В предыдущей главе мы видели, что вся теория динамики может быть построена на стационарном характере определенного вида интегралов, а именно интегралов, которые встречаются в принципе Гамильтона и в принципе наименьшего действия. Аналогичным образом дифференциальные уравнения большинства задач физики могут быть получены из задач вариационного исчисления.

Так, например, задача определения термического равновесия в изотропном проводнике, поверхность которого имеет в каждой точке заданную температуру, может быть сформулирована следующим образом: среди всех функций $V$, принимающих на поверхности заданное значение, определить такие, для которых интеграл
$$\iiint \{{\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)}^2\}dxdydz,$$

распространенный на объем всего проводника, имеет минимум.
Мы сейчас покажем, что все дифференцильные уравнения вариационных задач с одной независимой переменной могут быть приведены к форме Гамильтона ${}^1$.

Для простоты ограничимся случаем двух зависимых переменных. Доказательство остается, однако, справедливым и при любом числе зависимых переменных.
Пусть
$$L(t,y,\dot{y},\ddot{y},\dots ,\stackrel{(m)}{y},z,\dot{z},\ddot{z},\dots ,\stackrel{(n)}{z})$$

есть функция независимой переменной $t$, зависимых переменных $y,z$ и их производных до порядков $m$ и $n$.
Условия стационарности интеграла
$$\int L(t,y,\dot{y},\dots ,\stackrel{(m)}{y},z,\dot{z},\dots ,\stackrel{(n)}{z})dt$$

согласно обычным методам вариационного исчисления могут быть записаны в виде:
$$\begin{array}{l}0=\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)+\cdots +(-1{)}^m\frac{d^m}{d{t}^m}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{(m)}{y}}\right),\\ 0=\frac{\partial L}{\partial z}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}\right)+\cdots +(-1{)}^n\frac{d^n}{d{t}^n}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}\right).\end{array}$$
${}^1$ Ср. Остроградский, Mém. de l’Acad. de St.-Pét., т. 6, стр. 385, 1850.

Полагаем теперь:
$$\begin{array}{l}{p}_2=\frac{\partial L}{\partial \ddot{y}}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \stackrel{⃛}{y}}\right)+\cdots +(-1{)}^{m-2}\frac{d^{m-2}}{d{t}^{m-2}}\left(\frac{\partial L}{\partial \stackrel{(m)}{y}}\right)\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\\ p_m=\frac{\partial L}{{\partial }^{(m)}y}\\ p_{m+1}=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \ddot{z}}\right)+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{d^{n-1}}{d{t}^{n-1}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}\right)\\ p_{m+2}=\frac{\partial L}{\partial \ddot{z}}-\cdots +(-1{)}^{n-2}\frac{d^{n-2}}{d{t}^{n-2}}\left(\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}\right)\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\\ p_{m+n}=\\ \frac{\partial L}{\partial \stackrel{(n)}{z}}\\ q_1=y,q_2=\dot{y},\dots ,q_m={}^{(m-1)},\\ q_{m+1}=z,q_{m+2}=\dot{z},\dots ,q_{m+n}=\stackrel{(n-1)}{z}.\end{array}$$

и
$$\begin{array}{c}{q}_1=y,q_2=\dot{y},\dots ,q_m=\stackrel{(m-1)}{y},\\ q_{m+1}=z,q_{m+2}=\dot{z},\dots ,q_{m+n}=\stackrel{(n-1)}{z}.\end{array}$$

Тогда, если представим величину
$$\begin{array}{c}H=-L+p_1{q}_2+p_2{q}_3+\cdots +p_{m-1}{q}_m+p_m\stackrel{(m)}{y}+p_{m+1}{q}_{m+2}+\cdots \\ \cdots +p_{m+n-1}{q}_{m+n}+p_{m+n}\stackrel{(n)}{z},\end{array}$$

где $H$ предполагается выраженной в функции от $t,q_1,\dots ,q_{m+n}$, $p_1,\dots ,p_{m+n}$, ибо, исключив из нее $\stackrel{(m)}{y}$ и $\stackrel{(n)}{z}$ при помощи уравнений $p_m=\frac{\partial L}{\partial \underset{y}{(m)}},p_{m+n}=\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}$, мы представим ее как функцию переменных $q_1,q_2,\dots ,q_{m+n},p_1,p_2,\dots ,p_{m+n}$, и если обозначим через $\delta$ приращение при бесконечно малых изменениях аргументов $q_1,q_2,\dots ,q_{m+n},p_1,p_2,\dots ,p_{m+n}$, то будем иметь:
$$\begin{array}{rl}\delta H=& -\sum _{r=0}^{m-1}\frac{\partial L}{\partial \stackrel{(r)}{y}}\delta q_{r+1}-\frac{\partial L}{\partial \stackrel{(m)}{y}}\delta \stackrel{(m)}{y}-\sum _{r=0}^{n-1}\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(r)}}\delta q_{m+r+1}-\frac{\partial L}{\partial \underset{z}{(n)}}\delta \stackrel{(n)}{z}+\\ & +\sum _{r=1}^{m-1}{p}_r\delta q_{r+1}+p_m\delta \stackrel{(m)}{y}+\sum _{r=1}^{m-1}{q}_{r+1}\delta p_r+\stackrel{(m)}{y}\delta p_m+\\ & +\sum _{r=m+1}^{m+n-1}{p}_r\delta q_{r+1}+p_{m+n}\delta \stackrel{(n)}{z}+\sum _{r=m+1}^{m+n-1}{q}_{r+1}\delta p_r+\stackrel{(n)}{z}\delta p_{m+n}\end{array}$$

При помощи уравнений
$$\frac{\partial L}{\partial y}={\dot{p}}_1,\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}={\dot{p}}_2+p_1,\frac{\partial L}{\partial \ddot{y}}={\dot{p}}_3+p_2,\dots ,\frac{\partial L}{\partial \stackrel{(m)}{y}}=p_m$$

выражению $\delta H$ можно придать вид:
$$\delta H=-\sum _{r=1}^{m+n}{\dot{p}}_r\delta q_r+\sum _{r=1}^{m+n}{\dot{q}}_r\delta p_r.$$

Если, следовательно, $H$ представлена как функция переменных $t,p_1$, $p_2,\dots ,p_{m+n},q_1,q_2,\dots ,q_{m+n}$, то будем иметь:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,m+n),$$

и мы получаем, таким образом, дифференциальные уравнения задачи в форме Гамильтона.

Системы дифференциальных уравнений, возникающие из вариационных задач, часто называются изопериметрическими системами.