Приведем здесь краткое содержание работы Синджа (Synge) ${ }^{1}$, в которой динамические проблемы трактуются методами тензорного исчисления.

Движение динамической системы, конфигурация которой определяется $N$ координатами $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N}$, можно рассматривать как движение одной материальной точки в $N$-мерном пространстве («пространстве конфигурации»). Если кинетическая энергия системы задана квадратичной формой $T=\frac{1}{2} a_{m n} \dot{q}^{m} \dot{q}^{n}$ (где по повторяющемуся в произведении индексу подразумевается суммирование от 1 до $N$ ), то выражение:
\[
d s^{2}=2 T d t^{2}=a_{m n} d q^{m} d q^{n}
\]

является инвариантом, определяемым двумя смежными конфигурациями. Корень квадратный из этого количества может быть назван расстоянием между двумя конфигурациями, а само количество – кинематическим линейным элементом. В случае движения одной материальной точки единичной массы в пространстве или по поверхности определенный таким образом кинематический линейный элемент совпадает с обычным геометрическим линейным элементом.

Вектор с компонентами $\dot{q}^{r}$ называется вектором скорости, а вектор с компонентами $f^{r}$, где
\[
f^{r}=\ddot{q}^{r}+\Gamma_{m n}^{r} \dot{q}^{m} \dot{q}^{n}
\]

называется вектором ускорения. Легко видеть (стр. 61), что уравнения движения могут быть записаны в виде $f^{r}=Q^{r}$, т. е. ускорение равно силе. Так же как и в динамике точки, ускорение может быть разложено на компоненты по касательной и главной нормали, и эти компоненты соответственно равны: $v \frac{d v}{d s}$ и $v^{2} k$, где $v$ – величина вектора скорости $\left(v^{2}=a_{m n} \dot{q}^{m} \dot{q}^{n}=2 T\right.$ ), а $k$ – первая кривизна. Это сразу приводит к обобщению теоремы Бонне (стр. 127).

Чисто геометрическое понятие об относительной кривизне двух кривых в пространстве Римана, введенное Липка (Lipka, Bull. Amer. Math. Soc., т. 29, стр. 345, 1923), дополнительно выясняет смысл принципа наименьшей кривизны и приводит к следующей теореме: При движении консервативной системы с голономными или неголономными связями действительная траектория при движении со связями обладает относительно действительной траектории при движении без связей с тем же самым вектором скорости меньшей кривизной, чем всякая другая кривая, имеющая ту же самую касательную и удовлетворяющая условиям связей.
${ }^{1}$ I. L. Synge, On the Geometry of Dynamics, Phil, trans., A, 226, стр. 31-106, 1926. Относительно основ тензорного анализа см. Eisenhart, Riemannian Geometry или Levi-Civita, Lezioni di calcolo differenziale assoluto [имеются английский и немецкий переводы. (Прим ред.)].

Прилагая методы тензорного анализа к неголономным системам, можно получить для них соответствующие уравнения Лагранжа. Система из $M$ уравнений связей накладывает условие, что вектор скорости должен быть перпендикулярен к некоторому $M$-мерному элементу. В этом элементе всегда возможно выбрать $M$ взаимно ортогональных ортов. Если эти орты обозначить через $B_{(1)}^{r}, B_{(2)}^{r}, \ldots, B_{(M)}^{r}$, то уравнения движения будут иметь вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{r}}\right) & -\frac{\partial T}{\partial q^{r}}=Q^{r}-\left(B_{(1) m} Q^{m}+B_{(1) m n} Q^{m} Q^{n}\right) B_{(1)}^{r}- \\
& -\left(B_{(2) m} Q^{m}+B_{(2) m n} Q^{m} Q^{n}\right) B_{(2)}^{r}- \\
& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& -\left(B_{(M) m} Q^{m}+B_{(M) m n} Q^{m} Q^{n}\right) B_{(M)}^{r},
\end{aligned}
\]

где, например, $B_{(1) m n}$ есть ковариантная производная от $B_{(1) m}$ :
\[
B_{(1) m n}=\frac{\partial B_{(1) m}}{\partial q^{n}}-\Gamma_{m n}^{s} B_{(1) s} .
\]

Этот метод имеет особенный интерес при приложении к вопросам устойчивости движения. Два движения: возмущенное и невозмущенное изображаются двумя смежными кривыми в пространстве. Если расстояние между соответственными конфигурациями в возмущенном и невозмущенном движениях остается все время очень малым, то мы будем говорить, что движение устойчиво в кинетическом смысле. Обозначим через $\eta^{r}$ бесконечно малый вектор возмущения, соединяющий соответственные конфигурации в возмущенном и невозмущенном движениях. Можно показать, что $\eta^{r}$ удовлетворяет уравнению:
\[
\widehat{\widehat{\eta}}^{r}+G_{m s n}^{s} \eta^{s} \dot{q}^{m} \dot{q}^{n}-Q_{s}^{r} \eta^{s}=0,
\]

