Кинетическую энергию движущегося твердого тела можно вычислить таким же способом, как и момент количества движения. Если мы обратимся к общей теореме § 59 для случая, когда полином $f(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, \ddot{x}, \ddot{y}, \ddot{z})$ имеет вид: $\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}$, то получим непосредственно результат: кинетическая энергия движущегося твердого тела массы $M$ равна сумме кинетической энергии точки массы $M$, находящейся в центре тяжести тела, и кинетической энергии движения тела относительно центра тяжести. Для определения кинетической энергии тела относительно центра тяжести $G$, выберем прямоугольные (покоящиеся или неподвижные) оси с началом в центре тяжести. Пусть $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости тела относительно $G$ по этим осям, а $x, y, z$ – координаты материальной точки $m$ тела. Компоненты скорости точки по этим осям в движении относительно центра тяжести будут ( $\$ 17$ ):
\[
z \omega_{2}-y \omega_{3}, \quad x \omega_{3}-z \omega_{1}, \quad y \omega_{1}-x \omega_{2} .
\]

Поэтому кинетическая энергия движения относительно центра тяжести есть
\[
\frac{1}{2} \sum m\left\{\left(z \omega_{2}-y \omega_{3}\right)^{2}+\left(x \omega_{3}-z \omega_{1}\right)^{2}+\left(y \omega_{1}-x \omega_{2}\right)^{2}\right\}
\]

или
\[
\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}-2 F \omega_{2} \omega_{3}-2 G \omega_{3} \omega_{1}-2 H \omega_{1} \omega_{2}\right),
\]

где $A, B, C, F, G, H$ – моменты инерции и девиации относительно координатных осей. Это выражение можно с помощью § 60 представить в виде полупроизведения квадрата результирующей угловой скорости тела в движении относительно центра тяжести на момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения.
ДоБАВЛЕНИЕ. Если одна точка твердого тела неподвижна, то можно не вводить центра тяжести. В самом деле, пусть $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости тела относительно неподвижной точки $O$ по произвольным (неподвижным или движущимся) осям $O x y z$, проходящим через $O, x, y, z$ – координаты точки $m$ тела относительно этих осей. Компоненты скорости этой точки суть (§ 17 ):
\[
z \omega_{2}-y \omega_{3}, \quad x \omega_{3}-z \omega_{1}, \quad y \omega_{1}-x \omega_{2} .
\]

Аналогично получаем выражение для кинетической энергии:
\[
\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}-2 F \omega_{2} \omega_{3}-2 G \omega_{3} \omega_{1}-2 H \omega_{1} \omega_{2}\right),
\]

Отсюда следует: если одна из координатных осей, например ось $x$, есть мгновенная ось вращения, то кинетическая энергия равна $\frac{1}{2} A \omega_{1}^{2}$. Так как направление осей координат можно выбрать произвольно, то кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг своей закрепленной точки, равна $\frac{1}{2} I \omega^{2}$, где $I$ – момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, а $\omega$ угловая скорость его относительно этой оси.
ЗАДАчА 1. Плоская пластинка свободно вращается вокруг горизонтальной оси, лежащей в ее плоскости, а эта ось, в свою очередь, вращается вокруг пересекающей ее вертикали. Показать, что если $\varphi$ означает азимут горизонтальной оси, а $\psi$ – угол наклона пластинки относительно вертикали, то кинетическая энергия равна:
\[
\frac{1}{2} A\left(\dot{\psi}^{2}+\dot{\varphi}^{2} \sin ^{2} \psi\right)+\frac{1}{2} B \dot{\varphi}^{2}+H \dot{\psi} \dot{\varphi} \cos \psi,
\]

где $A, B, H$ – моменты инерции и девиации пластинки относительно горизонтальной оси и перпендикуляра к ней в точке ее пересечения с вертикалью.