Мы переходим теперь к рассмотрению «случая $2 »$, т. е. мы предполагаем, что отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть некоторое рациональное число (например, рав-
${ }^{1} 0$ т греческого $\alpha ́ \delta \varepsilon \lambda \iota \chi \alpha ́ \varsigma$ (братский) вследствие того, что эти траектории стоят в определенной тесной зависимости друг от друга и так как интеграл, соответствующий преобразованию, теснее связан с интегралом энергии, чем всякий другой интеграл системы.
${ }^{2}$ Интегралу энергии соответствует такое бесконечно малое преобразование, которое преобразует всякую траекторию в самое себя. Каждая точка траектории перемещается в направлении касательной.
ное $\left.\frac{m}{n}\right)$, но $H_{3}$ не содержит члена с $\cos \left(n p_{1}-m p_{2}\right)$. При таком предположении некоторые члены ряда (4) § 196, содержащие в знаменателе множитель $n s_{1}-m s_{2}$, обращаются в нуль, так как $\frac{s_{1}}{s_{2}}=\frac{m}{n}$. Следовательно, в случае 2 ряд (4) не может сходиться, если числители членов с нулевыми знаменателями также не обращаются в нуль. Мы здесь наталкиваемся на основной источник главных затруднений в небесной механике, и если нам удастся устранить это затруднение здесь и получить родственный интеграл в случаях 2 и 3 , то этим самым мы устраним затруднение во всем предмете.
Допустим для определенности, что $s_{1}=2$ и $s_{2}=1$, так что $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ принимает рациональное значение 2 и знаменатель $s_{1}-2 s_{2}$, который очень часто встречается в ряде (4) § 196 , равен нулю.
В этом случае мы получим для $\varphi_{3}$ уравнение:
\[
2 \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{2}} 2=\frac{\partial H_{3}}{\partial p_{1}}-\frac{\partial H_{3}}{\partial p_{2}},
\]
и уравнения для каждой из функций $\varphi_{3}, \varphi_{4}, \ldots$ имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
2 \frac{\partial \varphi_{r}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi_{r}}{\partial p_{2}}=\text { известной сумме членов вида } \\
q_{1}^{\frac{1}{2} m} q_{2}^{\frac{1}{2} n} \sin \left(k p_{1}+l p_{2}\right) .
\end{array}
\]
При интегрировании уравнений для $\varphi_{3}, \varphi_{4}, \ldots$ в $\S 196$ мы использовали только частные интегралы, соответствующие почленно известным функциям в правых частях этих уравнений, так что, например, в качестве интеграла уравнения:
\[
s_{1} \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{1}}+s_{2} \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{2}}=q_{1}^{\frac{3}{2}} \sin p_{1}
\]
мы приняли бы функцию:
\[
\varphi_{3}=-\frac{q_{1}^{\frac{3}{2}}}{s_{1}} \cos p_{1}
\]
Мы это делали потому, что дополнительная функция или произвольная часть решения дифференциального уравнения есть функция от $s_{2} p_{1}-s_{1} p_{2}$ и она не содержит членов типа, свойственного для $\varphi_{3}$. Но если $s_{1}=2, s_{2}=1$, то эта произвольная часть решения дифференциального уравнения содержит члены типа, свойственного для $\varphi_{3}$, и эти члены должны быть приняты в расчет. Так что теперь мы должны будем принять в качестве интеграла уравнения
\[
2 \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{1}}+\frac{\partial \varphi_{3}}{\partial p_{2}}=q_{1}^{\frac{3}{2}} \sin p_{1}
\]
функцию:
\[
\varphi_{3}=-\frac{1}{2} q_{1}^{\frac{3}{2}} \cos p_{1}+\alpha q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2} \cos \left(p_{1}-2 p_{2}\right),
\]
где $\alpha$ – произвольная постоянная. Таким образом, в функциях $\varphi_{3}, \varphi_{4}$, $\varphi_{5}, \ldots$ мы получаем члены с произвольными коэффициентами. Эти коэффициенты должны быть выбраны таким образом, чтобы впоследствии определяемая часть функции $\varphi$ не содержала членов с нулевыми знаменателями. Этот метод дает нам возможность найти родственный интеграл в случае 2, свободный от членов с нулевыми знаменателями.
