Эйлер ${ }^{2}$ предложил еще другой метод параметрического представления движения твердого тела вокруг точки. Этот новый метод обладает тем недостатком, что даваемое им параметрическое представление не симметрично, тем не менее он очень прост и практически удобен.

Пусть $O$ означает неподвижную точку, вокруг которой совершается вращение, а $O X Y Z$ – неподвижную, прямоугольную, правую систему координат. Выберем в теле другую систему координат Oxyz, движущуюся вместе с телом и совпадавшую до вращения с системой $O X Y Z$.
${ }^{1}$ Тензор этого кватерниона равен единице.
${ }^{2}$ Novi Comment. Petrop., т. 20, стр. 189, 1776.

Обозначим через $O K$ нормаль к плоскости $z O Z$, направленную на восток, когда ось $O Z$ направлена вертикально вверх, а проекция оси $O Z$ на плоскость, перпендикулярную к $O Z$, направлена на юг. Обозначим, далее, углы $z O Z, Y O K, y O K$ через $\vartheta, \varphi$ и $\psi$. Эти три так называемых эйлеровых угла определяют направление осей Охуz относительно осей $O X Y Z$.

Для определения направляющих косинусов осей $O x, O y, O z$ относительно $O X$ заметим, что эти величины равны соответственно проекциям на $O x, O y, O z$ единичного отрезка, отложенного на $O X$. Проекция этого единичного отрезка на прямую $O K$ равна $-\sin \varphi$, а на прямую $O L$, где $O L$ – линия пересечения плоскостей $X O Y$ и $Z O z$, равна $\cos \varphi$. Отрезок $\cos \varphi$, лежащий на $O L$, имеет проекцию $\cos \varphi \sin \vartheta$ на $O z$ и проекцию $\cos \varphi \cos \vartheta$ на прямую $O M$, где $O M$ означает линию пересечения плоскостей $x O y$ и $Z O z$. Отрезок $\cos \varphi \cos \vartheta$, лежащий на $O M$, имеет проекцию на ось $O x$, равную $\cos \varphi \cos \vartheta \cos \psi$ и проекцию на ось $O y$, равную – $\cos \varphi \cos \vartheta \sin \psi$. Отрезок – $\sin \varphi$ на $O K$ имеет проекцию $-\sin \varphi \sin \psi$ на $O x$ и $-\sin \varphi \cos \psi$ на $O y$. Окончательно проекции единичного отрезка оси $O X$ равны:
\[
\begin{array}{cc}
\cos \varphi \cos \vartheta \cos \psi-\sin \varphi \sin \psi & \text { на } O x, \\
-\cos \varphi \cos \vartheta \sin \psi-\sin \varphi \cos \psi & \text { на } O y, \\
\cos \varphi \sin \vartheta & \text { на } O z .
\end{array}
\]

Этим способом получаем следующую схему, определяющую направляющие косинусы одной системы координат по отношению к другой ${ }^{1}$ :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & $X$ & $Y$ & $Z$ \\
\hline$x$ & $\cos \varphi \cos \vartheta \cos \psi-\sin \varphi \sin \psi$ & $\sin \varphi \cos \vartheta \cos \psi+\cos \varphi \sin \psi$ & $-\sin \vartheta \cos \psi$ \\
\hline$y$ & $-\cos \varphi \cos \vartheta \sin \psi-\sin \varphi \cos \psi$ & $-\sin \varphi \cos \vartheta \sin \psi+\cos \varphi \cos \psi$ & $\sin \vartheta \sin \psi$ \\
\hline$z$ & $\cos \varphi \sin \vartheta$ & $\sin \varphi \sin \vartheta$ & $\cos \vartheta$ \\
\hline
\end{tabular}
${ }^{1}$ При обычном отсчете, когда угол $\varphi$ определяет положение линии узлов относительно оси $X$, а угол $\psi$ – положение оси $x$ относительно линии узлов, эти формулы были бы такими:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & $X$ & $Y$ & $Z$ \\
\hline$x$ & $-\sin \varphi \sin \psi \cos \vartheta+\cos \varphi \cos \psi$ & $\cos \varphi \sin \psi \cos \vartheta+\sin \varphi \cos \psi$ & $\sin \psi \sin \vartheta$ \\
\hline$y$ & $-\sin \varphi \cos \psi \cos \vartheta-\cos \varphi \sin \psi$ & $\cos \varphi \cos \psi \cos \vartheta-\sin \varphi \sin \psi$ & $\cos \psi \sin \vartheta$ \\
\hline$z$ & $\sin \varphi \sin \vartheta$ & $-\cos \varphi \sin \vartheta$ & $\cos \vartheta$ \\
\hline
\end{tabular}