Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Предыдущие результаты дают возможность доказать теорему Ли ${ }^{1}$ и Кёнигса ${ }^{2}$ о приведении системы обыкновенных дифференциальных уравнений к форме Гамильтона.
Пусть
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k)
\]

есть данная система дифференциальных уравнений, а
\[
\int\left(\xi_{1} \delta x_{1}+\xi_{2} \delta x_{2}+\cdots+\xi_{k} \delta x_{k}\right)
\]
(где $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{k}$ – данные функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ ) один из ее абсолютных или относительных интегральных инвариантов первого порядка. В предыдущем параграфе мы видели, что существует бесчисленное множество такого рода интегральных инвариантов.
Допустим, что дифференциальная форма
\[
\xi_{1} \delta x_{1}+\xi_{2} \delta x_{2}+\cdots+\xi_{k} \delta x_{k}
\]

приведена к каноническому виду
\[
p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\cdots+p_{n} \delta q_{n}-\delta \Omega,
\]

где $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \Omega$ суть независимые функции величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$, причем $n \leqslant k$; при этом $\Omega$ может быть равной нулю $^{3}$. Пусть, далее, $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{k-2 n}$ есть вторая система функций от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$, так что вместе с $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ она образует $k$ независимых функций от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Допустим, что система дифференциальных уравнений введением этих $k$ новых величин в качестве независимых переменных приведена к виду:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d q_{r}}{d t}=Q_{r}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=P_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n), \\
\frac{d u_{s}}{d t}=U_{s} \quad(s=1,2, \ldots, k-2 n), \\
\end{array}
\]

где $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{k-2 n}$ суть некоторые функции новых переменных.
Выражение
\[
\int\left(p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\cdots+p_{n} \delta q_{n}\right)
\]

будет интегральным инвариантом для новой системы (абсолютным или относительным), так как при преобразованиях, подобных тем, которые
${ }^{1}$ Archiv for Math. og Natur., т. 2, стр. 10, 1877.
${ }^{2}$ Comptes Rendus, т. 121, стр. 875, 1895
3 Доказательство возможности такого приведения (требующего в общем случае интегрирования некоторого числа обыкновенных дифференциальных уравнений) можно найти в любом руководстве по проблеме Пфаффа.

мы произвели, свойство инвариантности не нарушается. Отсюда следует (§116), что первые $2 n$ уравнений имеют вид:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $H$ – некоторая функция, зависящая только от величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$. Данная система дифференциальных уравнений привелась, таким образом, к системе $2 n$-го порядка Гамильтона и к $k-2 n$ дополнительным уравнениям:
\[
\frac{d u_{s}}{d t}=U_{s} \quad(s=1,2, \ldots, k-2 n) .
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru