1. Система определяется кинетической энергией:
\[
\frac{1}{2} \Phi\left(\frac{\dot{q}_{1}^{2}}{\Phi_{11}}+\frac{\dot{q}_{2}^{2}}{\Phi_{21}}+\cdots+\frac{\dot{q}_{n}^{2}}{\Phi_{n 1}}\right),
\]
(где $\Phi$ означает детерминант
\[
\left|\begin{array}{cccc}
\varphi_{11} & \varphi_{12} & \ldots & \varphi_{1 n} \\
\varphi_{21} & \varphi_{22} & \ldots & \varphi_{2 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\varphi_{n 1} & \varphi_{n 2} & \ldots & \varphi_{n n}
\end{array}\right|,
\]

у которого элементы $k$-й строки зависят только от координаты $q_{k}$, а $\Phi_{k l}$ алгебраическое дополнение, соответствующее элементу $\varphi_{k l}$ ) и потенциальной энергией:
\[
-\frac{\Psi}{\Phi}
\]

где
\[
\Psi=\Phi_{11} \psi_{1}+\Phi_{22} \psi_{2}+\cdots+\Phi_{n n} \psi_{n},
\]

и $\psi_{k}$ являются функциями одних лишь $q_{k}$. Показать, что уравнение Гамильтона-Якоби
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{1}{2 \Phi}\left\{\Phi_{11}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{1}}\right)^{2}+\Phi_{21}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{2}}\right)^{2}+\cdots+\Phi_{n 1}\left(\frac{\partial W}{\partial q_{n}}\right)^{2}\right\}-\frac{\Psi}{\Phi}=0
\]

допускает полный интеграл:
\[
W=-a_{1} t+\sum_{i=1}^{n} \int\left\{\alpha_{1} \varphi_{i 1}+\alpha_{2} \varphi_{i 2}+\cdots+\alpha_{n} \varphi_{i n}+2 \psi_{i}\right\}^{\frac{1}{2}} d q_{i}
\]

с произвольными постоянными $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$.
2. Пусть
\[
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t\right)=\text { const }
\]

есть интеграл некоторой динамической системы, допускающей интеграл энергии. Показать, что уравнения:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\text { const }, \quad \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=\text { const } \quad \text { и т. д. }
\]

являются также интегралами.
3. Система уравнений:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d q_{r}}{d t} & =A_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t\right) \\
\frac{d p_{r}}{d t} & =B_{r}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}, t\right)
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

обладает тем свойством, что скобка Пуассона $(\varphi, \psi)$, образованная из двух любых интегралов $\varphi$ и $\psi$, является также интегралом. Показать, что уравнения имеют форму Гамильтона:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
4. Пусть уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}=\text { const, } \alpha_{2}=\text { const }, \ldots, \alpha_{k}=\text { const } \text {, } \\
\beta_{1}=\mathrm{const}, \quad \beta_{2}=\mathrm{const}, \ldots, \beta_{k}=\mathrm{const} \\
\end{array}
\]

означают $2 k$ произвольных интегралов некоторой гамильтоновой системы дифференциальных уравнений с переменными $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{2}$, $p_{2}, \ldots, p_{n}$. Показать, что
\[
\sum_{\lambda_{1}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{k}} \pm \frac{\partial \alpha_{1}}{\partial q_{\lambda_{1}}} \frac{\partial \alpha_{2}}{\partial q_{\lambda_{2}}} \cdots \frac{\partial \alpha_{k}}{\partial q_{\lambda_{k}}} \frac{\partial \beta_{1}}{\partial p_{\lambda_{1}}} \frac{\partial \beta_{2}}{\partial p_{\lambda_{2}}} \cdots \frac{\partial \beta_{k}}{\partial p_{\lambda_{k}}}
\]

является также интегралом. (Laurent.)

5. Величина
\[
\left(H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}\right)=\sum_{i=1}^{
u} \frac{\partial\left(H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}\right)}{\partial\left(x_{1 i}, x_{2 i}, \ldots, x_{n i}\right)},
\]

где $H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}$ суть некоторые функции от $n
u$ переменных $x_{j i}$ $(j=1,2, \ldots, n ; i=1,2, \ldots,
u)$, называется скобкой Пуассона $n$-го порядка. Пусть $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{h
u}$ означают $h
u$ функций переменных $y_{11}, y_{12}, \ldots, y_{h
u} ; x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{k
u}, a_{1}, \ldots, a_{h
u}$, где $h+k=n$ и пусть
\[
P_{i}\left(G^{n}\right) \quad\left(i=1,2, \ldots,\left(\begin{array}{c}
h
u \\
n
\end{array}\right)\right)
\]

означают все скобки Пуассона, которые можно образовать из $n$ какихнибудь функций $G$. Показать, что уравнения:
\[
P_{i}\left(G^{n}\right)=0 \quad\left(i=1,2, \ldots,\left(\begin{array}{c}
h
u \\
n
\end{array}\right)\right)
\]

являются необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы функции
\[
\begin{aligned}
y_{s t}=F_{s t}\left(x_{11},\right. & \left.x_{12}, \ldots, x_{k
u}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{h
u}\right) \\
& (s=1,2, \ldots, h ; t=1,2, \ldots,
u),
\end{aligned}
\]

получаемые решением уравнений:
\[
G_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, h
u),
\]

удовлетворяли системе совокупности дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка:
\[
P_{i}\left(y^{h}, F\right)=0 \quad\left(i=1,2, \ldots,\left(\begin{array}{c}
h
u \\
n
\end{array}\right)\right),
\]

где $P_{i}\left(y^{h}, F\right)$ означает выражение, получаемое из $P_{i}\left(F^{n}\right)$ заменою $h$ из функций $F$ столькими же функциями $y$. (Albeggiani.)
6. Точка массы 1 , имеющая относительно неподвижных прямоугольных осей координаты $x$ и $y$, движется в плоскости под действием сил с потенциальной энергией $f(x, y)$; полная энергия точки равна $h$. Показать, что если ортогональные траектории кривых:
\[
\frac{1}{h-f(x, y)}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) \ln \{h-f(x, y)\}=\text { const }
\]

являются траекториями материальной точки, то ее уравнения движения допускают интеграл, линейный и однородный относительно скоростей $\dot{x}, \dot{y}$.

7. Уравнения движения свободной системы, состоящей из $m$ материальных точек, имеют вид:
\[
\frac{d^{2} x_{s}}{d t^{2}}=X_{s} \quad(s=1,2, \ldots, 3 m) .
\]

Система допускает интеграл вида:
\[
\sum_{s=1}^{3 m} f_{s} \dot{x}_{s}-C t=\mathrm{const}
\]

где $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{3 m}$ суть функции от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{3 m}$, а $C$ – постоянная. Показать, что интеграл может принять вид:
\[
\sum_{s=1}^{3 m} k_{s} \dot{x}_{s}+\sum_{r, s=1}^{3 m} a_{r s}\left(x_{s} \dot{x}_{r}-x_{r} \dot{x}_{s}\right)-C t=\mathrm{const},
\]

где величины $k_{s}$ и $a_{r s}$ суть постоянные. (Pennacchietti.)
8. Две материальные точки движутся на одной поверхности под действием различных сил, которые для каждой точки зависят только от положения. Уравнения движения этих точек имеют общий, независимый от времени, интеграл. Показать, что при этих условиях поверхность может быть развернута на некоторую поверхность вращения. (Bertrand.)