Аналитическое выражение поступательного перемещения очень просто; значительно сложнее выражение для вращения, которым мы займемся снова. Пусть твердое тело поворачивается на угол $\omega$ вокруг прямой, проходящей через начало координат и имеющей направляющие углы $\alpha, \beta, \gamma$. Согласно $\S 7$ координаты $X, Y, Z$ нового положения точки, имевшей вначале координаты $x, y, z$, определяются уравнениями:
\[
\begin{aligned}
X=x & -2 \sin ^{2} \frac{\omega}{2}\left(x \sin ^{2} \alpha-y \cos \alpha \cos \beta-z \cos \alpha \cos \gamma\right)+ \\
& +2 \sin \frac{\omega}{2} \cos \frac{\omega}{2}(z \cos \beta-y \cos \gamma), \\
Y=y & -2 \sin ^{2} \frac{\omega}{2}\left(y \sin ^{2} \beta-z \cos \beta \cos \gamma-x \cos \beta \cos \alpha\right)+ \\
& +2 \sin \frac{\omega}{2} \cos \frac{\omega}{2}(x \cos \gamma-z \cos \alpha), \\
Z=z & -2 \sin ^{2} \frac{\omega}{2}\left(z \sin ^{2} \gamma-x \cos \gamma \cos \alpha-y \cos \gamma \cos \beta\right)+ \\
& +2 \sin \frac{\omega}{2} \cos \frac{\omega}{2}(y \cos \alpha-x \cos \beta) .
\end{aligned}
\]

Введем теперь параметры $\xi, \eta, \zeta, \chi$, определяемые равенствами:
\[
\begin{array}{ll}
\xi=\cos \alpha \sin \frac{1}{2} \omega, \quad \eta=\cos \beta \sin \frac{1}{2} \omega, \\
\zeta=\cos \gamma \sin \frac{1}{2} \omega, \quad \chi=\cos \frac{1}{2} \omega .
\end{array}
\]

Эти параметры связаны, очевидно, соотношением:
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}+\chi^{2}=1 .
\]

При помощи этих параметров предыдущие уравнения могут быть представлены следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
X=\left(\xi^{2}-\eta^{2}-\zeta^{2}+\chi^{2}\right) x+2(\xi \eta-\zeta \chi) y+2(\xi \zeta+\eta \chi) z, \\
Y=2(\xi \eta+\zeta \chi) x+\left(-\xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}+\chi^{2}\right) y+2(\eta \zeta-\xi \chi) z \\
Z=2(\xi \zeta-\eta \chi) x+2(\eta \zeta+\xi \chi) y+\left(-\xi^{2}-\eta^{2}+\zeta^{2}+\chi^{2}\right) z .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Novi Comment. Petrop., т. 20, стр. 208, §6 и сл., 1776.

Поэтому, если обозначить координатные оси через $O X Y Z$, а подвижную систему осей, совпадавшую до движения с первой, данным вращением привести в положение $O x y z$, то направляющие косинусы одной системы осей по отношению к другой системе определятся при помощи следующей схемы:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & $X$ & $Y$ & $Z$ \\
\hline$x$ & $\xi^{2}-\eta^{2}-\zeta^{2}+\chi^{2}$ & $2(\xi \eta+\zeta \chi)$ & $2(\xi \zeta-\eta \chi)$ \\
\hline$y$ & $2(\xi \eta-\zeta \chi)$ & $-\xi^{2}+\eta^{2}-\zeta^{2}+\chi^{2}$ & $2(\eta \zeta+\xi \chi)$ \\
\hline$z$ & $2(\xi \zeta+\eta \chi)$ & $2(\eta \zeta-\xi \chi)$ & $-\xi^{2}-\eta^{2}+\zeta^{2}+\chi^{2}$ \\
\hline
\end{tabular}

Легко обнаружить, что параметры $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}, \chi^{\prime \prime}$ вращения, складывающегося из двух последовательных вращений $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \chi^{\prime}$ и $\xi, \eta, \zeta, \chi$, определяются равенствами:
\[
\begin{array}{ll}
\xi^{\prime \prime}=\xi \chi^{\prime}+\eta \zeta^{\prime}-\zeta \eta^{\prime}+\chi \xi^{\prime}, & \eta^{\prime \prime}=-\xi \zeta^{\prime}+\eta \chi^{\prime}+\zeta \xi^{\prime}+\chi \eta^{\prime}, \\
\zeta^{\prime \prime}=\xi \eta^{\prime}-\eta \xi^{\prime}+\zeta \chi^{\prime}+\chi \zeta^{\prime}, & \chi^{\prime \prime}=\chi \chi^{\prime}-\xi \xi^{\prime}-\eta \eta^{\prime}-\zeta \zeta^{\prime} .
\end{array}
\]

Эти формулы, найденные в разное время и независимо друг от друга Гауссом, Родригом, Гамильтоном и Кэли, представляют собой в то же времн и закон умножения кватернионов, ибо $\chi, \xi, \eta, \zeta$ могут быть рассматриваемы как компоненты кватерниона ${ }^{1} \chi+\xi i+\eta j+\zeta k$, где $i, j, k$ удовлетворяют соотношениям:
\[
i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1, \quad i j=-j i=k, \quad j k=-k j=i, \quad k i=-i k=j .
\]

Предыдущие формулы содержатся все в одном равенстве:
\[
\chi^{\prime \prime}+\xi^{\prime \prime} i+\eta^{\prime \prime} j+\zeta^{\prime \prime} k=(\chi+\xi i+\eta j+\zeta k)\left(\chi^{\prime}+\xi^{\prime} i+\eta^{\prime} j+\zeta^{\prime} k\right) .
\]

Читатель, знакомый с теорией кватернионов, заметит, что при вращении всякий вектор $\rho$ преобразовывается в вектор $q \rho q^{-1}$, где $q$ означает кватернион $x+\xi i+\eta j+\zeta k$. Сам же кватернион не является оператором вращения.