Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Мы применим сейчас принципы, изложенные в предшествующих главах, к определению движения голономных систем твердых тел для тех случаев, когда решение может быть получено в квадратурах. Естественно мы исследуем сначала системы с одной степенью свободы. Согласно $\S 42$ такого рода системы допускают решение в квадратурах, если они обладают интегралом энергии. Случается иногда (например, в системах, в которых одна из кривых или поверхностей связей находится в некотором вынужденном движении), что задача, не обладая начальной своей постановке интегралом энергии, однако может быть приведена (при помощи, например, теоремы § 29) к другой задаче, для которой интеграл энергии имеется. После выполнения такого приведения может быть выполнена и интеграция. Разъясним это на следующих примерах. дает тогда: одно дифференциальное уравнение второго порядка для определения $\vartheta$. и его интеграция дает уравнение энергии: где $c$ – некоторая постоянная. Вторичное интегрирование дает: Этим соотношением между $\vartheta$ и $t$, в которой обе постоянные интегрирования вычисляются из начальных условий движения, и определяется движение тела. Особую важность представляет тот случай, когда ось вращения горизонтальна и единственной действующей силой является сила тяжести. Пусть $G$ будет центром тяжести тела, $C$ – основанием перпендикуляра, опущенного из $G$ на ось вращения, и $C G=h$. Потенциальная энергия есть – $M g h \cos \vartheta$, где $M$ – масса тела и $\vartheta$ – угол между $C G$ и направленной вниз вертикалью. Уравнение движения имеет вид: Оно совпадает с уравнением движения математического маятника длины $\frac{I}{M h}$. Поэтому, так же как и в $\S 44$, движение может быть представлено в эллиптических функциях. Решение имеет вид: для случая колебаний и для случая кругового движения. Длина $\frac{I}{M h}$ эквивалентного математического маятника называется приведенной длиной маятника. Если $O$ есть такая точка прямой $C G$, что $O C=\frac{I}{M h}$, то $O$ называется центром качаний, а $C$ – точкой подвеса. Получается неожиданная закономерность: точка подвеса и центр качаний могут быть взаимно перемещены, т. е. если $O$ есть центр качаний, когда $C$ – точка подвеса, то $C$ делается центром качаний, когда $O$ делают точкой подвеса. Для доказательства этого положения заметим, что, согласно сказанному в $\S 59$, момент инерции тела относительно $O$ равен моменту инерции относительно $G+M \cdot G O^{2}=I-M \cdot C G^{2}+M \cdot G O^{2}$. Поэтому: Следовательно, если тело подвесить в $O$, то уравнение движения примет прежний вид: чем положение и доказывается. Очевидно, что периоды колебаний вокруг точек $C$ и $O$ будут одинаковы. К моменту времени $t$ стержень образует с некоторым постоянным направлением на плоскости угол $\vartheta$, а насекомое отползает от середины стержня на отрезок $x$. Кинетическая энергия стержня равна $\frac{1}{2} m\left(c^{2}-\frac{2 a^{2}}{3}\right) \dot{\vartheta}^{2}$; кинетическая энергия насекомого складывается из скорости $\dot{x}-\left(c^{2}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \dot{\vartheta}$ в направлении стержня и из скорости $x \dot{\vartheta}$, перпендикулярной к нему. Общая кинетическая энергия системы будет поэтому Потенциальной энергии система не имеет. Единственная входящая в это выражение координата $\vartheta$ является циклической. Поэтому или или Интегрирование последнего уравнения дает: где $\vartheta_{0}$ и $k$ – постоянные. Полученная формула определяет положение стержня во всякий момент времени. Высота центра тяжести конуса над его вершиной равна $\frac{3}{4} l \cos \beta \cos \chi$ и потенциальная энергия конуса равна этой высоте, умноженной на $M g$. Поэтому, если $V$ – потенциальная энергия конуса, то (с точностью до постоянного слагаемого) Для вычисления кинетической энергии конуса мы воспользуемся его моментами инерции, относительно его оси и относительно прямой, перпендикулярной к оси и проходящей через вершину. Эти моменты легко вычисляются непосредственным интегрированием, при котором конус мыслится разложенным на отдельные диски, перпендикулярные к оси, и соответственно равны: Так как направляющие косинусы образующей относительно прямоугольных осей, проходящих через вершину конуса, ось которого принята за ось $z$, могут быть приняты равными $\sin \beta, 0$ и $\cos \beta$, то, согласно теореме $§ 60$, момент инерции относительно образующей равен: или Так как конус катится по плоскости без скольжения, то все точки образующей, по которой он касается плоскости, находятся в покое. Отсюда следует, что эта образующая является мгновенной осью вращения конуса. Поэтому, если $\omega$ – угловая скорость вращения конуса вокруг этой образующей, то его кинетическая энергия равна ( $\S 63$ ): Но согласно $§ 15$ подставляя это значение $\omega$, для кинетической энергии конуса получим значение: Поэтому уравнения движения Лагранжа принимает вид: или Оно совпадает с уравнением движения математического маятника длины Поэтому его интегрирование, так же как и в § 44, может быть выполнено при помощи эллиптических функций. Пусть $2 a$ – длина стержня, $M$ – его масса, $\vartheta$ – угол, который он образует с вертикалью. Согласно § 29 действие вращения сводится к тому, что к потенциальной энергии стержня добавляется член где $\rho$ – плотность, а $x$ – расстояние какой-нибудь точки стержня от его конца, лежащего на вертикальном брусе. После интегрирования этот добавочный член принимает вид: Так как часть потенциальной энергии, зависящая от тяжести, равна то для полной потенциальной энергии имеем: Горизонтальный и вертикальный компоненты скорости центра тяжести стержня равны соответственно $a \dot{\vartheta} \sin \vartheta$ и $a \dot{\vartheta} \cos \vartheta$. Поэтому та часть кинетической энергии стержня, которая зависит от движения центра тяжести, равна $\frac{1}{2} M a^{2} \dot{\vartheta}^{2}$. Вторая же часть кинетической энергии, зависящая от вращения стержня вокруг его центра тяжести, равна $\frac{1}{6} M a^{2} \dot{\vartheta}^{2}$, так как момент инерции стержня относительно его середины равен $\frac{1}{3} M a^{2}$. Отсюда для полной кинетической энергии стержня получаем выражение: Следовательно, интеграл энергии имеет вид: или, полагая $x=\cos \vartheta$ : где $\varepsilon$ – некоторая постоянная. Эта постоянная необходимо должна быть положительной, так как $\dot{x}^{2}$ и $1-x^{2}$ положительны. Мы будем предполагать, что $\varepsilon$ достаточно мало и что $\frac{3 g}{4 a \omega^{2}}<1$. При этих предположениях величина $x$ будет колебаться в пределах $\frac{3 g}{4 a \omega^{2}} \pm \frac{\varepsilon}{\omega}$. где $\xi$ – новая зависимая переменная. Подставляя это выражение $x$ в дифференциальное уравнение, получим: где значениям соответствуют значения: Легко видеть, что $e_{1}+e_{2}+e_{3}=0$ и $e_{1}>e_{2}>e_{3}$. где $\gamma$ – постоянная, а функция $\wp$ образована при помощи корней $e_{1}, e_{2}$ и $e_{3}$. Так как $e_{1}>e_{2}>e_{3}$ и функция $\wp$, для вещественных значений $t$, лежит между $e_{2}$ и $e_{3}$ (в силу того, что $x$ лежит между $\frac{3 g}{4 a \omega^{2}}-\frac{\varepsilon}{\omega}$ и $\frac{3 g}{4 a \omega^{2}}+\frac{\varepsilon}{\omega}$, то мнимая часть постоянной $\gamma$ необходимо должна равняться полупериоду $\omega_{3}$. Что касается вещественной части $\gamma$, то так как она зависит только от начального момента отсчета времени, она может быть принята равной нулю. Поэтому следовательно, Последнее уравнение определяет $\vartheta$ как функцию от $t$. Пусть $G$ – центр тяжести диска и $A G=a$. Точка $A$ имеет ускорение $c \omega^{2}$, направленное по внутренней нормали окружности. Поэтому, если всем точкам диска сообщить ускорение $c \omega^{2}$ в направлении внешней нормали, а точку $A$ закрепить, то полученное движение представит относительное движение диска вокруг точки $A$. Результирующая всех сил, действующих на диск в этом относительном движении, равна $M c \omega^{2}$, приложена в точке $G$ и направлена по внешней нормали окружности. Допустим, что углы, образованные прямой $A G$ и внешней нормалью с каким-нибудь неизменным направлением в плоскости, равны соответственно $\vartheta$ и $\varphi$. Тогда работа этой равнодействующей при бесконечно малом перемещении $\delta \vartheta$ равна: Кинетическая энергия тела равна $\frac{1}{2} M k^{2} \dot{\vartheta}^{2}$, где $M k^{2}$ – момент инерции диски относительно точки $A$. Поэтому уравнение движения принимает вид: Но так как $\dot{\varphi}=\omega$, то $\ddot{\varphi}=0$. Поэтому, полагая $\delta-\varphi=\psi$, получим: Последнее уравнение совпадает с уравнением движения математического маятника длины $\frac{k^{2} g}{a c \omega^{2}}$. Поэтому, так же как и в $\S 44$, интегрирование этого уравнения может быть выполнено в эллиптических функциях. 6. Качение диска по окружности другого вращающегося диска. В вертикальной плоскости находятся два одинаковых круглых диска радиуса $a$ и массы $M$. Края дисков обладают абсолютной шероховатостью и поддерживаются в постоянном соприкосновении однородной штангой массы $m$ и длины $2 a$, соединяющей их центры. Один из центров закреплен неподвижно, а соответствующий диск $A$ вращается с постоянным угловым ускорением $\alpha$. Определить движение соединяющей штанги и второго диска $B$. К моменту времени $t$ штанга образует с направленной вниз вертикалью угол $\varphi$, а диск $A$ поворачивается на угол $\vartheta$. Угловая скорость диска $A$ равна $\dot{\vartheta}$, а скорость точки соприкасания дисков равна $a \dot{\vartheta}$. Так как центр диска $B$ имеет скорость $2 a \dot{\varphi}$, то угловая скорость вращения диска $B$ вокруг своего центра равна $2 \dot{\varphi}-\vartheta$. Каждый из дисков имеет относительно своего центра момент инерции, равный $\frac{1}{2} M a^{2}$. Поэтому кинетическая энергия всей системы равна: и где $\varepsilon$ есть величина постоянная. Уравнением Лагранжа будет: или: и так как $\ddot{\vartheta}=\alpha$, то После интегрирования получаем: где $c$ – постоянная интегрирования, величина которой зависит от начальных условий. Так как в полученном уравнении переменные $t$ и $\varphi$ разделены, то дальнейшее интегрирование может быть выполнено в квадратурах. Окончательный интеграл и представит движение. ЗАдАчА 1. Показать, что если в начальный момент система находилась в покое и штанга была направлена вертикально вниз, то она достигнет горизонтального положения, если
|
1 |
Оглавление
|