Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Результат предыдущего параграфа приводит к новому доказательству теоремы, что уравнения динамики:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

сохраняют гамильтонову форму при контактном преобразовании переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$. Кроме того, из него можно получить вид функции $K$ преобразованной системы:
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть, в самом деле, контактное преобразование определяется уравнениями:
\[
\begin{array}{ll}
\Omega_{r}=0 & (r=1,2, \ldots, n), \\
P_{r}=\frac{\partial W}{\partial Q_{r}}+\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial Q_{r}}+\lambda_{2} \frac{\partial \Omega_{2}}{\partial Q_{r}}+\cdots+\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial Q_{r}} & (r=1,2, \ldots, n), \\
p_{r}=-\frac{\partial W}{\partial q_{r}}-\lambda_{1} \frac{\partial \Omega_{1}}{\partial q_{r}}-\lambda_{2} \frac{\partial \Omega_{2}}{\partial q_{r}}-\cdots-\lambda_{k} \frac{\partial \Omega_{k}}{\partial q_{r}} & (r=1,2, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $\Omega_{1}, \Omega_{2}, \ldots, \Omega_{k}, W$ – произвольные функции переменных
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, t .
\]

В силу этих уравнений выполняется тождественно равенство:
\[
\begin{aligned}
\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r} & =\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}-\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{r}} d q_{r}+\frac{\partial W}{\partial Q_{r}} d Q_{r}\right)- \\
& -\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial \Omega_{s}}{\partial q_{r}} d q_{r}+\frac{\partial \Omega_{s}}{\partial Q_{r}} d Q_{r}\right)
\end{aligned}
\]

и поэтому (если $d$ есть символ вариации, при которой изменяются все переменные, включая и $t$ )
\[
\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}=\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}+\frac{\partial W}{\partial t} d t-d W+\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \frac{\partial \Omega_{s}}{\partial t} d t
\]

или
\[
\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}-H d t=\sum_{r=1}^{n} P_{r} d Q_{r}-\left(H-\frac{\partial W}{\partial t}-\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \frac{\partial \Omega_{s}}{\partial t}\right) d t-d W .
\]

Стоящий в правой части равенства полный дифференциал $d W$ может быть отброшен, так как он не влияет на первую пфаффову систему дифференциальной формы. Поэтому контактное преобразование преобразует систему уравнений:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

в систему
\[
\frac{d Q_{r}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
K=H-\frac{\partial W}{\partial t}-\sum_{s=1}^{k} \lambda_{s} \frac{\partial \Omega_{s}}{\partial t},
\]

причем $K$ следует представить как функцию от $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{n}, t$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru