Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим теперь движение материальной точки, вынужденной оставаться на некоторой гладкой поверхности и подверженной каким угодно силам.

Обозначим через X,Y,Z компоненты по осям прямоугольных координат действующей на точку внешней силы, не включая сюда силу, вынуждающую точку оставаться на поверхности. Введем также следующие обозначения: v — скорость точки; s — дуга и ρ — радиус кривизны траектории; χ — угол между главной нормалью к траектории и нормалью к поверхности движения; λ,μ,u — направляющие косинусы той нормали к траектории, которая лежит в касательной плоскости. Все величины отнесены к моменту времени t. Пусть, наконец, масса равна единице. Ускорение будет складываться из двух компонентов: vdvds в направлении касательной и v2ρ в направлении главной нормали к траектории. Последний, в свою очередь, можно разложить на две составляющих: v2ρsinχ — в направлении прямой, с направляющими косинусами λ,μ,u и v2ρcosχ — в направлении нормали к поверхности.
Уравнения движения будут иметь вид:
vdvds=Xdxds+Ydyds+Zdzds,v2ρsinχ=Xλ+Yμ+Zu.
1 Некоторые обобщения задачи двух притягивающих центров есть в статье Хилтебейтеля (Hiltebeitel, Amer. Journ. Math., т. 33. стр. 337, 1911).
2 Самыми ранними исследованиями движения на поверхности являются исследования Галилея движения тяжелой точки по наклонной плоскости. Движение тяжелой точки по горизонтальному кругу некоторого шара было исследовано Гюйгенсом (Horologium oscillatorium, 1673).

Эти уравнения вместе с уравнением поверхности полностью определяют движение. Действительно, из уравнения поверхности можно определить z как функцию от x,y, а затем все величины в уравнениях (1) и (2) выразить через x,y,x˙,y˙,x¨,y¨. Таким образом, уравнения (1) и (2) сводятся к системе дифференциальных уравнений четвертого порядка для определения x и y как функций t. Если силы консервативны, то выражение
XdxYdyZdz

будет дифференциалом потенциальной функции V(x,y,z). Тогда уравнение (1) интегрируется и дает уравнение энергии:
12v2+V(x,y,z)=c,

где c — постоянно.
Если теперь вставить в уравнение (2) найденное значение v2, то получим:
2(cV)sinχρ=Xλ+Yμ+Zu.

После исключения z с помощью уравнения поверхности это даст дифференциальное уравнение второго порядка для x и y, определяющее траекторию на поверхности.

В общем случае дифференциальные уравнения движения точки на поверхности не интегрируются в квадратурах. Однако, в двух случаях задачу можно поставить так, что при этом результаты могут быть использованы и при различных других зависимостях.
1. Движение по инерции. Если на точку не действуют никакие внешние силы, то уравнение (2) дает χ=0, т. е. траектории будут геодезическими линиями на поверхности 1. Из уравнения энергии следует, что эти геодезические линии описываются точкой с постоянной скоростью.
ЗАДАчА 1. Точка движется свободно по неподвижной, гладкой, линейчатой поверхности, стрикционная линия которой есть ось z, а образующая в точке z имеет направляющие косинусы:
sinαcoszm,sinαsinzm,cosα.

Определить движение.
Обозначим через v расстонние точки (x,y,z) поверхности от стрикционной линии, взятое по образующей. Далее, пусть точка (0,0,ζ) есть точка пересечения этой образующей со стрикционной линией. Тогда будем иметь:
x=vsinαcosζm,y=vsinαsinζm,z=ζ+vcosα.
1 Это — теорема Эйлера (Mechanica, т. II, гл. 4, 1736).

Материальная точка обладает кинетической энергией:
T=12(x˙2+y˙2+z˙2)=12(v˙2+ζ˙2v2m2sin2α+ζ˙2+2ζ˙v˙cosα).

