Важнейшим случаем центрального движения является тот, в котором величина центральной силы зависит только от расстояния $r$. Если эту силу обозначить через $f(r)$, то будем иметь дифференциальное уравнение траектории
\[
\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}+u=\frac{f(r)}{h^{2} u^{2}} .
\]

Интеграция его дает:
\[
\left(\frac{d u}{d \vartheta}\right)^{2}=c-\frac{2}{h^{2}} \int^{r} f(r) d r-u^{2},
\]

где $c$ – постоянная. Повторной интеграцией находим уравнение траектории в полярных координатах:
\[
\vartheta=\int^{r}\left\{c-\frac{2}{h^{2}} \int^{r} f(r) d r-\frac{1}{r^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}} \frac{d r}{r^{2}} .
\]

Если с помощью этого уравнения определить $r$ в функции от $\vartheta$, то это дает время в виде интеграла:
\[
t=\frac{1}{h} \int^{\vartheta} r^{2} d \vartheta+\text { const. }
\]

Таким образом, если сила зависит только от расстояния, то задача центрального движения всегда разрешима в квадратурах.
ЗАДАчА 1. Показать, что дифференциальные уравнения движения материальной точки всегда разрешимы в квадратурах, если центральная сила $F$ имеет вид:
\[
F=\frac{\Phi(\vartheta)}{r^{2}(a t+b)},
\]

где $\Phi$ – функция только $\vartheta$, а $a$ и $b$ – произвольные постоянные. (Armellini.)
Рассмотрим теперь частный случай, когда центральная сила есть положительная или отрицательная целая степень расстояния, т. е. пропорциональна его $n$-й степени, и исследуем случаи, когда квадратуры выполнимы с помощью известных функций. Разберем прежде всего задачи, которые могут быть решены в круговых функциях. Вышенаписанный интеграл, определяющий $\vartheta$, может быть представлен в форме:
\[
\vartheta=\int\left(a+b u^{2}+c u^{-n-1}\right)^{-\frac{1}{2}} d u,
\]

где $a, b, c$ – постоянные, кроме случая $n=-1$, когда вместо $u^{-n-1}$ будет стоять логарифм. Если потребовать, чтобы задача решалась в круговых функциях, то получим условие: полином, стоящий под корнем интеграла, может иметь высшей степенью число, не превышающее двух. Отсюда следует, что $-n-1=0,1,2$, т. е.
\[
n=-1,-2,-3 \text {. }
\]

Случай $n=-1$, на основании предыдущего замечания, исключается. Следует еще присоединить случай $n=1$, так как при этом подрадикальное выражение, введением $u^{2}$ в качестве новой переменной, приводится к квадратному трехчлену.

Выясним теперь, в каких случаях интеграция выполняется в эллиптических функциях ${ }^{1}$.

Для этого подкоренной полином должен быть третьей или четвертой степени относительно переменной интегрирования ${ }^{2}$. При независимой переменной $u$ это выполняется, если $n=0,-4,-5$. Кроме того, если принять за новую переменную $u^{2}$, то условие будет выполнено и для
\[
n=3,5,-7 .
\]

Таким образом, задача центрального движения, в которой сила пропорциональна $n$-й степени расттояния, может быть разрешена в круговых или эллиптических функция в следующих случаях:
\[
n=5,3,1,0,-2,-3,-4,-5,-7 .
\]

ЗАДАчА 2. Показать, что задача может быть решена в эллиптических функциях, если $n$ имеет значения:
\[
n=-\frac{3}{2},-\frac{5}{2},-\frac{1}{3},-\frac{5}{3},-\frac{7}{3} .
\]

Общим случаем дробных значений $n$ занимался Нобиле (Nobile, Giornale di Mat., т. 46, стр. 313, 1908).

