Для случая 1 , при котором отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ есть число иррациональное, нам известны два интеграла уравнений движения, а именно интеграл энергии ( $H=$ const) и родственный интеграл, выражаемый уравнением (4) § 196. Но мы знаем (§121), что если для системы с двумя степенями свободы, кроме интеграла энергии, известен еще один интеграл, то система может быть полностью проинтегрирована, т. е. координаты $q_{1}, q_{2}$ и импульсы $p_{1}, p_{2}$ могут быть выражены через время и четыре произвольных постоянных. Мы хотим сейчас выполнить это вычисление в нашем случае.

Если мы интеграл энергии сложим с интегралом (4) § 196 и полученный ряд разделим на $2 s_{1}$, то получим:
\[
\begin{aligned}
l_{1} & =q_{1}+q_{1}^{\frac{3}{2}}\left\{\frac{1}{s_{1}} U_{1} \cos p_{1}+\frac{1}{s_{1}} U_{2} \cos 3 p_{1}\right\}+ \\
& +q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{2}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\frac{2}{2 s_{1}+s_{2}} U_{5} \cos \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}+ \\
& +q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}\left\{\frac{1}{s_{1}} U_{6} \cos p_{1}+\frac{1}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} \cos \left(2 p_{2}+p_{1}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{1}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} \cos \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}+ \\
& + \text { члены четвертого и высшего порядков, }
\end{aligned}
\]
+ члены четвертого и высшего порядков,
где $l_{1}$ – произвольная постоянная.

Аналогично, вычитая родственный интеграл из интеграла энергии и деля результат на $s_{2}$, мы получим:
\[
\begin{aligned}
l_{2} & =q_{2}+q_{1} q_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{3} \cos p_{2}+\frac{1}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)-\right. \\
& \left.-\frac{1}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} \cos \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}+ \\
& +q_{1}^{\frac{1}{2}} q_{2}\left\{\frac{2}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} \cos \left(2 p_{2}+p_{1}\right)-\frac{2}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} \cos \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}+ \\
& +q^{\frac{3}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{9} \cos p_{2}+\frac{1}{s_{2}} U_{10} \cos 3 p_{2}\right\}+ \\
& + \text { члены четвертого и высшего порядков, }
\end{aligned}
\]
+ члены четвертого и высшего порядков,
где $l_{2}$ – вторая произвольная постоянная.
Из этих уравнений удобно выразить $q_{1}$ и $q_{2}$ через $l_{1}, l_{2}, p_{1}, p_{2}$ при помощи последовательных приближений.

Применяя этот метод, мы получим в первом приближении $q_{1}=l_{1}$, $q_{2}=l_{2}$ и во втором приближении:
\[
\begin{aligned}
q_{1} & =l_{1}+l_{1}^{\frac{3}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{1} \cos p_{1}+\frac{1}{s_{2}} U_{2} \cos 3 p_{1}\right\}- \\
& -l_{1} l_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{2}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\frac{2}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} \cos \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}- \\
& -l_{1}^{\frac{1}{2}} l_{2}\left\{\frac{1}{s_{1}} U_{6} \cos p_{1}+\frac{1}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} \cos \left(2 p_{2}+p_{1}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{1}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} \cos \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}+
\end{aligned}
\]
+ члены четвертого и высшего порядков относительно $\sqrt{l_{1}}$ и $\sqrt{l_{2}}$,
\[
q_{2}=l_{2}-l_{1} l_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{3} \cos p_{2}+\frac{1}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \cos \left(2 p_{1}+p_{2}\right)-\right.
\]
$\left.-\frac{1}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} \cos \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}-l_{1}^{\frac{1}{2}} l_{2}\left\{\frac{2}{s_{1}+2 s_{2}} U_{7} \cos \left(2 p_{2}+p_{1}\right)-\right.$
$\left.-\frac{2}{s_{1}-2 s_{2}} U_{8} \cos \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}-l_{2}^{\frac{3}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{9} \cos p_{2}+\frac{1}{s_{2}} U_{10} \cos 3 p_{2}\right\}+$
+ члены четвертого и высшего порядков относительно $\sqrt{l_{1}}$ и $\sqrt{l_{2}}$.
Мы знаем ( $\S 121$ ), что найденные таким образом выражения для $q_{1}$ и $q_{2}$ должны быть частными производными по $p_{1}$ и $p_{2}$ от некоторой функции переменных $l_{1}, l_{2}, p_{1}, p_{2}$. И действительно, мы имеем, очевидно,
\[
q_{1}=\frac{\partial W}{\partial p_{1}}, \quad q_{2}=\frac{\partial W}{\partial p_{2}},
\]

