На основании уравнения энергии движение консервативной системы с одной степенью свободы может быть определено при помощи квадратур. В самом деле, если $q$ означает координату, то интеграл энергии
\[
\dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-L=h
\]

устанавливает зависимость между $\dot{q}$ и $q$.
Если из этой зависимости выразить явно $\dot{q}$ через $q$ :
\[
\dot{q}=f(q),
\]

то дальнейшее интегрирование дает решение задачи под видом:
\[
t=\int \frac{d q}{f(q)}+\text { const. }
\]

Если, однако, мы имеем дело с задачей с большим числом степеней свободы, то одного уравнения энергии уже недостаточно для ее разрешения. Но интеграл энергии, так же как интегралы, соответствующие циклическим координатам, может быть использован для приведения системы к системе с меньшим числом степеней свободы ${ }^{1}$.

С этой целью заменим в функции $L$ величины $\dot{q}_{2}, \dot{q}_{3}, \ldots, \dot{q}_{n}$ величинами $\dot{q}_{1} q_{2}^{\prime}, \dot{q}_{1} q_{3}^{\prime}, \ldots, \dot{q}_{1} q_{n}^{\prime}$, где $q_{r}^{\prime}=\frac{d q_{r}}{d q_{1}}$, и полученную в результате функцию обозначим через $W\left(\dot{q}_{1}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$. Дифференцирование равенства
\[
L\left(\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)=W\left(\dot{q}_{1}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right)
\]

дает:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}=\frac{\partial W}{\partial \dot{q}_{1}}-\sum_{r=2}^{n} \frac{\dot{q}_{r}}{\dot{q}_{1}^{2}} \frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}}, \\
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=\frac{1}{\dot{q}_{1}} \frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=2,3, \ldots, n), \\
\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\end{aligned}
\]
${ }^{1}$ Whittaker, Mess. of Math., т. 30, 1900.

Уравнения (3) и (4) дают:
\[
\frac{\partial W}{\partial \dot{q}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}}+\sum_{r=2}^{n} \frac{\dot{q}_{r}}{\dot{q}_{1}} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} .
\]

Заменим теперь в интеграле энергии
\[
\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L=h
\]

величины $\dot{q}_{r}$ через $\dot{q}_{1} q_{r}^{\prime}$ и выразим из полученного уравнения величину $\dot{q}_{1}$ как функцию величин $q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. При помощи полученного выражения для $\dot{q}_{1}$ функция
\[
\sum_{r=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \frac{\dot{q}_{r}}{\dot{q}_{1}}
\]

представится как функция от $q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Полученную таким образом функцию обозначим через $L^{\prime}$. Тогда из равенства (6) вытекает, что функция $L^{\prime}$ совпадает с $\frac{\partial W}{\partial \dot{q}_{1}}$ и лишь только иначе выражена. Дифференцирование по $q_{r}^{\prime}$ и по $q_{r}$ уравнения энергии, которое согласно (6) может быть записано в виде
\[
\dot{q}_{1} \frac{\partial W}{\partial \dot{q}_{1}}-W=h
\]

и которое рассматривается как соотношение, выражающее $\dot{q}_{1}$ как неявную функцию от $q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, дает:
\[
\begin{aligned}
\dot{q}_{1} \frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1}^{2}} \frac{\partial \dot{q}_{1}}{\partial q_{r}^{\prime}} & =\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}}-\dot{q}_{1} \frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1} \partial q_{r}^{\prime}}, \\
\dot{q}_{1} \frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1}^{2}} \frac{\partial \dot{q}_{1}}{\partial q_{r}} & =\frac{\partial W}{\partial q_{r}}-\dot{q}_{1} \frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1} \partial q_{r}} .
\end{aligned}
\]

Из дифференцирования равенства
\[
L^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial \dot{q}_{1}},
\]

рассматриваемого как тождество между переменными $q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, вытекает:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}^{\prime}}=\frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1} \partial q_{r}^{\prime}}+\frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1}^{2}} \frac{\partial \dot{q}_{1}}{\partial q_{r}^{\prime}} \\
\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}}=\frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1} \partial q_{r}}+\frac{\partial^{2} W}{\partial \dot{q}_{1}^{2}} \frac{\partial \dot{q}_{1}}{\partial q_{r}}
\end{array}
\]

