Рассмотрим для пояснения несколько примеров колебаний систем около положения равновесия.
1. Определить период колебаний цилиндра произвольного сечения, который может катиться по внешней поверхности другого абсолютно шероховатого покоящегося цилиндра.

Пусть $s$ означает дугу на покоящемся цилиндре, отсчитываемую от положения равновесия до точки касания цилиндра. Через $\rho$ и $\rho^{\prime}$ обозначим радиусы кривизны неподвижного и подвижного цилиндров в точке касания в положении равновесия. При этом $\rho$ и $\rho^{\prime}$ считаются положительными, если цилиндры касаются внешним образом. Пусть $M$ – масса подвижного цилиндpa, $M k^{2}$ – его момент инерции относительно центра тяжести, $c$ – расстояние центра тяжести от начального положения точки касания на подвижном цилиндре.

Если $\alpha$ есть угол между общей нормалью к цилиндру и вертикалью в первоначальном положении, то $\alpha+\frac{S}{\rho}$ есть тот же угол в момент времени $t, \alpha+\frac{s}{\rho}+\frac{s}{\rho^{\prime}}$ – угол между вертикалью и прямой, соединяющей центр кривизны подвижного цилиндра с первоначальным положением его точки касания, и $\frac{s}{\rho}+\frac{s}{\rho^{\prime}}-$ угол между вертикалью и прямой, соединяющей последнюю точку с центром тяжести подвижного цилиндра. Отсюда для подвижного цилиндра имеем угловую скорость:
\[
\dot{s}\left(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^{\prime}}\right)
\]

и, следовательно, кинетическую энергию:
\[
T=\frac{1}{2} M\left(k^{2}+c^{2}\right)\left(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^{\prime}}\right)^{2} \dot{s}^{2} .
\]

Для потенциальной энергии имеем: $V=M g$, умноженному на высоту центра тяжести подвижного цилиндра над его исходным положением, т. е. равно
\[
M g\left\{\left(\rho+\rho^{\prime}\right) \cos \left(\alpha+\frac{s}{\rho}\right)-\rho^{\prime} \cos \left(\alpha+\frac{s}{\rho}+\frac{s}{\rho^{\prime}}\right)+c \cos \left(\frac{s}{\rho}+\frac{s}{\rho^{\prime}}\right)\right\}
\]

или, отбрасывая члены выше второго порядка:
\[
V=\frac{1}{2} M g\left\{\frac{\rho+\rho^{\prime}}{\rho \rho^{\prime}} \cos \alpha-c\left(\frac{\rho+\rho^{\prime}}{\rho \rho^{\prime}}\right)^{2}\right\} s^{2} .
\]

Уравнение движения
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{s}}\right)-\frac{\partial T}{\partial s}=-\frac{\partial V}{\partial s}
\]

дает:
\[
M\left(k^{2}+c^{2}\right)\left(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{\rho^{\prime}}\right)^{2} \ddot{s}+M g\left\{\frac{\rho+\rho^{\prime}}{\rho \rho^{\prime}} \cos \alpha-c\left(\frac{\rho+\rho^{\prime}}{\rho \rho^{\prime}}\right)^{2}\right\} s=0
\]

Следовательно, колебания определяются уравнением:
\[
s=A \cos (\lambda t+\varepsilon),
\]

где $A$ и $\varepsilon$ – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями, а $\lambda$ определяется уравнением:
\[
\lambda^{2}=\frac{g}{k^{2}+c^{2}}\left\{\frac{\rho \rho^{\prime}}{\rho+\rho^{\prime}} \cos \alpha-c\right\} .
\]

Период колебаний равен $\frac{2 \pi}{\lambda}$.
2. Определить периоды нормальных колебаний точки, колеблющейся под действием силы тяжести около положения равновесия на некоторой покоящейся гладкой поверхности.

