$ имеет одинаковые знаки при $\lambda=0$ и $\lambda=-\infty$, то ее корни не могут быть отрицательными. Ибо при этом предположении $\Delta_{n-2}$ либо совсем не имеет отрицательных корней, либо он их имеет два. Последнее, однако, невозможно, так как $\Delta_{n-1}$ не имеет отрицательного корня, который мог бы разделить отрицательные корни величины $\Delta_{n-2}$. Вообще справедливо следующее положение: для того, чтобы ни одна функция из ряда $\Delta, \Delta_{1}, \Delta_{2}, \ldots, \Delta_{n}$ не имела отрицательных корней, необходимо, чтобы каждая из этих функций имела одинаковые знаки при $\lambda=0$ и $\lambda=-\infty$. Таким образом, для того, чтобы все корни определителя $\Delta$ были положительны, необходимо, чтобы каждая из величин $\Delta_{r}$ имела при $\lambda=0$ знак величины $(-1)^{n-r}$, т. е. чтобы все определители
\[
\left|\begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1 n} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \ldots & b_{n n}
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cccc}
b_{22} & b_{23} & \ldots & b_{2 n} \\
b_{32} & b_{33} & \ldots & b_{3 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
b_{n 2} & b_{n 3} & \ldots & b_{n n}
\end{array}\right|, \quad \ldots, \quad, b_{n n}
\]

были положительными. Но в этом, как известно, заключается условие положительности формы:
\[
b_{11} q_{1}^{2}+b_{22} q_{2}^{2}+\cdots+b_{n n} q_{n}^{2}+2 b_{12} q_{1} q_{2}+\cdots+2 b_{n-1, n} q_{n-1} q_{n} .
\]

Следовательно: для того, чтобы детерминантное уравнение $\left\|a_{r s} \lambda-b_{r s}\right\|=0$ имело только положительные корни, необходимо, чтобы квадратичная форма
\[
b_{11} q_{1}^{2}+b_{22} q_{2}^{2}+\cdots+b_{n n} q_{n}^{2}+2 b_{12} q_{1} q_{2}+\cdots+2 b_{n-1, n} q_{n-1} q_{n}
\]

была определенной положительной, т. е. потенциальная энергия колебательного движения была существенно положительной.