Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
До сих пор мы рассматривали только такие интегральные инварианты, которые обладают свойством инвариантности независимо от того или иного частного выбора области начальных значений, по которой производится интегрирование. Такие интегральные инварианты называются иногда абсолютными. Теперь мы переходим к таким интегралам, которые обладают свойством инвариантности только в тех случаях, когда область интегрирования, выражаясь языком $n$-мерной геометрии, образует зaмкнутое многообразие. Такие интегралы носят название относительных интегральных инвариантов.
Теория относительных интегральных инвариантов может быть сведена к теории абсолютных интегральных инвариантов следующим образом.
Пусть
\[
\int\left(M_{1} \delta x_{1}+M_{2} \delta x_{2}+\cdots+M_{n} \delta x_{n}\right)
\]
есть относительный интегральный инвариант системы уравнений:
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]
где $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ – некоторые функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t$. Этот интеграл будет, следовательно, инвариантом относительно $t$, если интегрирование распространяется на некоторую замкнутую кривую пространства $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, представляющую собой геометрическое место положений точек, лежавших в начальный момент на определенной замкнутой кривой, в момент времени $t$.
Согласно теореме Стокса этот интеграл может быть преобразован к виду:
\[
\iint \sum_{j, i}\left(\frac{\partial M_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial M_{j}}{\partial x_{i}}\right) \delta x_{i} \delta x_{j},
\]
где теперь уже интегрирование распространено на некоторую поверхность, ограниченную нашей замкнутой кривой. Эта поверхность может быть рассматриваема как геометрическое место положений точек в момент времени $t$, которые в начальный момент лежали на определенной поверхности, ограниченной первоначальным положением кривой. Так как эта поверхность не замкнута, то интеграл есть абсолютный интегральный инвариант второго порядка для нашей системы уравнений.
Аналогично, обобщая теорему Стокса, можно показать, что всякий относительный интегральный инвариант $p$-го порядка эквивалентен некоторому абсолютному интегральному инварианту ( $p+1$ )-го порядка.
