Изучим теперь обратную задачу, подсказанную результатом предыдущего параграфа, а именно: определить все возможные системы дифференциальных уравнений, обладающие относительным интегральным инвариантом $\int \sum_{r=1}^{n} p_{r} \delta q_{r}$, где $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ означают одну половину, а $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n} \xrightarrow{r=1}$ другую половину зависимых переменных.

Пусть предложена система дифференциальных уравнений $2 n$-го порядка, в которой зависимые переменные могут быть разделены на два таких ряда $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, что величина
\[
\int\left(p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\cdots+p_{n} \delta q_{n}\right)
\]

есть относительный интегральный инвариант этой системы, а следовательно, по теореме Стокса величина
\[
\iint\left(\delta p_{1} \delta q_{1}+\delta p_{2} \delta q_{2}+\cdots+\delta p_{n} \delta q_{n}\right)
\]

есть ее абсолютный интегральный инвариант.
Пусть эта система имеет вид:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=Q_{r}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=P_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ означают известные функции переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$. Так как область интегрирования для абсолютного интегрального инварианта имеет два измерения, то мы можем предполагать, что каждая точка этой области определяется двумя величинами $\lambda$ и $\mu$, которые не зависят от времени и характеризуют траекторию, выходящую из этой точки. Тогда абсолютный интегральный инвариант может быть представлен в виде:
\[
\iint\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}\right) d \lambda d \mu,
\]

и так как $\lambda$ и $\mu$ не зависят от времени, то
\[
\frac{d}{d t} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}=0
\]

или
\[
\sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{\partial\left(Q_{i}, p_{i}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}+\frac{\partial\left(q_{i}, P_{i}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}\right\}=0
\]

или
\[
\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left\{\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial\left(q_{k}, p_{i}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}+\frac{\partial Q_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial\left(p_{k}, p_{i}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}+\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial\left(q_{i}, q_{k}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}+\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial\left(q_{i}, p_{k}\right)}{\partial(\lambda, \mu)}\right\}=0 .
\]

Но вследствие произвольности выбора области интегрирования и $\frac{\partial p_{k}}{\partial \lambda} \frac{\partial p_{i}}{\partial \mu}$ должны равняться нулю. Таким образом, имеем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial P_{k}}{\partial p_{i}}=0, \\
\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial P_{k}}{\partial q_{i}}=0, \\
\frac{\partial Q_{i}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial Q_{k}}{\partial p_{i}}=0
\end{array}\right\} \quad(i, k=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти уравнения показывают, что должна существовать некоторая функция
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)
\]

такая, что
\[
Q_{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad P_{r}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, получаем следующий результат: Если система дифференциальных уравнений
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=Q_{r}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=P_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

имеет относительный интегральный инвариант, то она необходимо имеет форму Гамильтона:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

Этот результат дает теорему, обратную доказанной в предыдущем параграфе.

ДоБАВЛЕНИЕ. Если
\[
\int\left(p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\cdots+p_{n} \delta q_{n}\right)
\]

есть относительный интегральный инвариант системы уравнений:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=Q_{r}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=P_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k),
\]

где $k>n$, то аналогичным образом можно показать, что уравнения для $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ образуют систему Гамильтона:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $H$ есть функция только величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$, не зависящая от $q_{n+1}, q_{n+2}, \ldots, q_{k}, p_{n+1}, p_{n+2}, \ldots, p_{k}$.