Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих теорию неголономных систем.
ЗАДАчА 1. Шар катится по неподвижному шару.
Исследуем движение шероховатого шара радиуса $a$ и массы $m$, который катится под действием силы тяжести по поверхности неподвижного шара радиуса $b$.

Пусть $b, \vartheta$ и $\varphi$ означают полярные координаты точки касания относительно полярной системы с началом в центре неподвижного шара и с полярной осью, направленной по вертикали. Выберем подвижные оси $G A B C$, где $G$ центр движущегося шара, $G C$ – продолжение линии центров шаров, $G A-$ горизонталь, перпендикулярная к $G C, G B$ – перпендикуляр к $G A$ и $G C$ в направлении возрастания $\vartheta$.

Относительно этих осей, пользуясь обозначениями предыдущего параграфа, будем иметь:
\[
\begin{array}{c}
\vartheta_{1}=-\dot{\vartheta}, \quad \vartheta_{2}=-\dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad \vartheta_{3}=\dot{\varphi} \cos \vartheta \\
u=-(a+b) \dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad v=(a+b) \dot{\vartheta}, \quad w=0, \\
T=\frac{1}{2} m\left\{u^{2}+v^{2}+w^{2}+\frac{2 a^{2}}{5}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Если $F$ и $F^{\prime}$ суть компоненты силы, приложенной к точке касания, по направлениям $G A$ и $G B$, то
\[
\begin{array}{cl}
X=F, & Y=m g \sin \vartheta+F^{\prime}, \\
L=F^{\prime} a, & M=-F a, \quad N=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, уравнения движения предыдущего параграфа принимают вид:
\[
\begin{array}{c}
m\left(\dot{u}-v \vartheta_{3}\right)=F=-\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{2}-\vartheta_{1} \omega_{3}+\vartheta_{3} \omega_{1}\right), \\
m\left(\dot{v}+u \vartheta_{3}\right)-m g \sin \vartheta=F^{\prime}=\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{1}-\vartheta_{3} \omega_{2}+\vartheta_{2} \omega_{3}\right), \\
\dot{\omega}_{3}-\vartheta_{2} \omega_{1}+\vartheta_{1} \omega_{2}=0 .
\end{array}
\]

Кроме того, компоненты скорости точки касания по направлениям $G A$ и $G B$ суть $u-a \omega_{2}$ и $v+a \omega_{1}$; поэтому уравнения, выражающие условие отсутствия скольжения точки касания, имеют вид:
\[
u-a \omega_{2}=0, \quad v+a \omega_{1}=0 .
\]

По исключении $F, F^{\prime}$, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ находим:
\[
\dot{u}-v \vartheta_{3}-\frac{2}{7} a \vartheta_{1} \omega_{3}=0, \quad \dot{v}+u \vartheta_{3}-\frac{2}{7} a \vartheta_{2} \omega_{3}-\frac{5}{7} g \sin \vartheta=0, \quad \dot{\omega}_{3}=0 .
\]

Последнее уравнение дает $\omega_{3}=n$, где $n$ – постоянная. Заменяя в первых двух уравнениях $u, v, \vartheta_{1}$ и $\vartheta_{2}$ их выражениями через $\vartheta, \dot{\vartheta}$ и $\dot{\varphi}$, получим:
\[
\begin{array}{c}
(a+b) \frac{d}{d t}(\dot{\varphi} \sin \vartheta)+(a+b) \dot{\vartheta} \dot{\varphi} \cos \vartheta-\frac{2}{7} a n \dot{\vartheta}=0, \\
(a+b) \ddot{\vartheta}-(a+b) \dot{\varphi}^{2} \cos \vartheta \sin \vartheta+\frac{2}{7} a n \dot{\varphi} \sin \vartheta-\frac{5}{7} g \sin \vartheta=0 .
\end{array}
\]

Первое уравнение после умножения на $\sin \vartheta$ может быть непосредственно проинтегрировано и дает:
\[
(a+b) \dot{\varphi} \sin ^{2} \vartheta+\frac{2}{7} a n \cos \vartheta=k,
\]

где $k$ – постоянная. Умножая второе уравнение на $\dot{\vartheta}$, первое уравнение на $\dot{\varphi} \sin \vartheta$ и складывая, мы снова придем к интегрируемому уравнению, из которого получим:
\[
\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{10}{7} \frac{g}{a+b} \cos \vartheta=h,
\]

где $h$ – постоянная. Последнее уравнение есть уравнение энергии.
Исключение $\dot{\varphi}$ из обоих этих непосредственных интегралов дает:
\[
\begin{array}{c}
(a+b)^{2} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\vartheta}^{2}=-\left(k-\frac{2}{7} a n \cos \vartheta\right)^{2}-\frac{10}{7} g(a+b) \sin ^{2} \vartheta \cos \vartheta+ \\
+h(a+b)^{2} \sin ^{2} \vartheta
\end{array}
\]

полагая $\cos \vartheta=x$, получим:
\[
(a+b)^{2} \dot{x}^{2}=h(a+b)^{2}\left(1-x^{2}\right)-\left(k-\frac{2}{7} a n x\right)^{2}-\frac{10}{7} g(a+b) x\left(1-x^{2}\right) .
\]

Полином третьей степени относительно $x$, стоящий в правой части этого выражения, принимает положительное значение при $x=+\infty$, отрицательное при $x=1$ и положительное при некоторых действительных значениях $v$, т. е значениях $x$, лежащих между -1 и +1 . Поэтому он имеет один корень, больший единицы, и два корня между -1 и +1 . Обозначим эти корни через
\[
\operatorname{ch} \gamma, \quad \cos \beta, \quad \cos \alpha,
\]

где $\cos \beta>\cos \alpha$. Тогда
\[
\left(\frac{10}{7} \frac{g}{a+b}\right)^{\frac{1}{2}}(t+\varepsilon)=\int\{(x-\operatorname{ch} \gamma)(x-\cos \beta)(x-\cos \alpha)\}^{-\frac{1}{2}} d x,
\]

где $\varepsilon$ – постоянная интегрирования. Полагая
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{14}{5} \frac{a+b}{g} z+\frac{1}{3}(\operatorname{ch} \gamma+\cos \beta+\cos \alpha)=\frac{14}{5} \frac{a+b}{g} z+ \\
+\frac{7 h(a+b)^{2}+\frac{4}{7} a^{2} n^{2}}{30 g(a+b)},
\end{array}
\]

получим:
\[
(t+\varepsilon)=\int\left\{4\left(z-e_{1}\right)\left(z-e_{2}\right)\left(z-e_{3}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}} d z
\]

или
\[
z=\wp(t+\varepsilon),
\]

где функция $\wp$ образована при помощи корней:
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=\frac{5 g}{14(a+b)}\left\{\operatorname{ch} \gamma-\frac{7 h(a+b)^{2}+\frac{4}{7} a^{2} n^{2}}{30 g(a+b)}\right\}, \\
e_{2}=\frac{5 g}{14(a+b)}\left\{\cos \beta-\frac{7 h(a+b)^{2}+\frac{4}{7} a^{2} n^{2}}{30 g(a+b)}\right\}, \\
e_{3}=\frac{5 g}{14(a+b)}\left\{\cos \alpha-\frac{7 h(a+b)^{2}+\frac{4}{7} a^{2} n^{2}}{30 g(a+b)}\right\} .
\end{array}
\]

Величины $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ являются действительными и удовлетворяют соотношениям:
\[
e_{1}+e_{2}+e_{3}=0, \quad e_{1}>e_{2}>e_{3} .
\]

Но $x$ является действительным при действительных значениях $t$ и лежит (так как $\dot{x}$ действителен) между $\cos \alpha$ и $\cos \beta$, поэтому $z$ действителен и лежит между $e_{2}$ и $e_{3}$. Мнимая часть постоянной, стоящей в аргументе функции ю, будет, следовательно, полупериодом, соответствующим корню $e_{3}$; обозначим его через $\omega$. Действительная часть постоянной $\varepsilon$ подходящим выбором начального момента времени может быть обращена в нуль. Поэтому окончательно имеем:
\[
\cos \vartheta=\frac{14}{5} \frac{(a+b)}{g} \wp(t+\omega)+\frac{7 h(a+b)^{2}+\frac{4}{7} a^{2} n^{2}}{30 g(a+b)} .
\]

Это уравнение устанавливает зависимость между $\vartheta$ и $t$. Вторая координата $\varphi$ центра движущегося шара находится интегрированием уравнения:
\[
\dot{\varphi}=\frac{k-\frac{2}{7} a n \cos \vartheta}{(a+b) \sin ^{2} \vartheta} .
\]

Интеграция может быть выполнена так же, как и в § 72 при вычислении углов Эйлера для волчка, движущегося на шероховатой плоскости.

ЗадАчА 2. Шероховатый шар катится под действием силы тяжести по другому неподвижному шероховатому шару. Обозначим через $z_{2}$ и $z_{3}$ наибольшую и наименьшую высоты центра движущегося шара, а через $z$ – высоту этого центра в момент времени $t$, отсчитываемый от того момента, когда $z=z_{2}$. Показать, что
\[
\left(z_{2}-z\right)\left[\wp(t)-e_{2}\right]=\left(z_{2}-z_{3}\right)\left(e_{1}-e_{2}\right),
\]

где $e_{1}, e_{2}$ и $e_{3}=-e_{1}-e_{2}$ – действительные величины, удовлетворяющие неравенствам $e_{1}>e_{2}>e_{3}$.

ЗАДАчА 3. Шар катится по движущемуся шару.
Рассмотрим движение шероховатого шара радиуса $a$ и массы $m$, катящегося под действием силы тяжести по другому шару радиуса $b$ и масы $M$, вращающемуся вокруг своего закрепленного центра.

Пусть $\vartheta$ и $\varphi$ – полярные координаты точки соприкасания, отнесенные к неподвижной полярной системе координат с началом в центре неподвижного шара и с осью $\vartheta=0$, направленной вертикально вверх. Для составления уравнения движения шара $m$ выберем, как и в первой задаче, подвижную систему координат $G A B C$, где $G C$ есть продолжение линии центров $O G$ обоих шаров, а прямая $G A$ горизонтальна. Обозначим через $\vartheta_{1}, \vartheta_{2}$ и $\vartheta_{3}$ компоненты угловой скорости подвижной системы относительно подвижных осей, а через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости шара $m$ относительно этих же осей. Тогда, как и в первой задаче:
\[
\begin{array}{c}
\vartheta_{1}=-\dot{\vartheta}, \quad \vartheta_{2}=-\dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad \vartheta_{3}=\dot{\varphi} \cos \vartheta \\
u=-(a+b) \dot{\varphi} \sin \vartheta, \quad v=(a+b) \dot{\vartheta}, \quad w=0, \\
T=\frac{1}{2} m\left\{u^{2}+v^{2}+w^{2}+\frac{2 a^{2}}{5}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Если компоненты силы, действующей на шар $m$ в точке соприкасания, по направлениям $G A$ и $G B$ суть $F$ и $F^{\prime}$, то
\[
X=F, \quad Y=m g \sin \vartheta+F^{\prime}, \quad L=F^{\prime} a, \quad M=-F a, \quad N=0 .
\]

Поэтому уравнения движения шара $m$ суть:
\[
\begin{array}{c}
m\left(\dot{u}-v \vartheta_{3}\right)=F=-\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{2}-\vartheta_{1} \omega_{3}+\vartheta_{3} \omega_{1}\right), \\
m\left(\dot{v}+u \vartheta_{3}\right)-m g \sin \vartheta=F^{\prime}=\frac{2}{5} a m\left(\dot{\omega}_{1}-\vartheta_{3} \omega_{2}+\vartheta_{2} \omega_{3}\right), \\
\dot{\omega}_{3}-\vartheta_{2} \omega_{1}+\vartheta_{1} \omega_{2}=0 .
\end{array}
\]

Для определения движения шара $M$ выберем другую подвижную систему координат, начало которой совпадает с точкой $O$, а оси параллельны $G A B C$. Обозначим через $\Omega_{1}, \Omega_{2}, \Omega_{3}$ компоненты угловой скорости шара относительно этих осей. Тогда для шара $M$ будем иметь:
\[
T=\frac{1}{2} M \frac{2}{5} b^{2}\left(\Omega_{1}^{2}+\Omega_{2}^{2}+\Omega_{3}^{2}\right),
\]

и уравнениями движения его будут:
\[
\begin{array}{c}
-\frac{2}{5} b M\left(\dot{\Omega}_{2}-\vartheta_{1} \Omega_{3}+\vartheta_{3} \Omega_{1}\right)=F, \\
\frac{2}{5} b M\left(\dot{\Omega}_{1}-\vartheta_{3} \Omega_{2}+\vartheta_{2} \Omega_{3}\right)=F^{\prime}, \\
\dot{\Omega}_{3}-\vartheta_{2} \Omega_{1}+\vartheta_{1} \Omega_{2}=0 .
\end{array}
\]

Условиями того, что в точке соприкосновения отсутствует скольжение, будут:
\[
u-a \omega_{2}=b \Omega_{2}, \quad v+a \omega_{1}=-b \Omega_{1} .
\]

Для интегрирования этой системы уравнений умножим соответственно уравнения (3) и (6) на $a$ и $b$ и сложим. Тогда, принимая во внимание (7), будем иметь:
\[
a \dot{\omega}_{3}+b \dot{\Omega}_{3}+u \vartheta_{1}+v \vartheta_{2}=0
\]

или
\[
a \dot{\omega}_{3}+b \dot{\Omega}_{3}=0 .
\]

Интегрируя, получим:
\[
a \omega_{3}+b \Omega_{3}=a n,
\]

где $n$ – постоянная.
Кроме того, из уравнений (4) и (7) вытекает, что
\[
-\frac{2}{5} M\left(\dot{u}-a \dot{\omega}_{2}-b \vartheta_{1} \Omega_{3}-\vartheta_{3} v-\vartheta_{3} a \omega_{1}\right)=F .
\]

Исключая отсюда и из (1) $F$ и $\dot{\omega}_{2}+\vartheta_{3} \omega_{1}$, получим:
\[
\frac{7 M+5 m}{2 M}\left(\dot{u}-\vartheta_{3} v\right)=a n \vartheta_{1}
\]

или
\[
\frac{d}{d t}(\dot{\varphi} \sin \vartheta)+\dot{\vartheta} \dot{\varphi} \cos \vartheta-\frac{2 M a n \dot{\vartheta}}{(7 M+5 m)(a+b)}=0 .
\]

Аналогично уравнения (5) и (7) дают:
\[
\frac{2}{5} M\left(-\dot{v}-a \dot{\omega}_{1}-u \vartheta_{3}+a \vartheta_{3} \omega_{2}+b \vartheta_{2} \Omega_{3}\right)=F^{\prime} .
\]

Исключая отсюда и из (2) $F^{\prime}$ и $\dot{\omega}_{1}-\vartheta_{3} \omega_{2}$, получим:
\[
\frac{7 M+5 m}{2 M}\left(\dot{v}+u \vartheta_{3}\right)=a n \vartheta_{2}+\frac{5(M+m)}{2 M} g \sin \vartheta
\]

или
\[
\ddot{\vartheta}-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \vartheta-\frac{5(M+m) g \sin \vartheta}{(7 M+5 m)(a+b)}–\frac{a n}{a+b} \frac{2 M}{7 M+5 m} \dot{\varphi} \sin \vartheta .
\]

Уравнения (8) и (9), служащие для определения $\vartheta$ и $\varphi$ как функций от $t$, имеют в основном тот же вид, что и уравнения, определяющие $\vartheta$ и $\varphi$ в первой задаче. Действительно, прежние уравнения могут быть получены из (8) и (9), если $M$ предположить очень большим. Поэтому интегрирование может быть выполнено так же, как и там.

ЗАДАчА 4. Однородный шар катится по шероховатой горизонтальной плоскости под действием сил, результирующая которых проходит через центр шара. Показать, что центр шара движется как свободная материальная точка, к которой приложены те же силы, но уменьшенные в отношении $5: 7$.

Задача 5. Составить уравнения движения шероховатого шара, катящегося под действием силы тяжести по внутренней поверхности прямого круглого цилиндра, ось которого образует с вертикалью угол $\alpha$. Показать, что если для шара $k^{2}=\frac{1}{3} a^{2}$, где $a-$ радиус шара, а $k-$ его радиус инерции, и если шар находится в покое, когда угол, образованный двумя плоскостями, проходящими через ось цилиндра, из которых одна вертикальна, а другая проходит через центр шара, равен $\beta$, то в случае, когда этот угол равен $\vartheta$, центр шара имеет в направлении осей скорость, равную
\[
\frac{1}{3}\left(\frac{3 g b^{2} \cos ^{2} \alpha}{\sin \alpha}\right)^{\frac{1}{2}}\left\{\sin \frac{1}{2} \vartheta \operatorname{arcch}\left(\frac{\cos \frac{1}{2} \vartheta}{\cos \frac{1}{2} \beta}\right)+\cos \frac{1}{2} \vartheta \cdot\left(\frac{\sin \frac{1}{2} \vartheta}{\sin \frac{1}{2} \beta}\right)\right\},
\]

где $b+a$ – радиус цилиндра.
Относительно дальнейших примеров см. Воронец, Math. Ann., т. 70, стр. 410, 1911.