Особый интерес представляют задачи, разрешаемые в круговых функциях; им, как мы видели, соответствуют значения $n=1,-2,-3$. Случай $n=-2$ рассмотрим в ближайшем параграфе. При $n=1$ и $n=-3$ можно поступить следующим образом:
1. $n=1$.
Притягивающая сила будет:
\[
f(r)=\mu r .
\]

Для определения траектории получим равенство:
\[
\vartheta=-\int^{u}\left(c-\frac{\mu}{h^{2} u^{2}}-u^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d u=-\frac{1}{2} \int^{v}\left(c v-\frac{\mu}{h^{2}}-v^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} d v,
\]

где $u^{2}=v$, таким образом
\[
2 \vartheta=-\int^{v}\left\{\left(\frac{c^{2}}{4}-\frac{\mu}{h^{2}}\right)-\left(v-\frac{c}{2}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} d v
\]
${ }^{1}$ Этот случай впервые иселедовал Лежандр (Théories des Fonctions Elliptiques, 1825), затем Штадер (J. F. Stader. Journal f. Math., т. 46, стр. 262, 1853).
${ }^{2}$ Уиттекер и Ватсон. Курс современного анализа, §22, 7.

или, обозначая постоянную интегрирования через $\gamma$ :
\[
2(\vartheta-\gamma)=\arccos \frac{v-\frac{c}{2}}{\left(\frac{c^{2}}{4}-\frac{\mu}{h^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}},
\]

откуда
\[
\frac{1}{r^{2}}=\frac{c}{2}+\left(\frac{c^{2}}{4}-\frac{\mu}{h^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \cos (2 \vartheta-2 \gamma) .
\]

Это есть центральное уравнение эллипса (если $\mu>0$ ) или гиперболы (если $\mu<0$ ).

Следовательно, траектории представляют конические сечения, центр которых находится в центре притяжения ${ }^{1}$.
2. $n=-3$.
Центральная сила будет:
\[
f(r)=\frac{\mu}{r^{3}} .
\]

Следовательно, будем иметь:
\[
\vartheta=-\int^{u}\left\{c+\left(\frac{\mu}{h^{2}}-1\right) u^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} d u .
\]

Интегрирование дает:
\[
\begin{array}{l}
u=A \cos (k \vartheta+\varepsilon), \text { если } \mu<h^{2} \quad \text { и где } \quad k^{2}=1-\frac{\mu}{h^{2}}, \\
u=A \operatorname{ch}(k \vartheta+\varepsilon), \quad \text { если } \quad \mu>h^{2} \quad \text { и где } \quad k^{2}=\frac{\mu}{h^{2}}-1, \\
u=A \vartheta+\varepsilon, \quad \text { если } \quad \mu=h^{2} ; \\
\end{array}
\]

во всех трех равенствах $A$ и $\varepsilon$ означают постоянные интегрирования. Эти кривые иногда называют спиралями Котса (Cotes). Последняя кривая есть обратная спираль ${ }^{2}$.

В связи с силами, которые обратно пропорциональны третьей степени расстояния, можно сделать следующее замечание: пусть
\[
r=f(\vartheta)
\]
${ }^{1}$ Ньютон нашел, что если точка описывает эллипс под действием силы, направленной в его центр, то сила пропорциональна расстоянию (Principia, книга $1, \S 2$, Prop. X).
${ }^{2}$ Newton, Principia, книга 1, § 2, IX; R. Cotes, Harmonia Mensurarum, стр. 31, 98.

траектория точки, находящейся под действием центральной силы $P(r)$, направленной в начало. Тогда траекторию, которая получится в результате действия центральной силы $P(r)+\frac{c}{r^{3}}$, где $c$ – постоянная, можно изобразить в виде:
\[
r=f(k \vartheta),
\]

где $k$ – произвольная постоянная. При этом промежуток времени, в течение которого радиус-вектор, проведенный из неподвижного центра в движущуюся точку, изменяется от значения $r_{1}$ до значения $r_{2}$, будет одинаков для обеих траекторий. В самом деле, если отметим штрихами величины, относящиеся ко второй траектории, то будем иметь:
\[
P^{\prime}={h^{\prime}}^{2} u^{2}\left(u+\frac{d^{2} u}{d \vartheta^{\prime 2}}\right)={h^{\prime}}^{2} u^{3}+\frac{h^{\prime 2}}{k^{2}} u^{2} \frac{d^{2} u}{d \vartheta^{2}}={h^{\prime}}^{2} u^{3}+\frac{h^{\prime 2}}{h^{2} k^{2}}\left(P-h^{2} u^{3}\right) .
\]

