1. Материальная точка движется по кривой, вращающейся вокруг постоянной оси. Потенциальная энергия $V(s)$ точки зависит только от ее положения, определяемого дугой $s$. Показать, что период колебаний точки около ее относительного положения равновесия на кривой равен
\[
2 \pi\left\{-\frac{d V}{d s} \frac{d}{d s} \ln \left(-\frac{r \frac{d r}{d s}}{\frac{d V}{d s}}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}},
\]

где $r$ – расстояние точки от оси вращения.
2. Определить колебания тяжелого горизонтального цилиндра, катящегося по внутренней стороне другого, неподвижного полого цилиндра. Показать, что эквивалентный математический маятник имеет длину $(b-a)(3 M+m)(2 M+m)$. Здесь $b$ и $M$ означают радиус и массу наружного цилиндра, а $a$ и $m$ – радиус и массу внутреннего цилиндра.
3. Тонкостенная полусферическая чашка массы $M$ и радиуса $a$ находится на шероховатой горизонтальной плоскости. Точка массы $m$ лежит на ее гладкой внутренней стороне. Система совершает малые колебания, причем траектория точки и центр тяжести чашки лежат в одной плоскости. Показать, что нормальные колебания имеют периоды $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}$ и $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{2}}}$, где $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ суть корни уравнения:
\[
m a \lambda g^{\prime}-\left(g^{\prime}-a \lambda\right)\left(\frac{1}{2} g^{-}-\frac{2}{3} a \lambda\right) M=0 .
\]
4. Нить длины $4 a$ нагружена на равных расстояниях тремя грузами $m, M, m$ и подвешена симметрично в двух точках $A$ и $B$. Груз $M$ совершает малые колебания по вертикали. Показать, что эквивалентный математический маятник имеет длину:
\[
\frac{a \cos \alpha \cos \beta \sin (\alpha-\beta) \cos (\alpha-\beta)}{\sin \alpha \cos ^{2} \alpha+\sin \beta \cos ^{2} \beta},
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – углы наклона частей нити относительно вертикали.
5. Однородный стержень длины $2 a$ подвешен на короткой нити длины $l$. Показать, что продолжительность колебания приблизительно в $1+\frac{9 l}{32 a}$ раз больше, чем продолжительность колебания стержня относительно одного из своих концов.

6. Эллиптический цилиндр, ограниченный двумя плоскостями, перпендикулярными к его оси, покоится на двух гладких, взаимно перпендикулярных, неподвижных плоскостях, образующих каждая угол в $45^{\circ}$ с горизонтом. Показать, что существуют два устойчивых и два неустойчивых положения равновесия и что в первом случае эквивалентный математический маятник имеет длину:
\[
\frac{a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}{2 \sqrt{2}(a-b)^{2}(a+b)},
\]

где $a$ и $b$ – полуоси поперечного сечения цилиндра.
7. Шероховатый круглый цилиндр радиуса $a$ и массы $m$ нагружен таким образом, что его центр тяжести находится на расстоянии $h$ от оси. Цилиндр лежит на доске такой же массы, которая может двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. Система получает в устойчивом положении равновесия небольшое возмущение. Показать, что эквивалентный математический маятник имеет длину $\frac{k^{2}}{h}+\frac{(a-h)^{2}}{2 h}$, где $m k^{2}-$ момент инерции цилиндра относительно горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести.
8. Один конец однородного стержня длины $b$ и массы $m$ прикреплен при помощи шарнира к гладкой вертикальной стене; другой конец стержня прикреплен аналогичным образом к поверхности однородного шара массы $M$ и радиуса $a$. Показать, что колебание около положения равновесия имеет период $\frac{2 \pi}{p}$, где
\[
\begin{array}{c}
p_{2}\left\{\sin \beta \sin ^{2}(\alpha-\beta)+\frac{2}{3} \cos \alpha \sin (\alpha-\beta)+\frac{2}{5} \sin \beta \cos ^{2} \beta\right\}= \\
=\frac{g}{a b \cos \alpha}\left(a \sin \alpha \cos ^{2} \alpha+b \sin \beta \cos ^{2} \beta\right),
\end{array}
\]

а $\alpha$ и $\beta$ определяются уравнениями:
\[
\begin{aligned}
a \sin \alpha+b \sin \beta-a & =0, \\
\left(\frac{1}{2} m+M\right) \operatorname{tg} \beta-M \operatorname{tg} \alpha & =0 .
\end{aligned}
\]
9. Внутри тонкостенного круглого цилиндра массы $M$ и радиуса $b$, покояшегося на шероховатой горизонтальной плоскости, находится шероховатый шар массы $m$ и радиуса $a$. Система получает возмущение в плоскости, перпендикулярной к образующей. Найти уравнения конечных колебаний и два интеграла. Показать далее, что при малых колебаниях эквивалентный математический маятник имеет длину:
\[
\frac{14 M(b-a)}{10 M+7 m} .
\]
(Camb. Math. Tripos, часть 1, 1899.)

