В общем случае задача движения твердого тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести не может быть разрешена в квадратурах. Рассмотренные в § 69,71 случаи, когда центр тяжести совпадает с точкой опоры (и, следовательно, сила тяжести не имеет влияния на движение) и когда центр тяжести и точка опоры лежат на оси симметрии тела, являлись долгое время единственными известными случаями, при которых решение задачи приводится к квадратурам. Однако в 1888 г. Софья Ковалевская показала ${ }^{1}$, что задача может быть разрешена в квадратурах и тогда, когда два момента инерции в точке опоры равны между собой и каждый из них вдвое дольше третьего момента, т. е. $A=B=2 C$, а центр тяжести тела лежит в плоскости этих равных моментов.

Примем за ось $x$ прямую, соединяющую точку опоры с центром тяжести, расстояние которого от точки опоры обозначим через $a$. Пусть углы Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$ определяют положение главных осей инерции $O x y z$ по отношению к неподвижным прямоугольным осям $O X Y Z$. Ось $O Z$ направим вертикально вверх. Пусть, далее, $M$ – масса тела, а $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты его угловой скорости по осям Охуz. Тогда кинетическая и потенциальная энергии тела определяются равенствами:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+A \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}\right)= \\
& =C\left\{\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2}\right\}, \\
V & =-M g a \sin \vartheta \cos \psi .
\end{aligned}
\]

Координата $\varphi$ будет, очевидно, циклической и дает интеграл
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\mathrm{const}
\]

или
\[
2 \dot{\varphi} \sin ^{2} \vartheta+(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta) \cos \vartheta=k,
\]

где $k$ – некоторая постоянная. Интегралом энергии будет:
\[
T+V=\text { const }
\]

или
\[
\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2}-\frac{M g a}{C} \sin \vartheta \cos \psi=h .
\]
${ }^{1}$ Acta Math., т. 12, стр. 177, 1888.

Софья Ковалевская нашла еще один алгебраический интеграл, который может быть определен следующим образом.
Кинетический потенциал
\[
L=C \dot{\vartheta}^{2}+C \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2}+M g a \sin \vartheta \cos \psi
\]

и уравнения движения имеют вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \vartheta} & =0, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \psi} & =0, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

Первое уравнение дает:
\[
2 \ddot{\vartheta}=(\dot{\varphi} \cos \vartheta-\dot{\psi}) \dot{\varphi} \sin \vartheta+\frac{M g a}{C} \cos \vartheta \sin \psi,
\]

а исключая $\ddot{\psi}$ из второго и третьего уравнений, получим:
\[
2 \frac{d}{d t}(\dot{\varphi} \sin \vartheta)=-(\dot{\varphi} \cos \vartheta-\dot{\psi}) \dot{\vartheta}+\frac{M g a}{C} \cos \vartheta \sin \psi .
\]

Умножая первое из этих уравнений на $i$ и складывая его со вторым, получим:
\[
2 \frac{d}{d t}(\dot{\varphi} \sin \vartheta+i \dot{\vartheta})=i(\dot{\varphi} \cos \vartheta-\dot{\psi})(\dot{\varphi} \sin \vartheta+i \dot{\vartheta})+i \frac{M g a}{C} \cos \vartheta e^{-i \psi} .
\]

Это уравнение мы можем привести к виду:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left\{(\dot{\varphi} \sin \vartheta+i \dot{\vartheta})^{2}+\frac{M g a}{C} \sin \vartheta e^{-i \psi}\right\}= \\
=i(\dot{\varphi} \cos \vartheta-\dot{\psi})\left\{(\dot{\varphi} \sin \vartheta+i \dot{\vartheta})^{2}+\frac{M g a}{C} \sin \vartheta e^{-i \psi}\right\}
\end{array}
\]

или
\[
\frac{1}{U} \frac{d U}{d t}=i(\dot{\varphi} \cos \vartheta-\dot{\psi}),
\]

где
\[
U=(\dot{\varphi} \sin \vartheta+i \dot{\vartheta})^{2}+\frac{M g a}{C} \sin \vartheta e^{-i \psi} .
\]

Из равенства
\[
V=(\dot{\varphi} \sin \vartheta-i \dot{\vartheta})^{2}+\frac{M g a}{C} \sin \vartheta e^{i \psi}
\]

аналогично вытекает:
\[
\frac{1}{V} \frac{d V}{d t}=-i(\dot{\varphi} \cos \vartheta-\dot{\psi}) .
\]

Поэтому
\[
\frac{1}{U} \frac{d U}{d t}+\frac{1}{V} \frac{d V}{d t}=0
\]

или
\[
U V=\text { const. }
\]

Следовательно, имеет место следующее уравнение:
\[
\begin{array}{l}
\left\{(\dot{\varphi} \sin \vartheta+i \dot{\vartheta})^{2}+\frac{M g a}{C} \sin \vartheta e^{-i \psi}\right\} \times \\
\times\left\{(\dot{\varphi} \sin \vartheta-i \dot{\vartheta})^{2}+\frac{M g a}{C} \sin \vartheta e^{i \psi}\right\}=\mathrm{const}
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\left(\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta\right)^{2}+\left(\frac{M g a}{C}\right)^{2} \sin ^{2} \vartheta+ \\
+\frac{M g a}{C} \sin \vartheta\left\{e^{i \psi}(\dot{\varphi} \sin \vartheta+i \dot{\vartheta})^{2}+e^{-i \psi}(\dot{\varphi} \sin \vartheta-i \dot{\vartheta})^{2}\right\}=\text { const. }
\end{array}
\]

