1. Мгновенная ось вращения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, сохраняет неизменным свое положение относительно тела. Показать, что в этом случае положение этой оси относительно пространства остается также неизменным, т. е. что движение представляет собой вращение вокруг неподвижной оси.
2. Точка отнесена к осям $x$ и $y$, вращающимся вокруг начала с угловой скоростью $\omega$. Она имеет относительно точки $x=a, y=0$ ускорение, равное расстоянию, умноженному на $n^{2} \omega^{2}$. Показать, что траектория может быть построена беря: 1) точку $x=\frac{n^{2} a}{n^{2}-1}, y=0 ; 2$ ) равномерное круговое движение с угловой скоростью ( $n-1) \omega$ вокруг этой точки и 3) равномерное круговое движение в противоположном направлении с угловой скоростью $(n+1) \omega$ вокруг этой же точки.
3. Скорость точки, движущейся на плоскости, складывается из скорости $v$ по направлению радиуса-вектора относительно какой-нибудь неподвижной точки и скорости $v^{\prime}$, параллельной какой-нибудь неподвижной прямой. Показать, что соответствующие ускорения суть:
\[
\frac{d v}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r} \cos \vartheta \quad \text { и } \quad \frac{d v^{\prime}}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r},
\]

где $\vartheta$ – угол между радиусом-вектором и неподвижной прямой.
4. Точка, движущаяся на плоскости, отнесена к косоугольным осям координат, образующим с какой-нибудь неподвижной прямой углы $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ и $\beta$ суть заданные функции от времени. Показать, что компоненты скоростей суть:
\[
\dot{x}-x \dot{\alpha} \operatorname{ctg}(\beta-\alpha)-\frac{y \dot{\beta}}{\sin (\beta-\alpha)} \quad \text { и } \quad \dot{y}+y \dot{\beta} \operatorname{ctg}(\beta-\alpha)+\frac{\dot{x} \alpha}{\sin (\beta-\alpha)},
\]

и вычислить компоненты ускорения.
5. Точка движется на плоскости. Логарифм отношения ее расстояний от двух неподвижных точек этой плоскости равен $\vartheta$, угол между этими расстояниями равен $\varphi$, расстояние между неподвижными точками равно $2 k$. Показать, что скорость точки равна
\[
\frac{k \sqrt{\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2}}}{\operatorname{ch} \vartheta-\cos \varphi} .
\]

6. Точка описывает дважды одну и ту же траекторию, причем произведение скоростей в соответствующих положениях при обоих движениях остается постоянным. Показать, что ускорения относятся как квадраты скоростей и что они образуют равные, но противоположно направленные углы с нормалью к траектории. (J. von Vieth.)
7. Точка движется по параболе, параметр которой равен $4 a$. На расстоянии $r$ от фокуса она имеет скорость $v$. Показать, что ее ускорение складывается из ускорении $R$ и $N$ в направлении радиуса-вектора и нормали, причем
\[
R=v \frac{d v}{d r}, \quad N=\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 r^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d r}\left(v^{2} r\right) .
\]
8. Оси $x$ и $y$ вращаются с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ и образуют между собой угол $\psi$. Показать, что компоненты по осям координат ускорения точки суть:
\[
\ddot{x}-x \omega_{1}^{2}-\left(x \dot{\omega}_{1}+2 \dot{x} \omega_{1}\right) \operatorname{ctg} \psi-\left(y \dot{\omega}_{2}+2 \dot{y} \omega_{2}\right) \frac{1}{\sin \psi}
\]

и
\[
\ddot{y}-y \omega_{2}^{2}-\left(x \dot{\omega}_{1}+2 \dot{x} \omega_{1}\right) \frac{1}{\sin \psi}+\left(y \dot{\omega}_{2}+2 \dot{y} \omega_{2}\right) \operatorname{ctg} \psi .
\]
9. Скорость точки складывается из ее компонентов $u$ и $v$ по двум направлениям, образующим с неподвижной прямой углы $\vartheta$ и $\varphi$. Показать, что компоненты $f$ и $f^{\prime}$ ускорения по тем же направлениям определяются равенствами:
\[
\begin{aligned}
f & =\dot{u}-u \dot{\vartheta} \operatorname{ctg} \chi-\frac{v \dot{\varphi}}{\sin \chi}, \\
f^{\prime} & =\dot{v}+\frac{u \dot{\vartheta}}{\sin \chi}+v \dot{\varphi} \operatorname{ctg} \chi
\end{aligned}
\]

где $\chi$ – угол между обоими направлениями. Обозначая, далее, через $r$ и $s$ радиусы-векторы движущейся точки относительно двух неподвижных и через $\vartheta$ и $\varphi$ – углы наклона этих радиусов-векторов относительно прямой, соединяющей эти точки, определить ускорение движущейся точки как функции величин $\omega=\dot{\vartheta}$ и $\omega^{\prime}=\dot{\varphi}$.
10. $A, B$ и $C$ означают три неподвижные точки, а $u, v, w$ – компоненты скорости какой-нибудь точки $P$ по направлениям $P A, P B, P C$. Показать, что компоненты ускорения определяются выражением:
\[
\dot{u}+u v\left(\frac{1}{P B}-\frac{\cos A P B}{P A}\right)+u w\left(\frac{1}{P C}-\frac{\cos A P C}{P A}\right)
\]

и двумя другими выражениями, аналогичными этому.

11. Движение плоской пластинки задано ее угловой скоростью $\omega$ и компонентами $u$ и $v$ скорости начала координат по осям $O x, O y$, взятыми на пластинке. Определить компоненты скорости любой точки пластинки. Показать, далее, что уравнения
\[
\frac{d}{d t} \operatorname{arctg}\left(\frac{u-y \omega}{v+x \omega}\right)= \pm \omega
\]

опеделяют на пластинке две окружности, из которых первая есть геометрическое место точек перегиба всех траекторий, а вторая – геометрическое место центров кривизны, огибающих всех прямых пластинки.
12. Точка описывает кривую двойной кривизны. Показать, что ее ускорение может быть разложено на два компонента, из которых один направлен по радиусу-вектору относительно проекции какой-нибудь неподвижной точки на плоскость кривизны, а другой – по касательной. Значения этих компонентов равны соответственно:
\[
\frac{r}{p^{3}} \frac{T^{2}}{\rho} \quad \text { и } \quad \frac{T}{p^{2}} \frac{d T}{d s}+\frac{T^{2}}{p^{4}} q \frac{d q}{d s} .
\]

Здесь $\rho$ означает радиус кривизны, $q$ – расстояние неподвижной точки от ее проекции на плоскость кривизны, $r$ и $p$ – расстояния этой проекции от движущейся точки и от касательной, $T$ – произвольную функцию (произведение скорости на $p$ ), $s$ – дугу. (Siacci.)
13. На плоскости лежат окружность, прямая и точка. Положение точки определяется ее расстоянием $p$ от прямой и длиной $t$ – касательной, проведенной из нее к окружности. Компоненты ее скорости по направлениям, определяемым отрезками $t$ и $p$, равны соответственно $u$ и $v$. Угол между этими направлениями равен $\vartheta$. Показать, что
\[
\dot{u}-u v \cos \frac{\vartheta}{t} \quad \text { и } \quad \dot{v}+u \frac{v}{t}
\]

суть компоненты ускорения по тем же направлениям.
14. Точка движется по дуге окружности. Ее расстояния от концов $A$ и $B$ какой-нибудь неподвижной хорды равны $r$ и $r^{\prime}$. Показать, что компоненты ускорения точки $P$ по направлениям $A B$ и $B P$ равны соответственно:
\[
\frac{d v}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r r^{\prime}}(r-r \cos \alpha) \quad \text { и } \quad \frac{d v^{\prime}}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r r^{\prime}}\left(r^{\prime}-r \cos \alpha\right),
\]

где $v, v^{\prime}$ суть компоненты скорости по направлениям $r, r^{\prime}$, а $\alpha-$ угол $A P B$.

Точка описывает половину окружности под действием ускорений, направленных к концам некоторого диаметра и в каждом положении обратно пропорциональных расстояниям $r, r^{\prime}$ от этих концов. Показать, что эти ускорения равны соответственно:
\[
\frac{4 a^{4} V^{2}}{r^{3} r^{\prime 2}} \quad \text { и } \quad \frac{4 a^{4} V^{2}}{r^{2} r^{\prime 3}},
\]

где $a$ – радиус окружности, а $V$ – скорость точки в направлении диаметра.
15. Твердое тело движется параллельно плоскости. Его движение определяется компонентами $u$ и $v$ скорости какой-нибудь точки $C$ и его угловой скоростью $\omega$. Определить координаты относительно $C$ одной из точек $I$, имеющей скорость 0 и показать, что всякая другая точка $P$ движется перпендикулярно к $P I$.

Определить, далее, координаты точки $I$, имеющей ускорения, равные нулю, и выразить ускорение точки $P$ как функцию ее координат относительно $I$.
16. Точка движется с постоянной относительной скоростью $V$ на плоскости, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг перпендикулярной к ней прямой. Показать, что траектория точки определяется уравнением:
\[
\frac{V \vartheta}{\omega}=\sqrt{r^{2}-a^{2}}+\frac{V}{\omega} \arccos \frac{a}{r},
\]

где $r$ и $\vartheta$ отнесены к неподвижным осям, а $a$ – кратчайшее расстояние точки от оси вращения.
17. Ускорение движущейся точки $Q$ определяется в каждое мгновение отрезком $\omega a$, где $\omega$ – неподвижная точка, а $a$ движется равномерно по окружности с центром $\omega$. Показать, что в каждое мгновение скорость точки $Q$ определяется отрезком $O p$, где $O$ – неподвижная точка, а $p-$ движется равномерно по некоторой окружности. Определить траекторию точки. (Camb. Math. Tripos., ч. 1, 1902.)
18. Точка движется по кривой пересечения эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ и однополого гиперболоида $\frac{x^{2}}{a^{2}-\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\lambda}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\lambda}$. Ее скорость в той точке, где траектория пересекается двуполым гиперболоидом $\frac{x^{2}}{a^{2}-\mu}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\mu}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\mu}$ равна:
\[
h\left\{\frac{\mu(\mu-\lambda)}{\left(a^{2}-\mu\right)\left(b^{2}-\mu\right)\left(c^{2}-\mu\right)}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $h$ – постоянная. Показать, что компонент ускорения по нормали к эллипсоиду равен:
\[
\frac{h^{2} a b c(\mu-\lambda)}{\left(a^{2}-\mu\right)\left(b^{2}-\mu\right)\left(c^{2}-\mu\right) \sqrt{\lambda \mu}} .
\]
19. Твердое тело катится без скольжения по плоскости. Его угловая скорость имеет в каждое мгновение компоненты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ по касательным к линиям кривизны в точке соприкасания тела с плоскостью и компонент $\omega_{3}$ по нормали к его поверхности. Показать, что точка касания имеет компоненты ускорения:
\[
-R_{2} \omega_{1} \omega_{3}, \quad-R_{1} \omega_{2} \omega_{3}, \quad R_{1} \omega_{2}^{2}+R_{2} \omega_{1}^{2},
\]

где $R_{1}$ и $R_{2}$ – главные радиусы кривизны поверхности тела в этой точке.