Введем новые переменные $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}$ при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
p_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}}, \quad q_{r}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
W=\sum_{r=1}^{n}\left[q_{r}^{\prime} \arcsin \frac{p_{r}}{\left(2 s_{r} q_{r}^{\prime}\right)^{\frac{1}{2}}}+\frac{p_{r}}{2 s_{r}}\left\{2 s_{r} q_{r}^{\prime}-p_{r}^{2}\right\}^{\frac{1}{2}}\right],
\]

так что
\[
p_{r}=\left(2 s_{r} q_{r}^{\prime}\right)^{\frac{1}{2}} \sin p_{r}^{\prime}, \quad q_{r}=\left(2 q_{r}^{\prime}\right)^{\frac{1}{2}} s_{r}^{-\frac{1}{2}} \cos p_{r}^{\prime} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Дифференциальные уравнения после преобразования переходят в следующие:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
H=s_{1} q_{1}^{\prime}+s_{2} q_{2}^{\prime}+\cdots+s_{n} q_{n}^{\prime}+H_{3}+H_{4}+\cdots
\]

и $H_{r}$ означают совокупность членов, однородных как относительно величин $q_{r}^{\prime}$, так и относительно величин $\cos p_{r}^{\prime}$ и $\sin p_{r}^{\prime}$, причем порядок однородности относительно первых величин равен $\frac{1}{2} r$, а порядок однородности относительно последних величин равен $r$.

Так как произведения степеней величин $\cos p_{r}^{\prime}$ и $\sin p_{r}^{\prime}$ могут быть выражены как суммы синусов и косинусов углов вида $n_{1} p_{1}^{\prime}+$ $+n_{2} p_{2}^{\prime}+\cdots+n_{n} p_{n}^{\prime}$, где $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{n}$ суть целье числа или нули, то $H_{r}$ может быть выражена как сумма членов, каждый из которых имеет вид:
\[
\begin{array}{c}
{q_{1}^{\prime}}^{m_{1}}{q_{2}^{\prime}}^{m_{2}} \cdots{q_{n}^{\prime}}_{n}^{m_{n}} \sin \left(n_{1} p_{1}^{\prime}+n_{2} p_{2}^{\prime}+\cdots+n_{n} p_{n}^{\prime}\right), \\
m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}=\frac{1}{2} r, \quad\left|n_{r}\right| \leqslant 2 m_{r}
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
\left|n_{1}\right|+\left|n_{2}\right|+\cdots+\left|n_{n}\right| \leqslant r .
\]

Тогда для функции $H$ мы получаем выражение:
\[
H=\sum A_{n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{n}}^{m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{n}} q_{1}^{\prime m_{1}} q_{2}^{\prime m_{2}} \cdots q_{n}^{\prime m_{n}}{ }_{\cos } \sin \left(n_{1} p_{1}^{\prime}+n_{2} p_{2}^{\prime}+\cdots+n_{n} p_{n}^{\prime}\right),
\]

где для каждого члена:
\[
\left|n_{1}\right|+\left|n_{2}\right|+\cdots+\left|n_{n}\right| \leqslant 2\left(m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}\right) .
\]

Очевидно, что полученный ряд абсолютно сходится для всех значений $p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}$, коль скоро абсолютные значения величин $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots$, $q_{n}^{\prime}$ не превосходят некоторых определенных пределов.

Чтобы избежать излишней сложности, мы отбросим в выражении $H$ все члены, содержащие:
\[
\sin \left(n_{1} p_{1}^{\prime}+n_{2} p_{2}^{\prime}+\cdots+n_{n} p_{n}^{\prime}\right),
\]

так как они могут быть исследованы тем же способом, что и члены, содержащие:
\[
\cos \left(n_{1} p_{1}^{\prime}+n_{2} p_{2}^{\prime}+\cdots+n_{n} p_{n}^{\prime}\right),
\]

наличие же их только усложняет, а не изменяет существенно дальнейших рассуждений.