где
\[
\begin{aligned}
W & =l_{1} p_{1}+l_{2} p_{2}-l_{1}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{s_{1}} U_{1} \cos p_{1}+\frac{1}{3 s_{1}} U_{2} \sin 3 p_{1}\right)- \\
& -l_{1} l_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{3} \sin p_{2}+\frac{1}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{1}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} \sin \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}- \\
& -l_{1}^{\frac{1}{2}} l_{2}\left\{\frac{1}{s_{1}} U_{6} \sin p_{1}+\frac{1}{2 s_{2}+s_{1}} U_{7} \sin \left(2 p_{2}+p_{1}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{1}{2 s_{2}-s_{1}} U_{8} \sin \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}-l_{2}^{\frac{3}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{9} \sin p_{2}+\frac{1}{3 s_{2}} U_{10} \sin 3 p_{2}\right\}+
\end{aligned}
\]
+ члены четвертого и высшего порядков относительно $\sqrt{l_{1}}$ и $\sqrt{l_{2}}$.
Члены, в которых $p_{1}$ и $p_{2}$ содержатся не как аргументы тригонометрических функций, имеют вид:
$p_{1}\left(l_{1}+\right.$ члены четвертого и высшего порядков относительно $\sqrt{l_{1}}$ и $\left.\sqrt{l_{2}}\right)$,
$+p_{2}\left(l_{2}+\right.$ члены четвертого и высшего порядков относительно $\sqrt{l_{1}}$ и $\left.\sqrt{l_{2}}\right)$.

Обозначим соответственно коэффициенты при $p_{1}$ и $p_{2}$ в этих выражениях через $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, выразим из этих рядов $l_{1}$ и $l_{2}$ через $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$. Подставив эти значения $l_{1}$ и $l_{2}$ в ряд для $W$, получим:
\[
\begin{array}{l}
W=\alpha_{1} p_{1}+\alpha_{2} p_{2}-\alpha_{1}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{s_{1}} U_{1} \cos p_{1}+\frac{1}{3 s_{1}} U_{2} \sin 3 p_{1}\right)- \\
-\alpha_{1} \alpha_{2}^{\frac{1}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{3} \sin p_{2}+\frac{1}{2 s_{1}+s_{2}} U_{4} \sin \left(2 p_{1}+p_{2}\right)+\right. \\
\left.+\frac{1}{2 s_{1}-s_{2}} U_{5} \sin \left(2 p_{1}-p_{2}\right)\right\}- \\
-\alpha_{1}^{\frac{1}{2}} \alpha_{2}\left\{\frac{1}{s_{1}} U_{6} \sin p_{1}+\frac{1}{2 s_{2}+s_{1}} U_{7} \sin \left(2 p_{2}+p_{1}\right)+\right. \\
\left.+\frac{1}{2 s_{2}-s_{1}} U_{8} \sin \left(2 p_{2}-p_{1}\right)\right\}-\alpha_{2}^{\frac{3}{2}}\left\{\frac{1}{s_{2}} U_{9} \sin p_{2}+\frac{1}{3 s_{2}} U_{10} \sin 3 p_{2}\right\}+\text { члены } \\
+ \text { четвертого и высшего порядков относительно } \sqrt{\alpha_{1}} \text { и } \sqrt{\alpha_{2}} .
\end{array}
\]

где уже $p_{1}$ и $p_{2}$ входнт только в член $\alpha_{1} p_{1}+\alpha_{2} p_{2}$ и в аргументы тригонометрических функций.
Уравнения:
\[
q_{1}=\frac{\partial W}{\partial p_{1}}, \quad q_{2}=\frac{\partial W}{\partial p_{2}}, \quad \beta_{1}=\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}, \quad \beta_{2}=\frac{\partial W}{\partial \alpha_{2}}
\]

определяют контактное преобразование переменных $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$ в переменные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1}, \beta_{2}$.
Уравнения движения в новых переменных имеют вид:
\[
\frac{d \alpha_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \beta_{1}}, \quad \frac{d \alpha_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \beta_{2}}, \quad \frac{d \beta_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \alpha_{1}}, \quad \frac{d \beta_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \alpha_{2}} .
\]

Так как $l_{1}$ и $l_{2}$ – постоянные, то эти уравнения допускают два интеграла $\alpha_{1}=$ const и $\alpha_{2}=$ const, и поэтому
\[
\frac{\partial H}{\partial \beta_{1}}=0, \quad \frac{\partial H}{\partial \beta_{2}}=0 .
\]

Следовательно, если функцию $H$ выразить в переменных $\alpha_{1}, \alpha_{2}$, $\beta_{1}, \beta_{2}$, то она будет содержать только ${ }^{1} \alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, и уравнения:
\[
\frac{d \beta_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \alpha_{1}}, \quad \frac{d \beta_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \alpha_{2}} .
\]

дают:
\[
\left.\begin{array}{c}
\beta_{1}=-\frac{\partial H\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}{\partial \alpha_{1}} t+\varepsilon_{1}, \\
\beta_{2}=-\frac{\partial H\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}{\partial \alpha_{2}} t+\varepsilon_{2}
\end{array}\right\}
\]

где $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$ – произвольные постоянные.
Таким образом, полное решение динамической системы выражается уравнениями:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial W}{\partial p_{1}}=q_{1}, & \frac{\partial W}{\partial p_{2}}=q_{2}, \\
\frac{\partial W}{\partial \alpha_{1}}=-\frac{\partial H\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}{\partial \alpha_{1}} t+\varepsilon_{1}, & \frac{\partial W}{\partial \alpha_{2}}=-\frac{\partial H\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)}{\partial \alpha_{2}} t+\varepsilon_{2},
\end{aligned}
\]

где $W$ определяется равенством (1), и постоянные интегрирования суть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$. Обращаясь к виду функции $W$, мы видим, что эти уравнения дают нам возможность выразить $q_{1}$ и $q_{2}$ чисто тригонометрическими рядами, у которых аргументы тригонометрических функций имеют вид:
\[
m \beta_{1}+n \beta_{2},
\]
${ }^{1}$ Заметим, что $H=s_{1} \alpha_{1}+s_{2} \alpha_{2}+\frac{1}{2} A \alpha_{1}^{2}+H \alpha_{1} \alpha_{2}+\frac{1}{2} B \alpha_{2}^{2}+\cdots$, в ней отсутетвуют члены порядка $\alpha^{\frac{1}{2}}$.

где $m$ и $n$ суть целые числа (положительные, отрицательные или нули), а $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ – линейные функции от времени, определяемые уравнениями (2). Мы выразили, таким образом, координаты через время при помоши рядов, в которые время входит лишь только в аргументы тригонометрических функций. Члены этих рядов имеют вид:
\[
a_{m n} \cos \left(m \beta_{1}+n \beta_{2}\right),
\]

где $m$ и суть целье числа (положительные, отрицательные или нули), $a_{m n}$ – функции только от двух постоянных интегрирования $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, а углы $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$ определяются равенствами:
\[
\beta_{1}=\mu_{1} t+\varepsilon_{1}, \quad \beta_{2}=\mu_{2} t+\varepsilon_{2}
\]

где $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ суть некоторые функции от $\alpha_{1} u \alpha_{2}$, а $\varepsilon_{1} u \varepsilon_{2}$ остальные две произвольные постоянные.