Результат предыдущего параграфа приводит к новому доказательству теоремы, что уравнения динамики:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n)$$

сохраняют гамильтонову форму при контактном преобразовании переменных $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$. Кроме того, из него можно получить вид функции $K$ преобразованной системы:
$$\frac{d{Q}_r}{dt}=\frac{\partial K}{\partial P_r},\frac{d{P}_r}{dt}=-\frac{\partial K}{\partial Q_r}(r=1,2,\dots ,n).$$

Пусть, в самом деле, контактное преобразование определяется уравнениями:
$$\begin{array}{ll}{\mathrm{\Omega }}_r=0& (r=1,2,\dots ,n),\\ P_r=\frac{\partial W}{\partial Q_r}+{\lambda }_1\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_1}{\partial Q_r}+{\lambda }_2\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}{\partial Q_r}+\cdots +{\lambda }_k\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_k}{\partial Q_r}& (r=1,2,\dots ,n),\\ p_r=-\frac{\partial W}{\partial q_r}-{\lambda }_1\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_1}{\partial q_r}-{\lambda }_2\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_2}{\partial q_r}-\cdots -{\lambda }_k\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_k}{\partial q_r}& (r=1,2,\dots ,n),\end{array}$$

где ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2,\dots ,{\mathrm{\Omega }}_k,W$ — произвольные функции переменных
$$q_1,q_2,\dots ,q_n,Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,t.$$

В силу этих уравнений выполняется тождественно равенство:
$$\begin{array}{rl}\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r& =\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r-\sum _{r=1}^n(\frac{\partial W}{\partial q_r}d{q}_r+\frac{\partial W}{\partial Q_r}d{Q}_r)-\\ & -\sum _{s=1}^k{\lambda }_s\sum _{r=1}^n(\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_s}{\partial q_r}d{q}_r+\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_s}{\partial Q_r}d{Q}_r)\end{array}$$

и поэтому (если $d$ есть символ вариации, при которой изменяются все переменные, включая и $t$ )
$$\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r=\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r+\frac{\partial W}{\partial t}dt-dW+\sum _{s=1}^k{\lambda }_s\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_s}{\partial t}dt$$

или
$$\sum _{r=1}^n{p}_{r}d{q}_r-Hdt=\sum _{r=1}^n{P}_{r}d{Q}_r-(H-\frac{\partial W}{\partial t}-\sum _{s=1}^k{\lambda }_s\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_s}{\partial t})dt-dW.$$

Стоящий в правой части равенства полный дифференциал $dW$ может быть отброшен, так как он не влияет на первую пфаффову систему дифференциальной формы. Поэтому контактное преобразование преобразует систему уравнений:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n)$$

в систему
$$\frac{d{Q}_r}{dt}=\frac{\partial K}{\partial P_r},\frac{d{P}_r}{dt}=-\frac{\partial K}{\partial Q_r}(r=1,2,\dots ,n),$$

где
$$K=H-\frac{\partial W}{\partial t}-\sum _{s=1}^k{\lambda }_s\frac{\partial {\mathrm{\Omega }}_s}{\partial t},$$

причем $K$ следует представить как функцию от $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n,P_1$, $P_2,\dots ,P_n,t$.