10. Шар радиуса $c$ лежит на горизонтальной проволоке, согнутой в эллипс с полуосями $a$ и $b$. Показать, что продолжительность колебания под действием силы тяжести около устойчивого положения равновесия совпадает с продолжительностью колебания математического маятника длины $l$, определяемой уравнением:
\[
b^{2} d l=\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(d^{2}+k^{2}\right),
\]

где $k^{2}=\frac{2}{5} c^{2}, d^{2}=c^{2}-b^{2}$.
11. Ромб, образованный четырьмя однородными стержнями длины $a$, связанными шарнирами, лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Один из углов равен $2 \alpha$. Вершины ромба связаны упругими нитями, длины которых в естественном состоянии равны $2 a \cos \alpha$ и $2 a \sin \alpha$. Одна из нитей слегка натягивается и затем отпускается. Показать, что в возникающем после этого движении периоды, в течение которых натянуты соответственно первая и вторая нити, относятся как
\[
(\cos \alpha)^{\frac{3}{2}}:(\sin \alpha)^{\frac{3}{2}} .
\]
12. Точка массы $m$ привязана при помощи $n$ одинаковых упругих нитей к вершинам правильного $n$-угольника. Длина каждой нити в естественном состоянии равна $a$; радиус окружности, описанной около многоугольника, равен $c$. Показать, что точка, при ее отклонении от положения равновесия в плоскости многоугольника, совершает прямолинейные гармонические колебания, для которых эквивалентный математический маятник имеет длину $\frac{2 m g a c}{n \lambda(2 c-a)}$, где $\lambda$ – модуль упругости нитей; напротив, для колебаний, перпендикулярных к плоскости многоугольника, длина эквивалентного математического маятника равна $\frac{m g a c}{n \lambda(2 c-a)}$.
13. Уравнение энергии материальной точки имеет вид:
\[
f(x) x^{2}=2 \varphi(x)+\text { const, }
\]

где $\varphi(x)$ уничтожается при $x=a$. Пусть $\varphi^{(2 p)}(x)$ означает первую необращающуюся в нуль (при $x=a$ ) производную от $\varphi(x)$. Показать, что колебание около положения $x=a$ имеет период:
\[
\frac{4}{h^{p-1}} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2 p}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2 p}+\frac{1}{2}\right)}\left\{-\frac{\Gamma(2 p) f(a) \pi}{4 p \varphi^{(2 p)}(a)}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $h$ означает значение величины $x-a$ при наибольшем отклонении. (Elliot.)

14. Центр тяжести конуса, имеющего во всем остальном обычную кинетическую симметрию относительно вершины, лежит на расстоянии $c$ от оси. Конус колеблется около положения равновесия на горизонтальной плоскости. Показать, что эквивалентный математический маятник имеет длину:
\[
\frac{\cos \alpha}{M C}\left(A \sin ^{2} \alpha+C \cos ^{2} \alpha\right),
\]

если плоскость, на которой лежит конус, шероховатая, и длину:
\[
\frac{\cos \alpha}{M C}\left(\frac{\sin ^{2} \alpha}{A}+\frac{\cos ^{2} \alpha}{C}\right),
\]

если эта плоскость гладкая.
15. Некоторое число одинаковых однородных стержней длины $2 a$ связаны концами при помощи идеальных шарниров в одной точке и образуют между собой равные углы наподобие прутьев дождевого зонтика. Образованный таким образом конус накрывает некоторый покоящийся шар радиуса $b$ и находится на нем в покое. Систему выводят из положения равновесия, сообщая вершине небольшие вертикальные колебания. Показать, что эти колебания имеют период:
\[
2 \pi\left(\frac{a}{3 g} \cdot \frac{1+3 \sin ^{2} \alpha}{1+2 \sin ^{2} \alpha}\right)^{\frac{1}{2}} \sin ^{\frac{1}{2}} \alpha,
\]

где $\frac{\sin \alpha}{\cos ^{3} \alpha}=\frac{a}{b}$. (Camb. Math. Tripos, часть 1, 1896.)
16. Тяжелая прямоугольная пластинка удерживается в горизонтальном положении при помощи четырех упругих нитей, прикрепленных к ее вершинам и к некоторой неподвижной точке, расположенной на вертикали, проходящей через центр пластинки. Показать, что вертикальные колебания имеют период:
\[
2 \pi\left(\frac{g}{c}+\frac{4 c^{2} \lambda}{k^{3} M}\right)^{-\frac{1}{2}},
\]

где $c$ – расстояние пластинки в положении равновесия от неподвижной точки, $a$ – длина половины диагонали, $k=\left(a^{2}+c^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$, а $\lambda$ – модуль упругости нитей.
17. Тяжелая плоская пластинка, подвешенная на трех вертикальных нерастяжимых нитях разной длины, находится в равновесии в горизонтальном положении. Показать, что нормальные колебания состоят:

1) из вращений вокруг двух вертикальных осей, лежащих в плоскости, проходящей через центр тяжести точек подвеса, предполагая, что в каждой из них сосредоточена масса, равная обратной величине длины соответствующей нити; 2) из горизонтальных колебаний, параллельных этой плоскости.
18. Однородный стержень длины $2 a$ может свободно вращаться вокруг своего закрепленного конца. К другому концу этого стержня привязана нить длины $b$, к которой, в свою очередь, привязан шар радиуса $c$. Массы шара и стержня равны между собой. Определить движение системы при малом отклонении ее от вертикального положения равновесия и показать, что периоды колебаний определяются уравнением:
\[
2 a b c \mu^{2}-g \mu^{2}(6 b c+19 c a+5 a b)+g^{2} \mu(35 a+15 b+21 c)-g^{3}=0 .
\]
19. Однородная проволока, согнутая в эллипс с полуосями $a$ и $b$, покоится на шероховатой горизонтальной плоскости таким образом, что малая полуось направлена вертикально вверх. К наивысшей точке проволоки подвешен на нити длины $l$ маленький шарик, масса которого равна массе проволоки. Показать, что период колебаний в вертикальной плоскости равен периоду колебаний математического маятника длины $x$, определяемой уравнением:
\[
\left\{x\left(3 b-\frac{2 a^{2}}{b}\right)+5 b^{2}+k^{2}\right\}(x-l)+4 b^{2} l=0,
\]

где $k$ – радиус инерции относительно центра тяжести.
20. Концы нерастяжимой нити прикреплены к двум неподвижным точкам, расположенным на одной высоте на расстоянии, равном $\frac{3}{4}$ длины нити друг от друга. Нить проходит через два гладких колечка, прикрепленных к концам однородного стержня, длина которого равна половине длины нити. Стержень находится в равновесии в горизонтальном положении. Ему сообщают небольшое возмущение в вертикальной плоскости, проходящей через точки подвеса нити. Показать, что в начале движения нормальные координаты, выраженные через время, равны соответственно $L \cos (p t+\alpha)$ и $M \operatorname{ch}(q t+\beta)$, где $p^{2}$ и $-q^{2}$ суть корни уравнения:
\[
x^{4}-\frac{\sqrt{3}}{4} \frac{g}{a} x^{2}-\frac{3}{4} \frac{g^{2}}{a^{2}}=0 .
\]
21. Однородный тяжелый стержень длины $2 a$, подвешенный к неподвижной точке при помощи нити длины $b$, выводится из вертикального положения при помощи небольшого толчка. Показать, что периоды нормальных колебаний равны: $\frac{2 \pi}{p_{1}}$ и $\frac{2 \pi}{p_{2}}$, где $p_{1}$ и $p_{2}$ – корни уравнения:
\[
a b p^{4}-(4 a+3 b) g p^{2}+3 g^{2}=0 .
\]

22. Круглый диск массы $M$ подвешен к неподвижной точке при помощи нити, прикрепленной к его центру. На его периметре, в точке $P$, укреплена неподвижно материальная точка массы $m$. Составить уравнения движения в вертикальной плоскости, выбрав за координаты углы $\vartheta$ и $\varphi$, которые образуют линии $O C$ и $C P$ с вертикалью, и показать, что при колебании системы около положения равновесия периоды этих координат определяются уравнением:
\[
(M+m)\left(p^{2} a-g\right)\left\{(M+2 m) c p^{2}-2 m g\right\}=2 m^{2} c a p^{4},
\]

где $a$ – длина нити $O C$ и $c$ – радиус диска.
23. Сосуд, имеющий форму полусферы радиуса $b$, покоится на гладком столе так, что плоскость его края горизонтальна. В сосуде покоится шероховатый шар радиуса $b$, масса которого составляет $\frac{1}{4}$ массы сосуда. Шару сообщается небольшое отклонение в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара и сосуда. Показать, что вызванные этим колебания имеют периоды $\frac{2 \pi}{p_{1}}$ и $\frac{2 \pi}{p_{2}}$, где $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$ – корни уравнения:
\[
156 b^{2} x^{2}-260 b x g+75 g^{2}=0 .
\]
24. Однородный круговой диск радиуса $a$ и массы $m$ удерживается в равновесии на гладкой горизонтальной плоскости при помощи трех упругих лент. Ленты прикреплены к трем равноотстоящим точкам окружности диска и к трем точкам плоскости, лежащим на продолжениях радиусов диска, проходящих через первые три точки. При равновесии диска ленты имеют длину $l$, в нерастянутом состоянии – длину $l_{0}$, а их модуль упругости равен $\lambda$. Показать, что диск имеет периоды колебаний:
\[
2 \pi\left\{\frac{\mu}{2 l-l_{0}}\right\}^{\frac{1}{2}} \quad \text { и } 2 \pi\left\{\frac{\mu a}{4(a+l)\left(l-l_{0}\right)}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $\mu=\frac{2 m l l_{0}}{3 \lambda}$. (Camb. Math. Tripos, часть I, 1898.)
25. Материальная точка описывает окружность под действием силы притяжения к центру, пропорциональной $n$-й степени расстояния. Показать, что при $n<3$ движение неустойчиво. Показать далее, что если сила изменяется как $r^{-2} e^{-\frac{r}{a}}$, то движение будет устойчивым или неустойчивым в зависимости от того, будет ли радиус окружности больше или меньше величины $a$.

26. Материальная точка движется в пространстве под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния и некоторого постоянного поля сил. Показать, что одним из возможных стационарных движений является равномерное движение по окружности, но что это движение только тогда устойчиво, когда окружность лежит да прямом круговом конусе, имеющем вершину в центре сил и угол раствора, больший чем $2 \arccos \frac{1}{3}$.
27. Материальная точка движется равномерно по окружности под действием сил притяжения к двум неподвижным центрам. Силы притяжения обратно пропорциональны квадратам расстояния. Показать, что движение неустойчиво, если $3 \cos \vartheta \cos \varphi<1$, где $\vartheta$ и $\varphi$ – углы, под которыми виден радиус окружности из притягивающих центров. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1889 .)
28. Тяжелая материальная точка бросается горизонтально на внутреннюю поверхность кругового конуса, имеющего вертикальную ось и открытого кверху. Первоначальное расстояние точки от вершины конуса равно $c$, а угол раствора конуса равен $2 \alpha$. Определить, при каком условии точка опишет горизонтальную окружность. Показать далее, что период колебания около этого стационарного движения равен периоду колебаний математического маятника длиной $\frac{c}{3 \cos \alpha}$.
29. Через центр круглого диска, перпендикулярно к его плоскости, проходит тонкий стержень, длина которого равна радиусу диска. Показать, что, для того чтобы система при вертикальном положении стержня могла двигаться наподобие волчка, необходимо, чтобы скорость какойнибудь точки окружности диска была больше скорости, приобретаемой телом, падающим без начальной скорости с высоты, равной удесятеренному радиусу.
30. Симметричный волчок с вертикальной осью вращается настолько быстро, что его движение устойчиво. Показать, что два вида движения, отличающиеся очень мало от этого стационарного движения и определяющиеся простыми гармоническими функциями времени, являются предельными формами стационарных движений, при которых ось очень мало отклонена от вертикали, и что период колебаний есть предел периода колебаний стационарного движения с малоотклоненной осью, когда это отклонение стремится к нулю.
31. Конец однородного стержня длины $2 a$, радиус инерции которого относительно конца равен $k$, описывает горизонтальную окружность радиуса $c$ с постоянной угловой скоростью $\omega$. Показать, что если движение стационарно, то стержень находится в вертикальной плоскости, проходящей через центр окружности, и образует с вертикалью угол $\alpha$, определяемый уравнением:
\[
\omega^{2}\left(k^{2}+\frac{a c}{\sin \alpha}\right)=\frac{a g}{\cos \alpha} .
\]

