1. На некоторую точку плоскости с координатами $x,y$ и с массой $m$ действует сила, проекции которой $X,Y$ не зависят от времени. Показать, что, исключая $t$ из дифференциальных уравнений движения, можно привести задачу к интегрированию уравнения
$$\frac{d}{dx}\left\{\frac{Y-X\frac{dy}{dx}}{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}\right\}-2X=0.$$
2. Система свободных материальных точек находится в движении. Ее потенциальная энергия зависит только от ее координат и остается неизменной, если системе в любом ее расположении сообщить поступательное перемещение как твердому телу на любой отрезок и в любом направлении. Какие интегралы движения можно написать сразу?
3. В динамической системе с двумя степенями свободы кинетическая энергия равна:
$$T=\frac{{\dot{q}}_1^2}{2(a+b{q}_2)}+\frac{1}{2}{q}_2^2{\dot{q}}_2^2,$$

а потенциальная энергия
$$V=c+d{q}_2,$$

где $a,b,c,d$ — постоянные. Показать, что выражение $q_2$ как функция времени определяется уравнением:
$$(q_2-k){(q_2+2k)}^2=h{(t-t_0)}^2,$$

где $h,k,t_0$ — постоянные.
4. Кинетический потенциал динамической системы равен:
$$L=\frac{{\dot{q}}_1^2}{a{q}_2+b}+\frac{1}{2}{\dot{q}}_2^2+2q_2^3+c{q}_2,$$

где $a,b,c$ — данные постоянные. Показать, что выражение $q_2$ как функции времени определяется уравнением:
$$q_2=\mathrm{\wp }(t+\epsilon ),$$

где $\epsilon$ — произвольная постоянная, а $\mathrm{\wp }$ — эллиптическая функция Вейерштрасса.

5. Доказать, что кинетическая энергия системы с циклическими координатами есть сумма квадратичной функции $T^{\prime }$ от скоростей, соответствующих нециклическим координатам, и квадратичной функции $K$ от импульсов, соответствующих циклическим координатам.

Определить в случае трех координат $x,y,\phi$, из которых $\phi$ — циклическая, уравнения движения типа:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T^{\prime }}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial T^{\prime }}{\partial x}+\frac{\partial K}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial x}+k\dot{y}\{\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \dot{\phi }}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \dot{\phi }}{\partial \dot{x}}\right)\}=0.$$

Здесь $V$ означает потенциальную энергию, а $K$ — импульс, соответствующий циклической координате; производные от $\dot{\phi }$ по $\dot{x}$ и $\dot{y}$ вычислены из линейного уравнения, определяющего $K$ как функцию от $\dot{x},\dot{y},\dot{\phi }$ (Camb. Math. Tripos, 1904).
6. Динамическая система с двумя степенями свободы имеет кинетический потенциал
$$L=\frac{{\dot{q}}_2^2}{4q_2}+q_2{\dot{q}}_1^2+l^2{\dot{q}}_1^2.$$

Показать при помощи интеграла энергии, что решение зависит от решения задачи с кинетическим потенциалом
$$L^{\prime }={(\frac{{q^{\prime }}_2^2}{4q_2}+q_2+l^2)}^{\frac{1}{2}}.$$

Используя интеграл энергии последней системы, показать далее,что $q_1$ и $q_2$ связаны соотношением:
$$c{q}_2=\mathrm{\wp }(q_1+\epsilon )-\frac{1}{3}(2c{l}^2-1),$$

где $c$ и $\epsilon$ — постоянные интегрирования, а — эллиптическая функция.
7. Кинетическая энергия динамической системы есть
$$T=\frac{1}{2}(q_1^2+q_2^2)({\dot{q}}_1^2+{\dot{q}}_2^2),$$

а потенциальная энергия
$$V=\frac{1}{q_1^2+q_2^2}.$$

Показать при помощи теоремы Лиувилля или другим способом, что $q_1$ и $q_2$ связаны соотношением:
$$a^2{q}_1^2+b^2{q}_2^2+2ab{q}_1{q}_2\cos \gamma ={\sin }^2\gamma ,$$

где $a,b,\gamma$ — постоянные интегрирования.

8. Материальная точка с прямоугольными координатами $x,y$ имеет кинетическую энергию
$$T=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)$$

и потенциальную энергию
$$V=\frac{A}{x^2}+\frac{A^{\prime }}{y^2}+\frac{B}{r}+\frac{B^{\prime }}{r^{\prime }}+C(x^2+y^2).$$

Здесь $A,A^{\prime },B,B^{\prime },C$ — постоянные, а $r$ и $r^{\prime }$ — расстояния точки $(x,y)$ от точек $(c,0)$ и $(-c,0)$, где $c$ — также постоянная. Введя новые переменные $\frac{1}{2}(r+r^{\prime })$ и $\frac{1}{2}(r-r^{\prime })$, показать, что данная система принадлежит к типу Лиувилля, и дать ее решение.
9. Наблюдения, что кошки всегда падают на лапы, дали повод к следующей задаче:

Система, мгновенное состояние которой определяется положением и скоростями ее отдельных элементов, имеет в начальный момент скорости, равные нулю. Может ли эта система в некоторый последующий момент восстановить свое первоначальное расположение, но с иной ориентировкой в пространстве? Показать, что вопрос имеет утвердительный ответ, если система не консервативная или если силы допускают неоднозначный потенциал, и что ответ получается отрицательный для консервативных систем с однозначным потенциалом. (См. Painleve Comptes Rendus, т. 139, стр. 1170, 1904).