Под стационарным движением мы понимаем такое движение системы с циклическими координатами, при котором нециклические координаты и скорости, соответствующие циклическим координатам, сохраняют постоянные значения. Состояние стационарного движения имеет некоторую аналогию с состоянием равновесия.

Примером стационарного движения может служить рассмотренный в § 72 частный случай движения волчка. В качестве другого примера стационарного движения можно указать на движение материальной точки на плоскости под действием центральной силы, когда потенциальная энергия зависит только от расстояния точки до центра сил. В этом случае возможно движение с постоянной скоростью по круговой траектории. Это движение стационарно, ибо радиус-вектор не изменяется и угловая скорость $\dot{\vartheta}$, соответствующая циклической координате $\vartheta$, остается также постоянной.

Если движение в начальный момент отклоняется весьма мало от стационарного и если это отклонение остается незначительным во все время движения, то оно называется колебанием около стационарного состояния.

Колебание около стационарного состояния называется устойчивым $^{1}$, если это движение стремится к определенной предельной форме, а именно к стационарному состоянию, когда первоначальное отклонение от стационарного состояния достаточно мало.

Пусть $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ — циклические, а $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ — нециклические координаты системы. Тогда $k$ циклическим координатам соответствуют $k$ интегралов:
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{p}_{r}}=\beta_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k),
\]

где $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{k}$ — постоянные интегрирования. Мы будем предполагать, что эти постоянные в колебательном движении имеют те же
${ }^{1}$ Это определение принадлежит Клейну и Зоммерфельду.

значения, что и при невозмущенном стационарном движении, около которого изучается колебание. Это означает только то, что мы каждому виду колебаний ставим в соответствие определенное стационарное движение.

Допустим, что система консервативна и связи не зависят от времени. Пусть кинетическая энергия имеет вид:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} b_{i j} \dot{q}_{i} \dot{p}_{j}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{k} c_{i j} \dot{p}_{i} \dot{p}_{j},
\]

где коэффициенты $a_{i j}, b_{i j}, c_{i j}$ суть некоторые функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Интегралами, соответствующими циклическим координатам, будут:
\[
\sum_{i} c_{i j} \dot{p}_{i}+\sum_{i} \dot{b}_{i j} \dot{q}_{i}=\beta_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]

Пусть $C_{i j}$ означает минор, соответствующий элементу $c_{i j}$ определителя, составленного из коэффициентов $c_{i j}$, деленный на этот определитель. Решение последних уравнений относительно величин $\dot{p}_{r}$ дает:
\[
\dot{p}_{r}=\sum_{s} C_{r s}\left(\beta_{s}-\sum_{l} b_{l s} \dot{q}_{l}\right) .
\]

Вставляя эти значения $\dot{p}_{r}$ в выражение для $T$ и принимая во внимание свойство миноров, получим:
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(a_{i j}-\sum_{l, s} C_{l s} b_{i l} b_{j s}\right) \dot{q}_{i} \dot{q} l+\frac{1}{2} \sum_{l, s} C_{l s} \beta_{l} \beta_{s} .
\]

Упростим теперь систему путем освобождения от циклических координат. Пусть $R$ означает измененный кинетический потенциал:
\[
\begin{array}{c}
R=T-V-\sum_{r=1}^{k} \dot{p}_{r} \beta_{r}= \\
=\frac{1}{2} \sum_{i, j}\left(a_{i j}-\sum_{l, s} C_{l s} b_{i l} b_{j s}\right) \dot{q}_{i} \dot{q}_{j}+\sum_{l, r, s} C_{r s} \beta_{r} b_{l s} \dot{q}_{l}-\frac{1}{2} \sum_{l, s} C_{l s} \beta_{l} \beta_{s}-V .
\end{array}
\]

Не нарушая общности рассуждений, мы можем предполагать, что при стационарном движении все величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ имеют нулевые значения. Тогда, если в разложении коэффициентов, входящих в $R$, по степеням величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ пренебречь членами выше второго порядка относительно величин $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ по сравнению с членами второго порядка, то в выражение $R$ будут входить лишь члены линейные и квадратичные относительно $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Члены, линейные относительно $\dot{q}_{1}$, $\dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ и независящие от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ выпадут сами собой из уравнения движения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial R}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

и потому они могут быть отброшены с самого начала. Члены, линейные относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и независящие от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$, не входят вовсе в выражение $R$, так как уравнения движения должны выполняться при $q_{1}=q_{2}=\cdots=q_{n}=0$. Решение задачи колебаний около стационарного состояния движения сводится к интегрированию уравнений Лагранжа, в которых кинетический потенциал есть однородная квадратичная функция скоростей и координат с постоянными коэффициентами.

Отличие колебаний около положения равновесия и около стационарного движения заключается в том, что в последнем случае в выражение кинетического потенциала входят члены вида $q_{r} \dot{q}_{s}$. Такого рода члены называются гироскопическими. Колебания около стационарного состояния движения представляют собой в действительности не что иное, как колебания около положения равновесия приведенной или ненатуральной (§38) системы, к которой приводится первоначальная после освобождения от циклических координат.
Уравнения движения колеблющейся системы имеют поэтому вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial R}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $R$ может быть представлено в виде:
\[
R=\frac{1}{2} \sum_{r, s} \alpha_{r s} \dot{q}_{r} \dot{q}_{s}+\frac{1}{2} \sum_{r, s} \beta_{r s} q_{r} q_{s}+\sum_{r, s} \gamma_{r s} q_{r} \dot{q}_{s} \quad(r, s=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
\alpha_{r s}=\alpha_{s r}, \quad \beta_{r s}=\beta_{s r},
\]

но $\gamma_{r s}$, вообще говоря, отлична от $\gamma_{s r}$. В развернутой форме уравнения движения имеют вид:
\[
\left\{\begin{array}{c}
\alpha_{11} \ddot{q}_{1}-\beta_{11} q_{1}+\alpha_{12} \ddot{q}_{2}+\left(\gamma_{21}-\gamma_{12}\right) \dot{q}_{2}-\beta_{12} q_{2}+\alpha_{13} \ddot{q}_{3}+ \\
+\left(\gamma_{31}-\gamma_{13}\right) \dot{q}_{3}-\beta_{13} q_{3}+\cdots=0, \\
\alpha_{21} \ddot{q}_{1}+\left(\gamma_{12}-\gamma_{21}\right) \dot{q}_{1}-\beta_{21} q_{1}+\alpha_{22} \ddot{q}_{2}-\beta_{22} q_{2}+\alpha_{23} \ddot{q}_{3}+ \\
+\left(\gamma_{32}-\gamma_{23}\right) \dot{q}_{3}-\beta_{23} q_{3}+\cdots=0 . \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}\right.
\]

Они представляют собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, которые в общем имеют тот же характер, что и соответствующие уравнения в случае колебаний около положения равновесия. Они отделяются лишь появлением гироскопических членов с коэффициентами $\left(\gamma_{s r}-\gamma_{r s}\right)$. Вследствие появления этих членов система не может быть преобразована к нормальным координатам ${ }^{1}$. Однако мы увидим, что главное свойство колебаний около положения равновесия сохраняется, а именно всякое колебание можно рассматривать как результат наложения $n$ чисто периодических колебаний. Последние, так же как и раньше, мы будем называть главными колебаниями системы.