Связь углов Эйлера с параметрами $\xi, \eta, \zeta, \chi \S 9$ можно установить, сравнивая таблицы направляющих косинусов обеих систем координат, полученные в § 9 и 10. Непосредственно эту связь можно установить следующим образом. Пусть система осей Oxyz получается вращением неподвижной системы $O X Y Z$ на угол $\omega$ вокруг прямой $O R$, имеющей направляющие углы $\alpha, \beta, \gamma$. Проведем из точки $O$ как из центра сферу радиуса, равного едини-

Рис. 2 це, которая будет, следовательно, пересекаться всякой плоскостью, проходящей через $O$, по большому кругу и всякой прямой из $O$ в точке. Тогда сферический треугольник $R Z z$ имеет стороны $\gamma, \gamma, \vartheta$ и угол при $R$, равный $\omega$. Отсюда вытекает соотношение:
\[
\sin \frac{1}{2} \vartheta=\sin \gamma \sin \frac{1}{2} \omega .
\]

Обозначим, далее, через $
u$ угол $R Z Y$, так что $R Z z=\frac{1}{2} \pi-\varphi-
u$. Тогда дуга $R Z$ перейдет в положение $R z$, если сначала ее повернуть на угол $\varphi$ вокруг $Z$, затем на угол $\vartheta$ вокруг полюса дуги $Z Z$ и, наконец, на угол $\psi$ вокруг $z$. Первое из этих вращений переводит $R Z$ в дугу, которая в точке $Z$ образует с $Z z$ угол $\frac{1}{2} \pi-\varphi-$ $-
u+\varphi=\frac{1}{2} \pi-
u$; второе вращение переводит ее в дугу, которая образует тот же угол $\frac{1}{2} \pi-
u$ с дугой $Z z$, но проходит через точку $z$; после третьего вращения эта дуга будет проходить опять через $z$, но будет образовывать с $Z z$ угол $\frac{1}{2} \pi-
u+\psi$. Но этот угол равен $\pi-R z Z=\pi-R Z z=\pi-\left(\frac{1}{2} \pi-\varphi-
u\right)=\frac{1}{2} \pi+\varphi+
u$. Следовательно, имеем:
\[
\frac{1}{2} \pi+\varphi+
u=\frac{1}{2} \pi-
u+\psi
\]

или
\[

u=\frac{1}{2}(\psi-\varphi) .^{1}
\]

Отсюда вследствие того, что сферический треугольник $R Z X$ имеет стороны $\alpha, \gamma, \frac{1}{2} \pi$ и угол при $Z$, равный $\frac{1}{2} \pi-
u=\frac{1}{2}(\pi-\psi+\varphi)$, непосредственно вытекает, что
\[
\cos \alpha=\sin \gamma \sin \frac{1}{2}(\psi-\varphi) .
\]

Заменяя $\gamma$ уже полученным значением, получим:
\[
\cos \alpha \sin \frac{1}{2} \omega=\sin \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi-\varphi)
\]

или
\[
\xi=\sin \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi-\varphi) .
\]

Аналогично из сферического треугольника $R Z Y$ получаем:
\[
\cos \beta=\sin \gamma \cos \frac{1}{2}(\psi-\varphi)
\]

и по исключении $\sin \gamma$
\[
\cos \beta \sin \frac{1}{2} \omega=\sin \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi-\varphi)
\]

или
\[
\eta=\sin \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi-\varphi) .
\]

Так как мы показали, что сферический треугольник $R Z z$ имеет стороны $\gamma, \gamma, \vartheta$ и углы $\frac{1}{2}(\pi-\psi-\varphi), \frac{1}{2}(\pi-\psi-\varphi)$, $\omega$, то мы можем написать и такие соотношения:
\[
\begin{aligned}
\cos \frac{1}{2} \omega & =\cos \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi+\varphi), \\
\sin \frac{1}{2} \omega \cos \gamma & =\cos \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi+\varphi) .
\end{aligned}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
\chi=\cos \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi+\vartheta) \\
\zeta=\cos \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi+\varphi) .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ (см., например, Леви-Чивита и Амальди, Курс теоретической механики, т. 1, ч. 1, перевод проф. В.Ф.Каган). Если мы в эти формулы подставим (см. рис. 2) $\frac{\pi}{2}+\varphi$ вместо $\varphi$ и $\frac{3 \pi}{2}+\psi$ вместо $\psi$, то получатся формулы, приводимые в тексте. (Ред.)

Следовательно, параметры $\xi, \eta, \zeta, \chi$ выражаются через углы Эйлера при помощи следующих равенств:
\[
\begin{array}{ll}
\xi=\sin \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi-\vartheta), \quad \eta=\sin \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi-\varphi), \\
\zeta=\cos \frac{1}{2} \vartheta \sin \frac{1}{2}(\psi+\varphi), \quad \chi=\cos \frac{1}{2} \vartheta \cos \frac{1}{2}(\psi+\varphi)
\end{array}
\]