Касательная плоскость в положении равновесия материальной точки будет, очевидно, горизонтальной. Возьмем начало координат в положении равновесия и направим оси $x$ и $y$ по касательным к линиям кривизны в этой точке. Ось $z$ направим вертикально вверх. Тогда для уравнения поверхности будем приближенно иметь:
\[
z=\frac{x^{2}}{2 \rho_{1}}+\frac{y^{2}}{2 \rho_{2}},
\]

где $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ – главные радиусы кривизны, считаемые положительными, если они направлены вверх. Для кинетической и потенциальной энергий имеем приближенно:
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right),
\]

где $m$ означает массу, и
\[
V=m g z=m g\left(\frac{x^{2}}{2 \rho_{1}}+\frac{y^{2}}{2 \rho_{2}}\right) .
\]

Из этих равенств вытекает, что $x$ и $y$ являются нормальными координатами. Уравнения движения имеют вид:
\[
\ddot{x}+\frac{g}{\rho_{1}} x=0, \quad \ddot{y}+\frac{g}{\rho_{2}} y=0 .
\]

Следовательно, периоды нормальных колебаний соответственно равны:
\[
2 \pi \sqrt{\frac{\rho_{1}}{g}}, \quad 2 \pi \sqrt{\frac{\rho_{2}}{g}} .
\]
3. Определить нормальные колебания твердого тела, имеющего закрепленную точку и колеблющегося под действием произвольной системы консервативных сил около положения равновесия.

Примем за неподвижную систему координат главные оси инерции тела в неподвижной точке в положении равновесия. Подвижные оси координат пусть совпадают, как обычно, с главными осями инерции. Положение тела в любой момент времени $t$ мы будем определять четырьмя параметрами $\xi, \eta, \zeta, \chi \S 9$. Мы рассматриваем $\xi, \eta, \zeta$ как независимые координаты системы, а $\chi$ определяется из соотношения:
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}+\chi^{2}=1 .
\]

Компоненты угловой скорости тела по подвижным осям координат определяются согласно § 16 равенствами:
\[
\begin{aligned}
\omega_{1} & =2(\chi \dot{\xi}+\zeta \dot{\eta}-\eta \dot{\zeta}-\xi \dot{\chi}), \\
\omega_{2} & =2(-\zeta \dot{\xi}+\chi \dot{\eta}+\xi \dot{\zeta}-\eta \dot{\chi}), \\
\omega_{3} & =2(\eta \dot{\xi}-\xi \dot{\eta}+\chi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\chi}) .
\end{aligned}
\]

Так как колебания очень малы, то мы рассматриваем $\xi, \eta, \zeta$ как малые первого порядка. $\chi$ отличается от единицы на малую величину второго порядка, следовательно, с точностью до величин порядка выше первого:
\[
\omega_{1}=2 \dot{\xi}, \quad \omega_{2}=2 \dot{\eta}, \quad \omega_{3}=2 \dot{\zeta} .
\]

Кинетическая энергия тела, которая дается уравнением
\[
T=\frac{1}{2}\left(A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}\right),
\]

где $A, B, C$ – главные моменты инерции точки опоры, может быть написана в виде:
\[
T=2\left(A \dot{\xi}^{2}+B \dot{\eta}^{2}+C \dot{\zeta}^{2}\right) .
\]

Потенциальную энергию тела, являющуюся определенной функцией его положения, т. е. параметров $\xi, \eta, \zeta$, мы обозначим через $V(\xi, \eta, \zeta)$.

Так как положению равновесия соответствуют нулевые значения величин $\xi, \eta, \zeta$, то в разложение $V(\xi, \eta, \zeta)$ по возрастающим степеням $\xi, \eta, \zeta$ не должно входить линейных членов. Наинизшим членом будет, следовательно,
член второго порядка, так что, пренебрегая членами более высоких порядков, можем написать:
\[
V=a \xi^{2}+b \eta^{2}+c \zeta^{2}+2 f \eta \zeta+2 g \zeta \xi+2 h \xi \eta,
\]

где $a, b, c, f, h$ – некоторые постоянные.
Задача определения нормальных координат равносильна совместному приведению двух форм:
\[
A \xi^{2}+B \eta^{2}+C \zeta^{2}, \quad a \xi^{2}+b \eta^{2}+c \zeta^{2}+2 f \eta \zeta+2 g \zeta \xi+2 h \xi \eta
\]

к виду:
\[
A_{1} x^{2}+B_{1} y^{2}+C_{1} z^{2}, \quad a_{1} x^{2}+b_{1} y^{2}+c_{1} z^{2},
\]

где $x, y, z$ – некоторые линейные формы величий $\xi, \eta, \zeta$.
Уравнение эллипсоида инерции, отнесенного к неподвижной системе координат в его положении равновесия, имеет вид:
\[
A x^{2}+B Y^{2}+C Z^{2}=1 .
\]

Рассмотрим одновременно поверхность второго порядка:
\[
a X^{2}+b Y^{2}+c Z^{2}+2 f Y Z+2 g Z X+2 h X Y=1,
\]

которую мы будем называть эллипсоидом равного потенциала, и определим общую систему сопряженных диаметров обоих эллипсоидов. Пусть $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ – отнесенные к этим диаметрам координаты какой-нибудь точки, имеющей в неподвижной системе координаты $X, Y, Z$. Пусть зависимость между $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ и $X, Y, Z$ устанавливается соотношениями:
\[
\begin{array}{l}
X=l_{1} X^{\prime}+m_{1} Y^{\prime}+n_{1} Z^{\prime}, \\
Y=l_{2} X^{\prime}+m_{2} Y^{\prime}+n_{2} Z^{\prime}, \\
Z=l_{3} X^{\prime}+m_{3} Y^{\prime}+n_{3} Z^{\prime} .
\end{array}
\]

Посредством этого преобразования уравнения эллипсоидов приводятся к виду:
\[
A_{1} X^{\prime 2}+B_{1} Y^{\prime 2}+C_{1} Z^{\prime 2}=1, \quad a_{1} X^{\prime 2}+b_{1} Y^{\prime 2}+c_{1} Z^{\prime 2}=1 .
\]

Следовательно, преобразованием, определяющим нормальные координаты, будет:
\[
\begin{array}{l}
\xi=l_{1} x+m_{1} y+n_{1} z, \\
\eta=l_{2} x+m_{2} y+n_{2} z, \\
\zeta=l_{3} x+m_{3} y+n_{3} z .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что при нормальных колебаниях, при которых изменяется один лишь $x$, постоянно соблюдаются соотношения:
\[
\xi: \eta: \zeta=l_{1}: l_{2}: l_{3} .
\]

Но согласно определениям $\S 9$ величины $\xi, \eta, \zeta$ с точностью до величин порядка выше первого, очевидно, пропорциональны направляющим косинусам мгновенной оси вращения твердого тела. Следовательно, эти нормальные колебания представляют собой малые колебания около прямой
\[
X: Y: Z=l_{1}: l_{2}: l_{3},
\]

т. е. около прямой
\[
Y^{\prime}=0, \quad Z^{\prime}=0,
\]

являющейся общим сопряженным диаметром обоих эллипсоидов.
Таким образом: нормальные колебания тела представляют собой малые колебания около общих сопряженных диаметров эллипсоида инерции и эллипсоида равного потенциала.
4. Определить нормальные координаты и периоды нормальных колебаний системы с тремя степенями свободы, для которой
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right), \quad V=\frac{1}{2}\left\{p^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2 \alpha z(x+y)+q^{2} z^{2}\right\},
\]

где $\alpha$ мало по сравнению с $p$ и $q$. Показать далее, что если система выведена из положения равновесия таким образом, что $y$ и $z$ вначале равны нулю, то по истечении промежутка времени $\pi p\left(q^{2}-p^{2}\right) / \alpha^{2} x$-колебание мгновенно прекращается, и тогда существует $y$-колебание, имеющее амплитуду первоначального $x$-колебания.

Эта форма кинетической и потенциальной энергий наводит на мысль ввести преобразование:
\[
x+y=2 \xi, \quad x-y=2 \eta,
\]

которое дает:
\[
T=\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}+\frac{1}{2} \dot{z}^{2}, \quad V=p^{2} \xi^{2}+p^{2} \eta^{2}+2 \alpha z \xi+\frac{1}{2} q^{2} z^{2} .
\]

Переменная $\eta$ есть, следовательно, нормальная координата. Для приведения остальных членов кинетической и потенциальной энергий к суммам квадратов, полагаем:
\[
z=\zeta-\frac{2 \alpha}{q^{2}-p^{2}} \varphi, \quad \xi=\varphi+\frac{\alpha}{q^{2}-p^{2}} \zeta
\]

и тогда получим:
\[
\begin{array}{l}
T=\dot{\eta}^{2}+\left\{1+\frac{2 \alpha^{2}}{\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}}\right\} \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2}\left\{1+\frac{2 \alpha^{2}}{\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}}\right\} \dot{\zeta}^{2}, \\
V=p^{2} \eta^{2}+\left\{p^{2}-\frac{\alpha^{2}\left(2 q^{2}-4 p^{2}\right)}{\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}}\right\} \varphi^{2}+\frac{1}{2}\left\{q^{2}+\frac{\left(4 q^{2}-2 p^{2}\right) \alpha^{2}}{\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}}\right\} \zeta^{2} .
\end{array}
\]

Переменные $\eta, \varphi, \zeta$ будут, следовательно, нормальными координатами. Пусть в начальный момент
\[
\begin{array}{l}
x=k, y=0, \quad z=0, \\
\dot{x}=0, \dot{y}=0, \dot{z}=0
\end{array}
\]

и $k$ настолько мало, что можно пренебречь его произведением на какиелибо другие малые величины. При этой степени приближения вначале будем иметь:
\[
\eta=\frac{1}{2} k, \quad \varphi=\frac{1}{2} k, \quad \zeta=0 .
\]

Поэтому колебания для нормальных координат $\eta, \varphi$ определятся уравнениями:
\[
\eta=\frac{1}{2} k \cos p t, \quad \varphi=\frac{1}{2} k \cos \left[t\left\{\frac{p^{2}-\frac{\alpha^{2}\left(2 q^{2}-4 p^{2}\right)}{\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}}}{1+\frac{2 \alpha^{2}}{\left(q^{2}-p^{2}\right)^{2}}}\right\}^{\frac{1}{2}}\right] .
\]

Последнему уравнению можно придать вид:
\[
\varphi=\frac{1}{2} k \cos \left[p t\left\{1-\frac{\alpha^{2}}{p^{2}\left(q^{2}-p^{2}\right)}\right\}\right]
\]

или
\[
\varphi=\frac{1}{2} k \cos p t \cos \frac{\alpha^{2} t}{p\left(q^{2}-p^{2}\right)}+\frac{1}{2} k \sin p t \sin \frac{\alpha^{2} t}{p\left(q^{2}-p^{2}\right)} .
\]

Следовательно, начальное движение может быть приближенно представлено уравнениями:
\[
\eta=\frac{1}{2} k \cos p t, \quad \varphi=\frac{1}{2} k \cos p t
\]

или
\[
x=k \cos p t, \quad y=0 .
\]

По истечении промежутка времени $\frac{\pi p\left(q^{2}-p^{2}\right)}{\alpha^{2}}$ движение приближенно представится уравнениями:
\[
\eta=\frac{1}{2} k \cos p t, \quad \varphi=-\frac{1}{2} k \cos p t
\]

или
\[
x=0, \quad y=-k \cos p t,
\]

что и доказывает наше предложение.