Особый интерес представляет тот случай, когда тело получает два одинаковых вращения, но в противоположных направлениях вокруг двух параллельных осей. При каждом из этих движений ни одна точка тела не перемещается параллельно осям; следовательно, то же самое будет справедливо и по отношению к результирующему движению. Любая прямая тела, лежащая в плоскости, перпендикулярной
${ }^{1}$ Rodrigues, Journ. de Math., т. 5, стр. 380, 1840; Hamilton, Lectures on Quaternions, § 344; приводимое здесь доказательство принадлежит Бернсайду (Burnside, Acta Math., т. 25, 1902).

к осям вращения, поворачивается при обоих движениях на один и тот же угол, но в различных направлениях, и поэтому ее окончательное положение параллельно исходному. Отсюда следует, что результирующее движение эквивалентно одному поступательному перемещению. Таким образом, два последовательных, одинаковых вращения в противоположные стороны вокруг двух параллельных осей эквивалентны одному поступательному перемещению, перпендикулярному к осям. Другими словами: вращение вокруг какой-нибудь оси эквивалентно вращению на такой же угол вокруг любой параллельной оси и поступательному перемешению, перпендикулярному $ю$ обеим осям.

Справедливо также и обратное предложение: перемешение твердого тела, складывающееся из вращения вокруг какой-нибудь оси и поступательного перемещения, перпендикулярного к этой оси, эквивалентно одному вращению вокруг параллельной оси. Это предложение по существу эквивалентно предложению $\S 2$, что всякое перемещение в плоскости эквивалентно вращению вокруг некоторой точки. Рассматривая угол между начальным и конечным положениями какой-либо связанной с телом прямой, перпендикулярной к оси вращения, придем к заключению, что углы поворота вокруг обеих осей равны между собой.