Показать также, что периоды нормальных колебаний суть $\frac{2 \pi}{\lambda_{1}}$ и $\frac{2 \pi}{\lambda_{2}}$, где $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ – корни уравнения:
\[
\left(k^{2} \lambda^{2} \sin \alpha-\omega^{2} a c\right)\left(k^{2} \lambda^{2} \sin \alpha-\omega^{2} a c-\omega^{2} k^{2} \sin ^{3} \alpha\right)=4 \omega^{2} k^{4} \lambda^{2} \sin ^{2} \alpha \cos ^{2} \alpha \text {. }
\]
(Camb. Math. Tripos, часть 1, 1889.)
32. Исследовать движение конического маятника, выведенного из состояния стационарного движения малыми вертикальными гармоническими колебаниями точки подвеса. Может ли при таком возмущении стационарное движение сделаться неустойчивым?
33. Середина одной из сторон однородного прямоугольника закреплена неподвижно, а прямая, соединяющая ее с серединой противолежащей стороны, описывает с постоянной угловой скоростью круговой конус с углом при вершине, равным $2 \alpha$. Во всем остальном прямоугольник свободен. Определить возможные стационарные формы движения и показать, что продолжительность колебания около устойчивого стационарного движения равна периоду обращения, деленному на $\sin \alpha$.
34. Тело вращения, имеющее плоскость симметрии, проходящую через центр тяжести и перпендикулярную к оси тела, висит на нити длины $b$, прикрепленной к концу оси. Длина оси равна $2 a$, масса тела равна $M$, а главные моменты инерции в центре тяжести равны $A, A$ и $C$. Телу сообщается небольшое возмущение из состояния стационарного движения, при котором ось тела и нить вертикальны, а тело равномерно вращается вокруг этой оси. Показать, что нормальные колебания имеют периоды $\frac{2 \pi}{p_{1}}$ и $\frac{2 \pi}{p_{2}}$, где $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}-$ корни уравнения:
\[
M a^{2} g p^{2}=\left(g-b p^{2}\right)\left(M a g+C n p-A p^{2}\right) .
\]
35. Симметричный волчок, острие которого покоится в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей, расположенной вертикально, оси. На него поставлен второй волчок, который также вращается вогруг своей оси, расположенной вертикально, причем острие волчка также покоится в некотором гнезде. Показать, что если все корни уравнения
\[
\left(M c g x^{2}+C \Omega x+A\right)\left\{\left(M^{\prime} c^{\prime}+M h\right) g x^{2}+C^{\prime} \Omega^{\prime} x+\left(A^{\prime}+M h^{2}\right)\right\}=M^{2} h^{2} c^{2}
\]

действительны, то система устойчива. Здесь $\Omega$ и $\Omega^{\prime}$ означают угловые скорости верхнего и нижнего волчков, $M$ и $M^{\prime}$ – их массы, $C$ и $C^{\prime}$ – их моменты инерции относительно оси симметрии, $A$ и $A^{\prime}-$ их моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия, $c, c^{\prime}$ – расстояния центров тяжести от соответствующего острия, $h$ – расстояние между остриями. (Camb. Math. Tripos, часть 1,1898 .)
36. Однородное тело, касающееся гладкой горизонтальной плоскости, находится в состоянии устойчивого стационарного вращения с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тяжести и точку касания. Тело имеет две плоскости симметрии, проходящие через вертикаль. Главные радиусы кривизны в точке касания равны $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$. Момент инерции относительно главных осей в центре тяжести (эти оси параллельны линиям кривизны) равны $A$ и $B$, а момент инерции относительно вертикали равен $C$. Центр тяжести лежит на высоте $a=a_{1}+\rho_{1}=a_{2}+\rho_{2}$ над точкой касания. Вес тела равен $\lambda \omega^{2}$. Показать, что движение устойчиво, если выполняются следующие условия:
\[
\begin{array}{c}
\text { I. }\left(\lambda a_{1}+A-C\right)\left(\lambda a_{2}+B-C\right)>0, \\
\text { II. } \lambda\left(a_{1} A+a_{2} B\right)<A B+(A-C)(B-C),
\end{array}
\]
III. $\lambda$ не должно заключаться между двумя значениями величины :
\[
\frac{(A+B-C)\left[\sqrt{B}\left\{a_{1} A+a_{2}(A-C)\right\}^{\frac{1}{2}} \pm \sqrt{A}\left\{a_{2} B+a_{1}(B-C)^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}\right]^{2}}{\left(a_{1} A-a_{2} B\right)^{2}},
\]

если оба радикала, входящие в это выражение, действительны. (Camb. Math. Tripos, часть 1. 1897.)