Поэтому, если мы выберем новую постоянную момента количества движения $h^{\prime}$ так, чтобы $h^{\prime}=h k$ (это уравнение и будет доказывать упомянутое выше утверждение о равенстве промежутков времени, так как оно может быть представлено в виде $\frac{d t^{\prime}}{r^{\prime 2}}=\frac{d t}{r^{2}}$, то получим:
\[
P^{\prime}=P-\frac{h^{2}\left(1-k^{2}\right)}{r^{3}},
\]

что и доказывает теорему; ее называют иногда теоремой Ньютона о вращающихся траекториях.

Задачи центрального движения для $n=5,3,0,-4,-5,-7$, как мы видели, приводят к эллиптическим интегралам. Если эти интегралы мы обратим, то сможем получить решение в эллиптических функциях. В качестве примера разберем случай $n=-5$.

Пусть $\mu u^{5}$ будет сила, направленная в центр притяжения. Будем наперед полагать, что материальной точке сообщена меньшая начальная скорость, чем та, которую она имела бы, если бы приблизилась из бесконечности в исходную точку изучаемого движения, причем так, что ее полная энергия
\[
\frac{1}{2} \dot{r}^{2}+\frac{1}{2} r^{2} \dot{\vartheta}^{2}-\frac{\mu}{4 r^{4}}
\]

стала бы отрицательной. Обозначим эту энергию через $-\frac{1}{2} \gamma$.
Рассматривая уравнение энергии
\[
\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}-\frac{\mu}{2 r^{4}}+\gamma=0
\]

совместно с уравнением
\[
r^{2} \dot{\vartheta}=h,
\]

получим:
\[
\left(\frac{d r}{d \vartheta}\right)^{2}=-\frac{\gamma}{h^{2}} r^{4}-r^{2}+\frac{\mu}{2 h^{2}} .
\]

Если теперь вместо $r$ введем новую переменную $\rho$,определяемую равенством
\[
r=\left(\frac{\mu}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{h\left(\rho+\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}},}
\]

то дифференциальное уравнение обратится в следующее:
\[
\left(\frac{d \rho}{d \vartheta}\right)^{2}=4\left(\rho+\frac{1}{3}\right)\left(\rho^{2}-\frac{\rho}{3}-\frac{2}{9}-\frac{\mu \gamma}{2 h^{4}}\right) .
\]

Если $\gamma$ положительно, то корни уравнения
\[
\rho^{2}-\frac{\rho}{3}-\frac{2}{9}-\frac{\mu \gamma}{2 h^{4}}=0
\]

будут действительными; сумма их равна $\frac{1}{3}$ и меньший корень меньше, чем $-\frac{1}{3}$. Если обозначим больший корень через $e_{1}$, меньший – через $e_{3}$ и величину $-\frac{1}{3}$ через $e_{2}$, то будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
e_{1}+e_{2}+e_{3}=0 \\
e_{1}>e_{2}>e_{3} \\
\left(\frac{d \rho}{d \vartheta}\right)^{2}=4\left(\rho-e_{1}\right)\left(\rho-e_{2}\right)\left(\rho-e_{3}\right)
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\rho=\wp(\vartheta-\varepsilon),
\]
корням $e_{1}, e_{2}, e_{3}$. Отсюда находим:
\[
r=\left(\frac{\mu}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{h\left\{\wp(\vartheta-\varepsilon)+\frac{1}{3}\right\}^{\frac{1}{2}} .}
\]

Заметим теперь, что $r$ – положительно и на основании уравнения энергии не может превышать величины $\sqrt[4]{\frac{\mu}{2 \gamma}}$. Поэтому выражение $\wp(\vartheta-\varepsilon)+\frac{1}{3}$ действительно положительно и имеет нижнюю положительную границу. Но для $e_{1}>e_{2}>e_{3}$ и при всяких вещественных значениях $\vartheta$ функция $\wp(\vartheta-\varepsilon)$ будет действительной и будет превышать конечную нижнюю границу лишь в том случае, если $\varepsilon$ действительно.

Итак, $\varepsilon$ действительно и соответствующим выбором начального значения $\vartheta$ может быть сделано равным нулю.
На основании этого получаем полярное уравнение траектории ${ }^{1}$ :
\[
r=\left(\frac{\mu}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{1}{h\left\{\wp(\vartheta)+\frac{1}{3}\right\}^{\frac{1}{2}}} .
\]

Время может быть определено из равенства:
\[
t=\frac{1}{h} \int r^{2} d \vartheta
\]

или
\[
t=\frac{\mu}{2 h^{3}} \int \frac{d \vartheta}{\wp(\vartheta)-e_{2}} .
\]

Выполнение этого интегрирования дает для $t$ уравнение:
\[
t=-\frac{\mu h^{-3}}{2\left(e_{2}-e_{1}\right)\left(e_{2}-e_{3}\right)}\left\{\zeta(\vartheta)+\frac{1}{2} \frac{\wp^{\prime}(\vartheta)}{\wp(\vartheta)-e_{2}}+e_{2} \vartheta\right\},
\]

где $\zeta(\vartheta)$ есть функция дзета Вейерштрасса ${ }^{2}$.
ЗАдАчА 3. Показать, что уравнение траектории материальной точки, движущейся под действием притягивающей силы $\frac{\mu}{r^{5}}$, имеет вид:
\[
r=a \operatorname{sn}\left(K-\frac{\vartheta}{\sqrt{1+k^{2}}}, k\right)
\]

или
\[
\frac{a}{r}=k \operatorname{sn}\left(K-\frac{\vartheta}{\sqrt{1+k^{2}}}, k\right) ;
\]

предполагается, что $h^{2}>4 \mu E>0$, где $h-$ момент количества движения относительно силового центра, а $E$ – избыток полной энергии над потенциальной в бесконечности. (Cambridge Math. Tripos, ч. 1, 1894.)
${ }^{1}$ Траектории разобраны и классифицированы В. Д. Макмилланом (W.D.Macmillan, Amer. Journal Math., т. 30, стр. 282, 1908).
${ }^{2}$ См. Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, § 20, 4.

ЗАДАчА 4. Материальная точка обладает постоянным ускорением, направленным в начало координат. Показать, что радиус-вектор $r$, аргумент $\vartheta$ и время $t$ могут быть представлены как функции действительного вспомогательного угла $и$ в виде:
\[
\begin{aligned}
r & =\wp\left(i u+\omega_{1}\right)-\wp(\omega+a), \\
\left(\frac{\mu}{2}\right)^{\frac{1}{2}} t & =i \zeta\left(\omega_{1}+i u\right)+u \wp\left(\omega_{2}+a\right)-i \zeta\left(\omega_{1}\right), \\
e^{i \vartheta} & =e^{-2 i u \zeta\left(\omega_{2}+a\right)} \frac{\sigma\left(\omega_{1}+i u+\omega_{2}+a\right) \sigma\left(\omega_{1}-\omega_{2}-a\right)}{\sigma\left(\omega_{1}+i u-\omega_{2}-a\right) \sigma\left(\omega_{1}+\omega_{2}+a\right)}
\end{aligned}
\]
(Schoute).
Особенно интересны те точки на траектории, в которых возраставший до этого времени радиус-вектор начинает убывать или, наоборот, убывающий – возрастать. Точка первого рода называется апоцентром, второго рода – перицентром, общее их название: апсиды. Если апсида – не особая точка кривой, то в ней должно быть:
\[
\frac{d r}{d \vartheta}=0
\]

Это равенство показывает, что касательная к траектории перпендикулярна радиусу-вектору.

Если Солнце рассматривается как силовой центр, то апоцентр и перицентр именуют обычно афелием и перигелием.
ЗАДАчА 5. Материальная точка притягивается неподвижным центром с силой
\[
\frac{\mu}{r^{2}}+\frac{
u}{r^{3}} .
\]

Показать, что угол между радиусами-векторами, проведенными к двум следующим друг за другом апсидам, имеет величину
\[
\frac{\pi}{\sqrt{1-\frac{
u}{h^{2}}}}
\]

где $h$ – постоянная момента количества движения.