Придадим теперь другую форму условиям, которым должно удовлетворять преобразование, преобразующее переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, для того чтобы оно было контактным.

Если $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ суть произвольные функции двух переменных $u$ и $v$ и, может быть, еще и некоторых других переменных, то выражение
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial q_{r}}{\partial u} \frac{\partial p_{r}}{\partial v}-\frac{\partial q_{r}}{\partial v} \frac{\partial p_{r}}{\partial u}\right)
\]

называется скобками Лагранжа ${ }^{1}$ и обозначается обычно символом $[u, v]$. Пусть теперь $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ будут произвольными функциями $2 n$ переменных $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$.
Заменим в выражении
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right)
\]

величины $d p_{r}$ их значениями:
\[
\frac{\partial p_{r}}{\partial Q_{1}} d Q_{1}+\frac{\partial p_{r}}{\partial Q_{2}} d Q_{2}+\cdots+\frac{\partial p_{r}}{\partial Q_{n}} d Q_{n}+\frac{\partial p_{r}}{\partial P_{1}} d P_{1}+\frac{\partial p_{r}}{\partial P_{2}} d P_{2}+\cdots+\frac{\partial p_{r}}{\partial P_{n}} d P_{n}
\]

и аналогичными выражениями все остальные вариации. Тогда в сокращенной записи будем иметь:
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right)=\sum_{k, l}\left[u_{k}, u_{l}\right]\left(d u_{l} \delta u_{k}-\delta u_{l} d u_{k}\right),
\]

где суммирование в правой части равенства распространено на всевозможные пары переменных $u_{k}, u_{l}$ системы $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$.

Но если преобразование переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ есть преобразование контактное, то
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right)=\sum_{r=1}^{n}\left(d P_{r} \delta Q_{r}-\delta P_{r} d Q_{r}\right) .
\]
${ }^{1}$ Lagrange, Mem. de 1’Institut de France, 1808; Oeuvres, т. 6, стр. 713.

Последнее равенство справедливо при всевозможных видах вариаций $\delta$ и $d$. Поэтому сравнение с предыдущим равенством дает:
\[
\begin{array}{rrr}
{\left[P_{i}, P_{k}\right]} & =0,\left[Q_{i}, Q_{k}\right]=0 & (i, k=1,2, \ldots, n), \\
{\left[Q_{i}, P_{k}\right]} & =0 & (i, k=1,2, \ldots, n ; i
eq k), \\
{\left[Q_{i}, P_{i}\right]} & =1 & (i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Эти уравнения могут быть рассматриваемы как уравнения в частных производных, определяющие $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ как такие функции от $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, при которых переход от одних переменных к другим есть контактное преобразование. Эти уравнения выражают в явной аналитической форме условия инвариантности выражения:
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right) .
\]