В приведенной в § 26 форме уравнений Лагранжа переменными являются координаты $q_1,q_2,\dots ,q_n$ и время $t$. Так как знание этих величин и структура системы достаточно для определения положения любой точки системы, то эти величины называют еще истинными координатами. Выясним теперь, какую форму примут уравнения Лагранжа, если мы отбросим ограничение об истинности координат ${}^1$.

Допустим, что динамическая система, определяемая истинными координатами $q_1,q_2,\dots ,q_n$, имеет кинетическую энергию $T$, а работа внешних сил, действующих на систему на перемещении $(\delta q_1,\delta q_2,\dots ,\delta q_n)$, пусть будет $Q_1\delta q_1+Q_2\delta q_2+\dots +Q_n\delta q_n$. Тогда уравнения Лагранжа имеют вид:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{\lambda }}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda }}=Q_{\lambda }(\lambda =1,2,\dots ,n).$$

Пусть ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$ будут $n$ независимых друг от друга линейных комбинаций скоростей ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$, определяемых при помощи уравнений:
$${\omega }_r={\alpha }_{1r}{\dot{q}}_1+{\alpha }_{2r}{\dot{q}}_2+\dots +{\alpha }_{nr}{\dot{q}}_n(r=1,2,\dots ,n),$$

где ${\alpha }_{11},{\alpha }_{21},\dots ,{\alpha }_{nn}$ суть данные функции от $q_1,q_2,\dots ,q_n$. Пусть, далее, $d{\pi }_1,d{\pi }_2,\dots ,d{\pi }_n$ означают $n$ независимых линейных комбинаций от дифференциалов $d{q}_1,d{q}_2,\dots ,d{q}_n$, определяемых уравнениями:
$$d{\pi }_r={\alpha }_{1r}d{q}_1+{\alpha }_{2r}d{q}_2+\dots +{\alpha }_{nr}d{q}_n(r=1,2,\dots ,n),$$

где коэффициенты $\alpha$ имеют те же значения, что и в предыдущих уравнениях. Последние уравнения непосредственно интегрируются, если для всех $\lambda ,r,m$ выполняются условия $\frac{\partial {\alpha }_{\lambda r}}{\partial q_m}-\frac{\partial {\alpha }_{mr}}{\partial q_{\lambda }}=0$. В этом случае
${}^1$ Частные случаи рассматриваемых в этом параграфе теорем были уже известны Лагранжу и Эйлеру. Обобщенная форма уравнений принадлежит Больцману (Boltzmann, Wiener Sitzungsberichte, т. 111, стр. 1603, 1902) и Гамелю (Hamel, Zeitschr. f. Math. u. Phys., т. 50, стр. 1, 1904).

будут существовать истинные координаты ${\pi }_r$. Но так как уравнения могут быть и не интегрируемыми, то и величины $d{\pi }_1,d{\pi }_2,\dots ,d{\pi }_n$ могут и не являться дифференциалами от координат ${\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_n$. Назовем их дифференциалами квазикоординат.

Пусть решения уравнений (2) относительно ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$ имеют вид:
$${\dot{d}}_{\lambda }={\beta }_{\lambda 1}{\omega }_1+{\beta }_{\lambda 2}{\omega }_2+\dots +{\beta }_{\lambda n}{\omega }_n(\lambda =1,2,\dots ,n).$$

Умножая уравнения (1) на ${}^{{\beta }_{1r}},{\beta }_{2r},\dots ,{\beta }_{nr}$ и складывая, получим:
$$\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{\lambda }}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda }}\}=\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}{Q}_{\lambda }.$$

Величина $\sum _{\lambda }{Q}_{\lambda }\delta q_{\lambda }$ есть работа внешних сил, действующих на систему, при произвольном перемещении: поэтому величина $\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}{Q}_{\lambda }\delta {\pi }_{\lambda }$ есть работа этих сил при перемещении, при котором все $\delta \pi$, за исключением $\delta {\pi }_r$, равны нулю. Поэтому, если работа внешних сил системы при произвольном бесконечно малом перемещении ( $\delta {\pi }_1,\delta {\pi }_2,\dots ,\delta {\pi }_n$ ) равна:
$${\mathrm{\Pi }}_1\delta {\pi }_1+{\mathrm{\Pi }}_2\delta {\pi }_2+\dots +{\mathrm{\Pi }}_n\delta {\pi }_n,$$

то
$$\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}\{\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{\lambda }}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda }}\}={\mathrm{\Pi }}_r.$$

При помощи уравнений (3) можно исключить из функции $T$ величины ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$. Тогда $T$ станет функцией от ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$, $q_1,q_2,\dots ,q_n$. (Для упрощения мы предполагаем, что $T$ не содержит явно $t$.) Преобразованную таким образом функцию $T$ мы обозначим через $\overline{T}$. Тогда
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{\lambda }}=\sum _s\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}{\alpha }_{\lambda s}$$

и поэтому
$$\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}\{\sum _s{\alpha }_{\lambda s}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}\right)+\sum _s\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}\frac{d{\alpha }_{\lambda s}}{dt}-\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda }}\}={\mathrm{\Pi }}_r.$$

Нo
$$\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}{\alpha }_{\lambda s}=\{\begin{array}{ll}0& \text{ при }reqs,\\ 1& \text{ при }r=s.\end{array}$$

Следовательно, можем написать:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_r}\right)+\sum _{\lambda }\sum _s{\beta }_{\lambda r}\frac{d{\alpha }_{\lambda s}}{dt}\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}-\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda }}={\mathrm{\Pi }}_r.$$

Кроме того,
$$\frac{\partial T}{\partial q_{\lambda }}=\frac{\partial \overline{T}}{\partial q_{\lambda }}+\sum _s\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}\frac{\partial {\omega }_s}{\partial q_{\lambda }}=\frac{\partial \overline{T}}{\partial q_{\lambda }}+\sum _s\sum _m\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}\frac{\partial {\alpha }_{ms}}{\partial q_{\lambda }}{\dot{q}}_m.$$

Следовательно,
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_r}\right)+\sum _{\lambda }\sum _s\sum _m{\beta }_{\lambda r}\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}{\dot{q}}_m(\frac{\partial {\alpha }_{\lambda s}}{\partial q_m}-\frac{\partial {\alpha }_{ms}}{\partial q_{\lambda }})-\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}\frac{\partial \overline{T}}{\partial q_r}={\mathrm{\Pi }}_r.$$

Величина $\sum _{\lambda }{\beta }_{\lambda r}\frac{\partial \overline{T}}{\partial q_{\lambda }}$ или $\sum _{\lambda }\frac{\partial \overline{T}}{\partial q_{\lambda }}\frac{\partial q_{\lambda }}{\partial {\pi }_r}$ представляет собой $\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_r}$, если ${\pi }_r$ является истинной координатой. Мы будем обозначать эту величину через $\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_r}$, независимо от того, является ли ${\pi }_r$ истинной координатой или нет. Выражение
$$\sum _{\lambda }\sum _m{\beta }_{\lambda r}{\beta }_{ml}(\frac{\partial {\alpha }_{\lambda s}}{\partial q_m}-\frac{\partial {\alpha }_{ms}}{\partial q_{\lambda }})$$

зависит только от соотношений между истинными координатами и дифференциалами квазикоординат и совершенно не зависит от структуры и движения системы. Обозначим это выражение через ${\gamma }_{rsl}$. Таким образом, будем иметь:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_r}\right)+\sum _s\sum _l{\gamma }_{rsl}{\omega }_l\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_s}-\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_r}={\mathrm{\Pi }}_r(r=1,2,\dots ,n).$$

Эти п уравнений представляют собой уравнения движения в квазикоординатах. Если квазикоординаты являются истинными координатами, то в силу $\frac{\partial {\alpha }_{\lambda r}}{\partial q_m}-\frac{\partial {\alpha }_{mr}}{\partial q_{\lambda }}=0$ все величины ${\gamma }_{rsl}$ обращаются в нуль и уравнения делаются обычными уравнениями Лагранжа
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{\pi }}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial {\pi }_r}={\mathrm{\Pi }}_r(r=1,2,\dots ,n).$$

ЗАдАчА. Твердое тело вращается вокруг одной из своих точек. За координаты тела можно принять три угла Эйлера $\vartheta ,\phi ,\psi$, определяющие положение системы осей Oxyz, связанных с телом и движущихся вместе с ним относительно системы осей $OXYZ$, неподвижных в пространстве. Произвольное перемещение $(\delta \vartheta ,\delta \phi ,\delta \psi$ ) тела эквивалентно трем бесконечно малым вращениям $\delta {\pi }_1,\delta {\pi }_2,\delta {\pi }_3$ вокруг осей $Ox,Oy,Oz$ и поэтому величины $d{\pi }_1,d{\pi }_2,d{\pi }_3$ можно принять за дифференциалы квазикоординат. Обозначим угловые скорости тела относительно осей $Ox,Oy,Oz$ через ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$; тогда $d{\pi }_1,d{\pi }_2,d{\pi }_3$ суть дифференциалы квазикоординат, соответствующие скоростям ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$. Показать, что уравнения движения тела имеют вид:
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_1}\right)-{\omega }_3\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_2}+{\omega }_2\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_3}-\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_1}={\mathrm{\Pi }}_1,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_2}\right)-{\omega }_1\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_3}+{\omega }_3\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_1}-\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_2}={\mathrm{\Pi }}_2,\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_3}\right)-{\omega }_2\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_1}+{\omega }_1\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\omega }_2}-\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_3}={\mathrm{\Pi }}_3.\end{array}$$

Здесь $\overline{T}$ есть кинетическая энергия тела, выраженная через ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$, $\vartheta ,\phi ,\psi$, а ${\mathrm{\Pi }}_1,{\mathrm{\Pi }}_2,{\mathrm{\Pi }}_3$ — моменты действующих на тело внешних сил относительно осей $Ox,Oy,Oz$, а $\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_r}$ означает выражение
$$\frac{\partial \overline{T}}{\partial \vartheta }\frac{\partial \vartheta }{\partial {\pi }_r}+\frac{\partial \overline{T}}{\partial \phi }\frac{\partial \phi }{\partial {\pi }_r}+\frac{\partial \overline{T}}{\partial \psi }\frac{\partial \psi }{\partial {\pi }_r}.$$

Ниже будет показано, что $\overline{T}$ зависит лишь только от ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3$ и поэтому все $\frac{\partial \overline{T}}{\partial {\pi }_r}$ равны нулю.