Сравнивая (7) и (9), найдем, что
\[
\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}^{\prime}}=\frac{1}{\dot{q}_{1}} \frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=2,3, \ldots, n),
\]

и сравнивая (8) и (10), имеем:
\[
\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}}=\frac{1}{\dot{q}_{1}} \frac{\partial W}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Комбинируя эти уравнения с (4) и (5), найдем:
\[
\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}^{\prime}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}, \quad \frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}}=\frac{1}{\dot{q}_{1}} \frac{\partial L}{\partial q_{r}} .
\]

Подстановка этих значений в уравнения движения дает систему:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}^{\prime}}\right)-\dot{q}_{1} \frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=2,3, \ldots, n)
\]

или окончательно:
\[
\frac{d}{d q_{1}}\left(\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=2,3, \ldots, n) .
\]

Но эти уравнения могут быть рассматриваемы как уравнения движения некоторой новой динамической системы, имеющей кинетический потенциал $L^{\prime}$ и координаты $q_{2}, q_{3}, \ldots, q_{n}$ и в которой роль времени играет независимая переменная $q_{1}$. В общем случае эта система, так же как и системы, получающиеся от приведения систем с циклическими координатами, не будет натуральной, т. е. кинетический потенциал $L^{\prime}$ будет содержать не только члены нулевой и второй степеней относительно скоростей $q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}$. Но так как уравнения системы имеют форму уравнений Лагранжа, то большинство положений относительно динамических систем будет справедливо также и для нее. Интеграл энергии дает, таким образом, возможность привести данную динамическую систему с п степенями свободы к некоторой другой динамической системе с $n-1$ степенями свободы.

В общем случае новая система не допускает интеграла энергии, так как независимая переменная $q_{1}$ может войти явно в новый кинетический потенциал $L^{\prime}$. Но если для первоначальной системы координата $q_{1}$ является координатой циклической, то она не войдет явно ни в одно из действий вышеизложенного процесса приведения и, следовательно, не войдет также и в $L^{\prime}$. Отсюда следует, что в этом случае и новая система допускает интеграл энергии, а именно:
\[
\sum_{r=2}^{n} q_{r}^{\prime} \frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{r}^{\prime}}-L^{\prime}=\text { const. }
\]
Это обстоятельство может быть использовано для дальнейшего понижения числа степеней свободы.

Согласно вышеизложенным положениям всякая консервативная динамическая система с $n$ степенями свободы и с $n-1$ циклическими координатами может быть полностью разрешена в квадратурах. Для этого нужно поступать двояким образом: можно сначала, пользуясь циклическими координатами, привести систему к системе с одной степенью свободы, которая допускает интеграл энергии и поэтому может быть разрешена способом, указанным в начале этого параграфа. Или мы можем при помощи интеграла энергии понизить число степеней свободы на единицу, при помощи интеграла энергии новой системы еще на единицу и т. д., пока не придем к системе с одной степенью свободы, решение которой может быть опять найдено вышеуказанным способом. ЗАдАчА 1. Динамическая система имеет кинетический потенциал
\[
L=\frac{1}{2} f\left(q_{2}\right) \dot{q}_{1}^{2}+\frac{1}{2} \dot{q}_{2}^{2}-\psi\left(q_{2}\right) .
\]

Показать, что зависимость между $q_{1}$ и $q_{2}$ дается дифференциальным уравнением
\[
\frac{d}{d q_{1}}\left(\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{2}^{\prime}}\right)-\frac{\partial L^{\prime}}{\partial q_{2}}=0,
\]

где $q_{2}^{\prime}=\frac{d q_{2}}{d q_{1}}$ и $L^{\prime}$ определяется равенством
\[
L^{\prime}=\left\{2 h-2 \psi\left(q_{2}\right)\right\}^{\frac{1}{2}}\left\{f\left(q_{2}\right)+q_{2}^{\prime 2}\right\}^{\frac{1}{2}} .
\]

Показать, далее, что определяемая этим дифференциальным уравнением ненатуральная система допускает интеграл энергии, и привести при помощи него решение задачи к квадратурам.