Волчок, вращающийся вокруг своей оси, опирается своим острым концом на гладкую горизонтальную плоскость. Реакция плоскости направлена вертикально вверх, и поэтому горизонтальный компонент скорости центра тяжести $G$ волчка есть величина постоянная. Не нарушая общности рассуждений, мы можем этот компонент принять равным нулю, так что центр тяжести будет перемещаться по неподвижной вертикальной прямой. Эту прямую мы примем за ось $Z$; две горизонтальные взаимно перпендикулярные прямые образуют оси $X$ и $Y$.
Пусть Gxyz – главные оси инерции волчка в центре тяжести, $A, A, C$ – соответствующие моменты инерции и, следовательно, $G z$ есть ось симметрии. Положение осей $G x y z$ относительно осей $X, Y, Z$ пусть определяется углами Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$.
${ }^{1}$ Poisson, Traite de Mecanique, т. II, стр. 198, 1811.
Высота точки $G$ над плоскостью равна $h \cos \vartheta$, где $h$ – расстояние центра тяжести от точки опоры. Отсюда для той части кинетической энергии, которая обусловлена движением $G$, получаем выражение $\frac{1}{2} M h^{2} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\vartheta}^{2}$, где $M$ – масса волчка. Поэтому так же, как и в § 71 , полная кинетическая энергия волчка:
\[
T=\frac{1}{2} M h^{2} \sin ^{2} \vartheta \cdot \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \vartheta+\frac{1}{2} C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)^{2}
\]
и потенциальная энергия его:
\[
V=M g h \cos \vartheta .
\]
Поступая так же, как и в § 71, мы получим два интеграла:
\[
\begin{array}{c}
A \dot{\varphi} \sin ^{2} \vartheta+C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta) \cos \vartheta=a, \\
C(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta)=b,
\end{array}
\]
соответствующие циклическим координатам $\varphi$ и $\psi$, где $a$ и $b$ – постоянные интегрирования. Для кинетического потенциала приведенной системы мы находим выражение:
\[
\frac{1}{2}\left(A+M h^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) \dot{\vartheta}^{2}-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-M g h \cos \vartheta .
\]
Следовательно, $\vartheta$ изменяется так же, как и в системе с одной степенью свободы, имеющей кинетическую энергию, равную
\[
\frac{1}{2}\left(A+M h^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) \dot{\vartheta}^{2},
\]
и потенциальную энергию, равную
\[
\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}+M g h \cos \vartheta .
\]
Зависимость между $\vartheta$ и $t$ устанавливаетса интегралом энергии этой последней системы, а именно:
\[
\frac{1}{2}\left(A+M h^{2} \sin ^{2} \vartheta\right) \dot{\vartheta}^{2}=-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-M g h \cos \vartheta+c,
\]
где $c$ – постоянная. Полагая $\cos \vartheta=x$, отсюда получим:
\[
A\left(A+M h^{2}-M h^{2} x^{2}\right) \dot{x}^{2}=-(a-b x)^{2}-2 A M g h\left(x-x^{3}\right)+2 A c\left(1-x^{2}\right) .
\]
В этом уравнении переменные $x$ и $t$ разделены, так что решение может быть получено в квадратурах. Выполнение квадратуры потребует, однако, гиперэллиптических функций или автоморфных функций второго рода.