Величины v и ζ можно принять за координаты, определяющие положение точки. Очевидно, координата ζ — циклическая, ей соответствует интеграл Tζ˙=k, где k постоянная, или
(v2m2sin2α+1)ζ+v˙cosα=k.

Интегралом энергии будет:
T=h,

где h — тоже постоянная. Исключая из обоих интегралов ζ˙, получим:
v˙2(v2+m2)=2hv2+(2hk2)m21sin2α.

Если в начале движения v˙ достаточно велико по сравнению с ζ˙ то будем иметь (2hk2)>0. В этом предположении можем написать:
(2hk2)m2sin2α=2hλ2,

где λ — новая постоянная, и, следовательно, получаем уравнение:
v˙2(v2+m2)=2h(v2+λ2),

которое может быть проинтегрировано, если ввести вещественную вспомогательную переменную u, определяемую равенством:
u=0v{(m2+v2)(λ2+v2)}12dv.

Полагая здесь
v=λmx12,

будем иметь:
u=x{4x(x+λ2)(x+m2)}12dx.

Это равенство эквивалентно следующему:
x=(u)e1,

где функция образована при помощи корней e1,e2,e3, определяемых равенствами:
e1e2=λ2,e1e3=m2,e1+e2+e3=0.

Связь между переменными v и u будет, следовательно, определена равенством:
v=λm{(u)e1}12.

Подставляя это значение в уравнение, связывающее v и t, получим:
(2h)12t=(e1e3){(u)e2}(u)e1du+ const =={e3+(u+ω1)}du+ const 1=e3uζ(u+ω1)+ const. 

Это соотношение дает t как функцию от вспомогательной переменной u и, следовательно, вместе с уравнением
v=λm{(u)e1}12

дает связь между v и t.
2. Движение по развертывающейся поверхности. Пусть точка движется по развертывающейся поверхности. Воспользуемся известной теоремой, что дуга s и величина sinχρ при развертывании поверхности на плоскость остаются неизменными. Тогда из вышенаписанных уравнений движения получим следующий результат: Ecли поверхность, по которой под действием произвольных сил движется материальная точка, развертывается на плоскость, то плоская кривая, соответствующая траектории точки, будет описываться соответствующей точкой со скоростью, равной скорости точки на траектории, если только сила, действующая на точку в плоском движении, будет по величине и направлению равна проекции на касательную плоскость силь, действующей на движуцуюся по поверхности точку.
ЗадАчА 2. Тяжелая точка брошена на поверхность прямого, кругового конуса, имеющего вертикальную ось и вершину, расположенную сверху, со скоростью, которую она приобрела бы, двигаясь без начальной скорости из вершины. Показать, что траектория на конусе имеет в плоскости развертки уравнение:
r32sin32ϑ=a32.

После развертывания конуса на плоскость получается задача плоского движения, под действием постоянной отталкивающей силы, направленной из начала координат, причем материальная точка имеет скорость, обращающуюся в нуль в начале координат. Поэтому существуют интегралы:
r˙2+r2ϑ˙2=Cr, где C — постоянная, r2ϑ˙=h, где h — постоянная. 
1 См Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, § 20, 33.

Эти уравнения дают:
(1rdrdϑ)2+1=Cr3h2=r3a3,

где a новая постоянная. Полагая u=1r, имеем поэтому:
(dudϑ)2=1a3u3a3u,

следовательно,
ϑ=a32u12du(1a3u3)12,

или
ϑ=23dv(1v2)12, где v=u32a32
т. e.
ϑ=23arcsinv.

Это уравнение эквивалентно уравнению:
r32sin32ϑ=a32.

ЗАдАчА 3. При движении точки P по развертывающейся поверхности площадь, описываемая касательной IP к ребру возврата, изменяется пропорционально времени. Доказать, что слагающая силы, перпендикулярная к IP и лежащая в касательной плоскости, пропорциональна величине ρIP4, где ρ радиус кривизны ребра возврата. (Hazzidakis).

1
Оглавление
email@scask.ru