Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Придадим теперь другую форму условиям, которым должно удовлетворять преобразование, преобразующее переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, для того чтобы оно было контактным.

Если $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ суть произвольные функции двух переменных $u$ и $v$ и, может быть, еще и некоторых других переменных, то выражение
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial q_{r}}{\partial u} \frac{\partial p_{r}}{\partial v}-\frac{\partial q_{r}}{\partial v} \frac{\partial p_{r}}{\partial u}\right)
\]

называется скобками Лагранжа ${ }^{1}$ и обозначается обычно символом $[u, v]$. Пусть теперь $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ будут произвольными функциями $2 n$ переменных $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$.
Заменим в выражении
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right)
\]

величины $d p_{r}$ их значениями:
\[
\frac{\partial p_{r}}{\partial Q_{1}} d Q_{1}+\frac{\partial p_{r}}{\partial Q_{2}} d Q_{2}+\cdots+\frac{\partial p_{r}}{\partial Q_{n}} d Q_{n}+\frac{\partial p_{r}}{\partial P_{1}} d P_{1}+\frac{\partial p_{r}}{\partial P_{2}} d P_{2}+\cdots+\frac{\partial p_{r}}{\partial P_{n}} d P_{n}
\]

и аналогичными выражениями все остальные вариации. Тогда в сокращенной записи будем иметь:
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right)=\sum_{k, l}\left[u_{k}, u_{l}\right]\left(d u_{l} \delta u_{k}-\delta u_{l} d u_{k}\right),
\]

где суммирование в правой части равенства распространено на всевозможные пары переменных $u_{k}, u_{l}$ системы $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$.

Но если преобразование переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ есть преобразование контактное, то
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right)=\sum_{r=1}^{n}\left(d P_{r} \delta Q_{r}-\delta P_{r} d Q_{r}\right) .
\]
${ }^{1}$ Lagrange, Mem. de 1’Institut de France, 1808; Oeuvres, т. 6, стр. 713.

Последнее равенство справедливо при всевозможных видах вариаций $\delta$ и $d$. Поэтому сравнение с предыдущим равенством дает:
\[
\begin{array}{rrr}
{\left[P_{i}, P_{k}\right]} & =0,\left[Q_{i}, Q_{k}\right]=0 & (i, k=1,2, \ldots, n), \\
{\left[Q_{i}, P_{k}\right]} & =0 & (i, k=1,2, \ldots, n ; i
eq k), \\
{\left[Q_{i}, P_{i}\right]} & =1 & (i=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Эти уравнения могут быть рассматриваемы как уравнения в частных производных, определяющие $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ как такие функции от $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, при которых переход от одних переменных к другим есть контактное преобразование. Эти уравнения выражают в явной аналитической форме условия инвариантности выражения:
\[
\sum_{r=1}^{n}\left(d p_{r} \delta q_{r}-\delta p_{r} d q_{r}\right) .
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru