Главная > АНАЛИТИЧИСКАЯ ДИНАМИКА (Э.УИТТЕКЕР)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

1. Мгновенная ось вращения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, сохраняет неизменным свое положение относительно тела. Показать, что в этом случае положение этой оси относительно пространства остается также неизменным, т. е. что движение представляет собой вращение вокруг неподвижной оси.
2. Точка отнесена к осям $x$ и $y$, вращающимся вокруг начала с угловой скоростью $\omega$. Она имеет относительно точки $x=a, y=0$ ускорение, равное расстоянию, умноженному на $n^{2} \omega^{2}$. Показать, что траектория может быть построена беря: 1) точку $x=\frac{n^{2} a}{n^{2}-1}, y=0 ; 2$ ) равномерное круговое движение с угловой скоростью ( $n-1) \omega$ вокруг этой точки и 3) равномерное круговое движение в противоположном направлении с угловой скоростью $(n+1) \omega$ вокруг этой же точки.
3. Скорость точки, движущейся на плоскости, складывается из скорости $v$ по направлению радиуса-вектора относительно какой-нибудь неподвижной точки и скорости $v^{\prime}$, параллельной какой-нибудь неподвижной прямой. Показать, что соответствующие ускорения суть:
\[
\frac{d v}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r} \cos \vartheta \quad \text { и } \quad \frac{d v^{\prime}}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r},
\]

где $\vartheta$ – угол между радиусом-вектором и неподвижной прямой.
4. Точка, движущаяся на плоскости, отнесена к косоугольным осям координат, образующим с какой-нибудь неподвижной прямой углы $\alpha$ и $\beta$, где $\alpha$ и $\beta$ суть заданные функции от времени. Показать, что компоненты скоростей суть:
\[
\dot{x}-x \dot{\alpha} \operatorname{ctg}(\beta-\alpha)-\frac{y \dot{\beta}}{\sin (\beta-\alpha)} \quad \text { и } \quad \dot{y}+y \dot{\beta} \operatorname{ctg}(\beta-\alpha)+\frac{\dot{x} \alpha}{\sin (\beta-\alpha)},
\]

и вычислить компоненты ускорения.
5. Точка движется на плоскости. Логарифм отношения ее расстояний от двух неподвижных точек этой плоскости равен $\vartheta$, угол между этими расстояниями равен $\varphi$, расстояние между неподвижными точками равно $2 k$. Показать, что скорость точки равна
\[
\frac{k \sqrt{\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\varphi}^{2}}}{\operatorname{ch} \vartheta-\cos \varphi} .
\]

6. Точка описывает дважды одну и ту же траекторию, причем произведение скоростей в соответствующих положениях при обоих движениях остается постоянным. Показать, что ускорения относятся как квадраты скоростей и что они образуют равные, но противоположно направленные углы с нормалью к траектории. (J. von Vieth.)
7. Точка движется по параболе, параметр которой равен $4 a$. На расстоянии $r$ от фокуса она имеет скорость $v$. Показать, что ее ускорение складывается из ускорении $R$ и $N$ в направлении радиуса-вектора и нормали, причем
\[
R=v \frac{d v}{d r}, \quad N=\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 r^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d r}\left(v^{2} r\right) .
\]
8. Оси $x$ и $y$ вращаются с угловыми скоростями $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ и образуют между собой угол $\psi$. Показать, что компоненты по осям координат ускорения точки суть:
\[
\ddot{x}-x \omega_{1}^{2}-\left(x \dot{\omega}_{1}+2 \dot{x} \omega_{1}\right) \operatorname{ctg} \psi-\left(y \dot{\omega}_{2}+2 \dot{y} \omega_{2}\right) \frac{1}{\sin \psi}
\]

и
\[
\ddot{y}-y \omega_{2}^{2}-\left(x \dot{\omega}_{1}+2 \dot{x} \omega_{1}\right) \frac{1}{\sin \psi}+\left(y \dot{\omega}_{2}+2 \dot{y} \omega_{2}\right) \operatorname{ctg} \psi .
\]
9. Скорость точки складывается из ее компонентов $u$ и $v$ по двум направлениям, образующим с неподвижной прямой углы $\vartheta$ и $\varphi$. Показать, что компоненты $f$ и $f^{\prime}$ ускорения по тем же направлениям определяются равенствами:
\[
\begin{aligned}
f & =\dot{u}-u \dot{\vartheta} \operatorname{ctg} \chi-\frac{v \dot{\varphi}}{\sin \chi}, \\
f^{\prime} & =\dot{v}+\frac{u \dot{\vartheta}}{\sin \chi}+v \dot{\varphi} \operatorname{ctg} \chi
\end{aligned}
\]

где $\chi$ – угол между обоими направлениями. Обозначая, далее, через $r$ и $s$ радиусы-векторы движущейся точки относительно двух неподвижных и через $\vartheta$ и $\varphi$ – углы наклона этих радиусов-векторов относительно прямой, соединяющей эти точки, определить ускорение движущейся точки как функции величин $\omega=\dot{\vartheta}$ и $\omega^{\prime}=\dot{\varphi}$.
10. $A, B$ и $C$ означают три неподвижные точки, а $u, v, w$ – компоненты скорости какой-нибудь точки $P$ по направлениям $P A, P B, P C$. Показать, что компоненты ускорения определяются выражением:
\[
\dot{u}+u v\left(\frac{1}{P B}-\frac{\cos A P B}{P A}\right)+u w\left(\frac{1}{P C}-\frac{\cos A P C}{P A}\right)
\]

и двумя другими выражениями, аналогичными этому.

11. Движение плоской пластинки задано ее угловой скоростью $\omega$ и компонентами $u$ и $v$ скорости начала координат по осям $O x, O y$, взятыми на пластинке. Определить компоненты скорости любой точки пластинки. Показать, далее, что уравнения
\[
\frac{d}{d t} \operatorname{arctg}\left(\frac{u-y \omega}{v+x \omega}\right)= \pm \omega
\]

опеделяют на пластинке две окружности, из которых первая есть геометрическое место точек перегиба всех траекторий, а вторая – геометрическое место центров кривизны, огибающих всех прямых пластинки.
12. Точка описывает кривую двойной кривизны. Показать, что ее ускорение может быть разложено на два компонента, из которых один направлен по радиусу-вектору относительно проекции какой-нибудь неподвижной точки на плоскость кривизны, а другой – по касательной. Значения этих компонентов равны соответственно:
\[
\frac{r}{p^{3}} \frac{T^{2}}{\rho} \quad \text { и } \quad \frac{T}{p^{2}} \frac{d T}{d s}+\frac{T^{2}}{p^{4}} q \frac{d q}{d s} .
\]

Здесь $\rho$ означает радиус кривизны, $q$ – расстояние неподвижной точки от ее проекции на плоскость кривизны, $r$ и $p$ – расстояния этой проекции от движущейся точки и от касательной, $T$ – произвольную функцию (произведение скорости на $p$ ), $s$ – дугу. (Siacci.)
13. На плоскости лежат окружность, прямая и точка. Положение точки определяется ее расстоянием $p$ от прямой и длиной $t$ – касательной, проведенной из нее к окружности. Компоненты ее скорости по направлениям, определяемым отрезками $t$ и $p$, равны соответственно $u$ и $v$. Угол между этими направлениями равен $\vartheta$. Показать, что
\[
\dot{u}-u v \cos \frac{\vartheta}{t} \quad \text { и } \quad \dot{v}+u \frac{v}{t}
\]

суть компоненты ускорения по тем же направлениям.
14. Точка движется по дуге окружности. Ее расстояния от концов $A$ и $B$ какой-нибудь неподвижной хорды равны $r$ и $r^{\prime}$. Показать, что компоненты ускорения точки $P$ по направлениям $A B$ и $B P$ равны соответственно:
\[
\frac{d v}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r r^{\prime}}(r-r \cos \alpha) \quad \text { и } \quad \frac{d v^{\prime}}{d t}+\frac{v v^{\prime}}{r r^{\prime}}\left(r^{\prime}-r \cos \alpha\right),
\]

где $v, v^{\prime}$ суть компоненты скорости по направлениям $r, r^{\prime}$, а $\alpha-$ угол $A P B$.

Точка описывает половину окружности под действием ускорений, направленных к концам некоторого диаметра и в каждом положении обратно пропорциональных расстояниям $r, r^{\prime}$ от этих концов. Показать, что эти ускорения равны соответственно:
\[
\frac{4 a^{4} V^{2}}{r^{3} r^{\prime 2}} \quad \text { и } \quad \frac{4 a^{4} V^{2}}{r^{2} r^{\prime 3}},
\]

где $a$ – радиус окружности, а $V$ – скорость точки в направлении диаметра.
15. Твердое тело движется параллельно плоскости. Его движение определяется компонентами $u$ и $v$ скорости какой-нибудь точки $C$ и его угловой скоростью $\omega$. Определить координаты относительно $C$ одной из точек $I$, имеющей скорость 0 и показать, что всякая другая точка $P$ движется перпендикулярно к $P I$.

Определить, далее, координаты точки $I$, имеющей ускорения, равные нулю, и выразить ускорение точки $P$ как функцию ее координат относительно $I$.
16. Точка движется с постоянной относительной скоростью $V$ на плоскости, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг перпендикулярной к ней прямой. Показать, что траектория точки определяется уравнением:
\[
\frac{V \vartheta}{\omega}=\sqrt{r^{2}-a^{2}}+\frac{V}{\omega} \arccos \frac{a}{r},
\]

где $r$ и $\vartheta$ отнесены к неподвижным осям, а $a$ – кратчайшее расстояние точки от оси вращения.
17. Ускорение движущейся точки $Q$ определяется в каждое мгновение отрезком $\omega a$, где $\omega$ – неподвижная точка, а $a$ движется равномерно по окружности с центром $\omega$. Показать, что в каждое мгновение скорость точки $Q$ определяется отрезком $O p$, где $O$ – неподвижная точка, а $p-$ движется равномерно по некоторой окружности. Определить траекторию точки. (Camb. Math. Tripos., ч. 1, 1902.)
18. Точка движется по кривой пересечения эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ и однополого гиперболоида $\frac{x^{2}}{a^{2}-\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\lambda}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\lambda}$. Ее скорость в той точке, где траектория пересекается двуполым гиперболоидом $\frac{x^{2}}{a^{2}-\mu}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\mu}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\mu}$ равна:
\[
h\left\{\frac{\mu(\mu-\lambda)}{\left(a^{2}-\mu\right)\left(b^{2}-\mu\right)\left(c^{2}-\mu\right)}\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

где $h$ – постоянная. Показать, что компонент ускорения по нормали к эллипсоиду равен:
\[
\frac{h^{2} a b c(\mu-\lambda)}{\left(a^{2}-\mu\right)\left(b^{2}-\mu\right)\left(c^{2}-\mu\right) \sqrt{\lambda \mu}} .
\]
19. Твердое тело катится без скольжения по плоскости. Его угловая скорость имеет в каждое мгновение компоненты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ по касательным к линиям кривизны в точке соприкасания тела с плоскостью и компонент $\omega_{3}$ по нормали к его поверхности. Показать, что точка касания имеет компоненты ускорения:
\[
-R_{2} \omega_{1} \omega_{3}, \quad-R_{1} \omega_{2} \omega_{3}, \quad R_{1} \omega_{2}^{2}+R_{2} \omega_{1}^{2},
\]

где $R_{1}$ и $R_{2}$ – главные радиусы кривизны поверхности тела в этой точке.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru