В последней главе мы показали, что определение движения некоторой голономной динамической системы с конечным числом степеней свободы сводится к разрешению некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть $q_1,q_2,\dots ,q_n$ означают координаты, определяющие положение системы в момент времени $t$, а $n$ — число степеней свободы. Тогда система уравнений движения состоит из $n$ дифференциальных уравнений второго порядка с зависимыми переменными $q_1,q_2,\dots ,q_n$ и с независимым переменным $t$. Порядок системы равен $2n$ (под порядком системы мы понимаем сумму наивысших порядков производных от зависимых переменных, входящих в уравнения этой системы). Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что число произвольных постоянных интегрирования, входящих в общее решение какой-нибудь системы дифференциальных уравнений, равно порядку этой системы. Следовательно, общее решение какой-нибудь голономной динамической задачи с $n$ степенями свободы содержит $2n$ постоянных интегрирования.

Всякая система дифференциальных уравнений $k$-го порядка может быть приведена к виду:
$$\frac{d{x}_r}{dt}=X_r(x_1,x_2,\dots ,x_k,t)(r=1,2,\dots ,k),$$

где $X_1,X_2,\dots ,X_k$ — известные функции их аргументов. Для этой цели следует ввести в качестве новых зависимых переменных $x_1$, $x_2,\dots ,x_k$ первоначальные зависимые переменные и их производные до наивысшего порядка, встречающегося в первоначальной системе уравнений.
Так, например, система уравнений четвертого порядка
$$\frac{d^2{q}_1}{d{t}^2}=Q_1(q_1,q_2,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2),\frac{d^2{q}_2}{d{t}^2}=Q_2(q_1,q_2,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2)$$
(где $Q_1$ и $Q_2$ — функции указанных аргументов) подстановкой
$$x_1=q_1,x_2=q_2,x_3={\dot{q}}_1,x_4={\dot{q}}_2$$

приводятся к виду:
$$\frac{d{x}_1}{dt}=x_3,\frac{d{x}_2}{dt}=x_4,\frac{d{x}_3}{dt}=Q_1(x_1,x_2,x_3,x_4),\frac{d{x}_4}{dt}=Q_2(x_1,x_2,x_3,x_4).$$

Мы можем, следовательно, рассматривать систему
$$\frac{d{x}_r}{dt}=X_r(x_1,x_2,\dots ,x_k,t)(r=1,2,\dots ,k)$$

как нормальную форму некоторой системы дифференциальных уравнений $k$-го порядка.

Если некоторая функция $f(x_1,x_2,\dots ,x_k,t)$ обладает тем свойством, что $\frac{df}{dt}$ уничтожается, когда вместо $x_1,x_2,\dots ,x_k$ подставить любые функции от $t$, удовлетворяющие вышеуказанным дифференциальным уравнениям, то уравнение
$$f(x_1,x_2,\dots ,x_k,t)=\text{ const }$$

называется интегралом системы. Легко найти условие, при котором некоторая заданная функция $f$ представляет интеграл системы. Ибо из уравнения $\frac{df}{dt}=0$ вытекает:
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}{\dot{x}}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}{\dot{x}}_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_k}{\dot{x}}_k+\frac{\partial f}{\partial t}=0$$

или
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}{X}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}{X}_2+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_k}{X}_k+\frac{\partial f}{\partial t}=0.$$

Это соотношение должно тождественно выполняться для того, чтобы уравнение
$$f(x_1,x_2,\dots ,x_k,t)=\text{ const }$$

могло быть интегралом нашей системы дифференциальных уравнений.
Иногда интегралом системы называют самую функцию $f$, а не уравнение $f=$ const.

Полное решение системы дифференциальных уравнений $k$-го порядка дается $k$ интегралами
$$f_r(x_1,x_2,\dots ,x_k,t)=a_r(r=1,2,\dots ,k)$$

с произвольными постоянными $a_1,a_2,\dots ,a_k$, если только эти интегралы независимы, т. е. если ни один из них не является следствием остальных. Ибо, если
$$x_r={\phi }_r(a_1,a_2,\dots ,a_k,t)(r=1,2,\dots ,k)$$

суть значения $x_1,x_2,\dots ,x_k$ как функций от $t,a_1,a_2,\dots ,a_k$, которые можно найти из этих уравнений, и если выбрать некоторую произвольную систему функций $x_1,x_2,\dots ,x_k$ от $t$, удовлетворяющих нашим дифференциальным уравнениям, то согласно вышесказанному произвольным постоянным $a_r$, следует лишь только придать определенным образом выбранные значения, чтобы уравнения
$$f_r(x_1,x_2,\dots ,x_k,t)=a_r(r=1,2,\dots ,k)$$

выполнялись для выбранных нами функций $x_1,x_2,\dots ,x_k$. Следовательно, система функций $x_1,x_2,\dots ,x_k$ содержится среди функций, определяемых уравнениями $x_r={\phi }_r$. Таким образом, решение динамической задачи с $n$ степенями свободы сводится к нахождению $2n$ интегралов некоторой системы дифференциальных уравнений $2n$-го порядка.
Так, например, уравнение второго порядка
$$\ddot{q}=-q$$

имеет два интеграла:
$$q^2+{\dot{q}}^2=a_1,\mathrm{arctg}\frac{q}{\dot{q}}-t=a_2,$$

где $a_1$ и $a_2$ — произвольные постоянные. Решение этих уравнений относительно $q$ и $\dot{q}$ дает:
$$q=a_1^{\frac{1}{2}}\sin (t+a_2),\dot{q}=a_1^{\frac{1}{2}}\cos (t+a_2).$$

Эти уравнения представляют решение нашего дифференциального уравнения.

Мы будем сначала заниматься теми задачами, которые могут быть разрешены в элементарных функциях или в неопределенных интегралах от элементарных функций, т. е. задачами, разрешимыми в квадратурах. Возможность или невозможность решения динамической задачи в квадратурах целиком зависит от вида кинетического потенциала. Настоящая глава посвящена выяснению тех, наиболее часто встречающихся частных видов кинетического потенциала, при которых динамическая задача разрешается в квадратурах.