1. На некоторую точку плоскости с координатами $x, y$ и с массой $m$ действует сила, проекции которой $X, Y$ не зависят от времени. Показать, что, исключая $t$ из дифференциальных уравнений движения, можно привести задачу к интегрированию уравнения
\[
\frac{d}{d x}\left\{\frac{Y-X \frac{d y}{d x}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}\right\}-2 X=0 .
\]
2. Система свободных материальных точек находится в движении. Ее потенциальная энергия зависит только от ее координат и остается неизменной, если системе в любом ее расположении сообщить поступательное перемещение как твердому телу на любой отрезок и в любом направлении. Какие интегралы движения можно написать сразу?
3. В динамической системе с двумя степенями свободы кинетическая энергия равна:
\[
T=\frac{\dot{q}_{1}^{2}}{2\left(a+b q_{2}\right)}+\frac{1}{2} q_{2}^{2} \dot{q}_{2}^{2},
\]

а потенциальная энергия
\[
V=c+d q_{2},
\]

где $a, b, c, d$ – постоянные. Показать, что выражение $q_{2}$ как функция времени определяется уравнением:
\[
\left(q_{2}-k\right)\left(q_{2}+2 k\right)^{2}=h\left(t-t_{0}\right)^{2},
\]

где $h, k, t_{0}$ – постоянные.
4. Кинетический потенциал динамической системы равен:
\[
L=\frac{\dot{q}_{1}^{2}}{a q_{2}+b}+\frac{1}{2} \dot{q}_{2}^{2}+2 q_{2}^{3}+c q_{2},
\]

где $a, b, c$ – данные постоянные. Показать, что выражение $q_{2}$ как функции времени определяется уравнением:
\[
q_{2}=\wp(t+\varepsilon),
\]

где $\varepsilon$ – произвольная постоянная, а $\wp$ – эллиптическая функция Вейерштрасса.

5. Доказать, что кинетическая энергия системы с циклическими координатами есть сумма квадратичной функции $T^{\prime}$ от скоростей, соответствующих нециклическим координатам, и квадратичной функции $K$ от импульсов, соответствующих циклическим координатам.

Определить в случае трех координат $x, y, \varphi$, из которых $\varphi$ – циклическая, уравнения движения типа:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T^{\prime}}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial T^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial K}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial x}+k \dot{y}\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \dot{\varphi}}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial \dot{\varphi}}{\partial \dot{x}}\right)\right\}=0 .
\]

Здесь $V$ означает потенциальную энергию, а $K$ – импульс, соответствующий циклической координате; производные от $\dot{\varphi}$ по $\dot{x}$ и $\dot{y}$ вычислены из линейного уравнения, определяющего $K$ как функцию от $\dot{x}, \dot{y}, \dot{\varphi}$ (Camb. Math. Tripos, 1904).
6. Динамическая система с двумя степенями свободы имеет кинетический потенциал
\[
L=\frac{\dot{q}_{2}^{2}}{4 q_{2}}+q_{2} \dot{q}_{1}^{2}+l^{2} \dot{q}_{1}^{2} .
\]

Показать при помощи интеграла энергии, что решение зависит от решения задачи с кинетическим потенциалом
\[
L^{\prime}=\left(\frac{{q^{\prime}}_{2}^{2}}{4 q_{2}}+q_{2}+l^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Используя интеграл энергии последней системы, показать далее,что $q_{1}$ и $q_{2}$ связаны соотношением:
\[
c q_{2}=\wp\left(q_{1}+\varepsilon\right)-\frac{1}{3}\left(2 c l^{2}-1\right),
\]

где $c$ и $\varepsilon$ – постоянные интегрирования, а – эллиптическая функция.
7. Кинетическая энергия динамической системы есть
\[
T=\frac{1}{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}\right),
\]

а потенциальная энергия
\[
V=\frac{1}{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}} .
\]

Показать при помощи теоремы Лиувилля или другим способом, что $q_{1}$ и $q_{2}$ связаны соотношением:
\[
a^{2} q_{1}^{2}+b^{2} q_{2}^{2}+2 a b q_{1} q_{2} \cos \gamma=\sin ^{2} \gamma,
\]

где $a, b, \gamma$ – постоянные интегрирования.

8. Материальная точка с прямоугольными координатами $x, y$ имеет кинетическую энергию
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)
\]

и потенциальную энергию
\[
V=\frac{A}{x^{2}}+\frac{A^{\prime}}{y^{2}}+\frac{B}{r}+\frac{B^{\prime}}{r^{\prime}}+C\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Здесь $A, A^{\prime}, B, B^{\prime}, C$ – постоянные, а $r$ и $r^{\prime}$ – расстояния точки $(x, y)$ от точек $(c, 0)$ и $(-c, 0)$, где $c$ – также постоянная. Введя новые переменные $\frac{1}{2}\left(r+r^{\prime}\right)$ и $\frac{1}{2}\left(r-r^{\prime}\right)$, показать, что данная система принадлежит к типу Лиувилля, и дать ее решение.
9. Наблюдения, что кошки всегда падают на лапы, дали повод к следующей задаче:

Система, мгновенное состояние которой определяется положением и скоростями ее отдельных элементов, имеет в начальный момент скорости, равные нулю. Может ли эта система в некоторый последующий момент восстановить свое первоначальное расположение, но с иной ориентировкой в пространстве? Показать, что вопрос имеет утвердительный ответ, если система не консервативная или если силы допускают неоднозначный потенциал, и что ответ получается отрицательный для консервативных систем с однозначным потенциалом. (См. Painleve Comptes Rendus, т. 139, стр. 1170, 1904).