Это и есть искомый третий алгебраческий интеграл системы.
Эти три интеграла образуют систему из трех дифференциальных уравнений первого порядка, которая служит для определения $\vartheta, \varphi, \psi$ вместо первоначальной системы уравнений движения. Так как $\varphi$ не входит явно ни в одно из этих уравнений, то, пользуясь одним из них, можно исключить $\dot{\varphi}$ из двух других. Тогда для определения $\vartheta$ и $\psi$ получится система из двух уравнений первого порядка. Софья Ковалевская показала, что эти уравнения могут быть проинтегрированы в гиперэллиптических функциях. Самое решение можно найти в уже цитированном сочинении Ковалевской ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ См. таюже Këtter, Acta Math., т. 17, стр. 209, 1893; Стеклов, Горячев и Чаплыгин, Труды Об-ва естеств., т. 10. 1899; т. 12, 1904; G.Dumas, Nouv. Ann., cep. 4, т. 4, стр. 355, 1904; Husson, Toulouse Ann., cep. 2, т. 8, стр. 73, 1906; Husson, Acta Math., т. 31, стр. 71, 1907; N. Kowalevski, Math. Ann., т. 65, стр. 528. 1908; P. Stäckel, Math. Ann., т. 65, стр. 538. 1908; O. Olsson, Arkiv för Mat., т. 4, № 7. 1908; R. Marcolongo, Rom. Acc. Rend., cep. 5, т. 17, стр. 698, 1908; F. de Brun, Arkiv för Mat., т. 6, № 9, 1910; P. Burgatti, Rend. d. Palermo, т. 29, стр. 396,1910; O.Lazzarino, Rend. d. Soc. Reale di Napoli, cep. 3a, т. 17, стр. 68, 1911.

ЗАДАчА 1. Пусть $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ – направляющие косинусы $O x, O y, O z$ относительно $O Z$, а $x, y, \tau$ определяются уравнениями:
\[
\begin{aligned}
\omega_{2}^{2} x= & \left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}+\frac{M g a \gamma_{1}}{C}\right)\left\{\left(\omega_{3} \omega_{1}+\frac{M g a \gamma_{3}}{C}\right)^{2}-\omega_{3}^{2} \omega_{2}^{2}\right\}+ \\
& +2 \omega_{3} \omega_{2}\left(2 \omega_{1} \omega_{2}+\frac{M g a \gamma_{2}}{C}\right)\left(\omega_{3} \omega_{1}+\frac{M g a \gamma_{3}}{C}\right), \\
\omega_{2}^{2} y= & \left(2 \omega_{1} \omega_{2}+\frac{M g a \gamma_{3}}{C}\right)\left\{\left(\omega_{3} \omega_{1}+\frac{M g a \gamma_{3}}{C}\right)^{2}-\omega_{3}^{2} \omega_{2}^{2}\right\}- \\
& -2 \omega_{3} \omega_{2}\left(\omega_{3} \omega_{1}+\frac{M g a \gamma_{3}}{C}\right)\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}+\frac{M g a \gamma_{1}}{C}\right), \\
\omega_{2}^{2} d \tau= & \left\{\left(\omega_{3} \omega_{1}+\frac{M g a \gamma_{3}}{C}++\omega_{3}^{2} \omega_{2}^{2}\right)^{2}\right\} d t .
\end{aligned}
\]

Показать при помощи интеграла Ковалевской (не пользуясь интегралами энергии и момента количества движения), что уравнениям движения можно придать вид:
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}=-\frac{\partial V}{\partial x}, \quad \frac{d^{2} y}{d \tau^{2}}=-\frac{\partial V}{\partial y},
\]

где $V$ – функция только от $x$ и $y$, так что задача сводится к определению движения материальной точки в плоском консервативном поле сил. (Колосов).
Р. Лиувилль показал ${ }^{1}$, что единственным дальнейшим общим случаем, при котором движение твердого тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести допускает третий алгебраический интеграл, будет тот, при котором:
1) эллипсоид инерции в точке опоры есть эллипсоид вращения;
2) центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции;
3) отношение $\frac{2 C}{A}$ есть произвольно выбираемое целое число ( $A, A, C-$ моменты инерции в точке опоры).

Ср. исследования, цитированные в предыдущем подстрочном примечании.

ЗАДАчА 2. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки, для которой соответствующие моменты инерции связаны соотношениями: $A=B=4 C$. Центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции на расстоянии $h$ от $O$. Показать, что если постоянная момента количества движения относительно вертикали, проходящей через $O$, обращается в нуль, то существует интеграл:
\[
\omega_{3}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right)+g h \omega_{1} \cos \vartheta=\mathrm{const},
\]
${ }^{1}$ Acta Math., т. 20. стр. 239, 1897.

где $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости относительно главных осей $O x y z$, причем ось $O x$ – есть прямая, соединяющая точку $O$ с центром тяжести. Показать далее, что задача разрешима в квадратурах и приводит к гиперэллиптическим интегралам. (Чаплыгин.)