где
\[
G_{m s n}^{r}=\frac{\partial \Gamma_{m n}^{r}}{\partial q_{s}}-\frac{\partial \Gamma_{m s}^{r}}{\partial q_{n}}+\Gamma_{m n}^{t} \Gamma_{s t}^{r}-\Gamma_{m s}^{t} \Gamma_{n t}^{r}
\]

есть смещенный тензор кривизны многообразия и
\[
Q_{s}^{r}=\frac{\partial Q^{r}}{\partial q^{s}}+\Gamma_{s n}^{r} Q^{n}
\]

значок ^ означает контравариантную производню по времени, а именно:
\[
\widehat{\eta}^{r}=\frac{d \widehat{\eta}^{r}}{d t}+\Gamma_{m n}^{r} \eta^{m} \frac{d q^{n}}{d t}, \quad, \widehat{\widehat{\eta}}^{r}=\frac{d \widehat{\eta}^{r}}{d t}+\Gamma_{m n}^{r} \widehat{\eta}^{m} \frac{d q^{n}}{d t}
\]

Величина вектора возмущения, определяемая равенством $\eta=$ $=\left(a_{m n} \eta^{m} \eta^{n}\right)^{\frac{1}{2}}$, удовлетворяет уравнению:
\[
\left.\ddot{\eta}+\eta\left(G_{m n s t} \mu^{m} \dot{q}^{n} \mu^{s} \dot{q}^{t}-\widehat{\mu}^{2}-Q_{m n} \mu^{m} \mu^{n}\right)\right)=0,
\]

где $\mu^{r}$ – орт вектора $\eta^{r}, \widehat{\mu}$ – величина вектора $\widehat{\mu}^{r}$, а $Q_{m n}$ – ковариантная производная от $Q_{m}$.

Если соответствие между возмущенной и невозмущенной траекториями установить не при помощи соответственных конфигураций, а условием, чтобы вектор возмущения был перпендикулярен к невозмущенной траектории, и если этот вектор остается все время очень малым, то движение называется устойчивым в кинематико-статическом смысле. В этом случае также установлены дифференциальные уравнения для компонентов и величины вектора возмущения в случае консервативной системы.
Для системы с двумя степенями свободы получается:
\[
\ddot{\beta}+\beta\left(v^{2} K+V_{m n}
u^{m}
u^{n}+3 v^{2} k^{2}\right)+2 k \delta h=0,
\]

где $\beta$ – величина вектора возмущения (считаемая положительной с одной стороны невозмущенной траектории и отрицательной с другой стороны), $K$ – гауссова кривизна поверхности, $
u^{r}$ – орт нормали, $k$ первая кривизна траектории и $\delta h$ – приращение полной энергии возмущенного движения по сравнению с невозмущенным.

Если иметь в виду только консервативные систему и при исследовании устойчивости рассматривать только возмущения, не изменяющие полной энергии, то геометрическая картина упрощается, если вместо кинематического линейного элемента ввести линейный элемент действия:
\[
d s^{2}=2(h-V) T d t^{2}=(h-V) a_{m n} d q^{m} d q^{n}=g_{m n} d q^{m} d q^{n},
\]

где $h$ – полная энергия системы.
При таком выборе линейного элемента действительными траекториями движения согласно принципу наименьшего действия (стр. 337) будут являться геодезические линии (линии стационарной длины), и их уравнение имеет, следовательно, вид:
\[
\frac{d^{2} q^{r}}{d s^{2}}+\Gamma_{m n}^{r} \frac{d q^{m}}{d s} \frac{d q^{n}}{d s}=0 .
\]

При исследовании вопросов устойчивости нам придется заниматься сравнением двух смежных геодезических линий. Если считать соответственными такие точки, которые находятся на одинаковом расстоянии (в смысле действия) от двух определенных точек, то вектор возмущения удовлетворяет уравнению:
\[
\overline{\bar{\eta}}^{r}+G_{m s n}^{r} \eta^{s} \frac{d q^{m}}{d s} \frac{d q^{n}}{d s}=0,
\]

где
\[
\eta^{r}=\frac{d \eta^{r}}{d s}+\Gamma_{m n}^{r} \eta^{m} \frac{d q^{n}}{d s}, \quad \overline{\bar{\eta}}^{r}=\frac{d \bar{\eta}^{r}}{d s}+\Gamma_{m n}^{r} \bar{\eta}^{m} \frac{d q^{n}}{d s} .
\]

Символы Кристофеля (Christoffel) и тензор кривизны вычисляются, конечно, при помощи линейного элемента действия. Для величины вектора возмущения имеем:
\[
\frac{d^{2} \eta}{d s^{2}}+\eta\left(G_{m n s t} \mu^{m} \frac{d q^{n}}{d s} \mu^{s} \frac{d q^{t}}{d s}-\bar{\mu}^{2}\right) .
\]

В случае системы с двумя степенями свободы это дает:
\[
\frac{d^{2} \beta}{d s^{2}}+K \beta=0,
\]

где $\beta$ – величина вектора возмущения, который, не нарушая общности, можно считать направленным по нормали (с учетом знака), а $K$ гауссова кривизна многообразия, вычисленная при помощи линейного элемента действия.