Рассмотрим для пояснения несколько примеров колебаний систем около положения равновесия.
1. Определить период колебаний цилиндра произвольного сечения, который может катиться по внешней поверхности другого абсолютно шероховатого покоящегося цилиндра.

Пусть $s$ означает дугу на покоящемся цилиндре, отсчитываемую от положения равновесия до точки касания цилиндра. Через $\rho$ и ${\rho }^{\prime }$ обозначим радиусы кривизны неподвижного и подвижного цилиндров в точке касания в положении равновесия. При этом $\rho$ и ${\rho }^{\prime }$ считаются положительными, если цилиндры касаются внешним образом. Пусть $M$ — масса подвижного цилиндpa, $M{k}^2$ — его момент инерции относительно центра тяжести, $c$ — расстояние центра тяжести от начального положения точки касания на подвижном цилиндре.

Если $\alpha$ есть угол между общей нормалью к цилиндру и вертикалью в первоначальном положении, то $\alpha +\frac{S}{\rho }$ есть тот же угол в момент времени $t,\alpha +\frac{s}{\rho }+\frac{s}{{\rho }^{\prime }}$ — угол между вертикалью и прямой, соединяющей центр кривизны подвижного цилиндра с первоначальным положением его точки касания, и $\frac{s}{\rho }+\frac{s}{{\rho }^{\prime }}-$ угол между вертикалью и прямой, соединяющей последнюю точку с центром тяжести подвижного цилиндра. Отсюда для подвижного цилиндра имеем угловую скорость:
$$\dot{s}(\frac{1}{\rho }+\frac{1}{{\rho }^{\prime }})$$

и, следовательно, кинетическую энергию:
$$T=\frac{1}{2}M(k^2+c^2){(\frac{1}{\rho }+\frac{1}{{\rho }^{\prime }})}^2{\dot{s}}^2.$$

Для потенциальной энергии имеем: $V=Mg$, умноженному на высоту центра тяжести подвижного цилиндра над его исходным положением, т. е. равно
$$Mg\{(\rho +{\rho }^{\prime })\cos (\alpha +\frac{s}{\rho })-{\rho }^{\prime }\cos (\alpha +\frac{s}{\rho }+\frac{s}{{\rho }^{\prime }})+c\cos (\frac{s}{\rho }+\frac{s}{{\rho }^{\prime }})\}$$

или, отбрасывая члены выше второго порядка:
$$V=\frac{1}{2}Mg\{\frac{\rho +{\rho }^{\prime }}{\rho {\rho }^{\prime }}\cos \alpha -c{\left(\frac{\rho +{\rho }^{\prime }}{\rho {\rho }^{\prime }}\right)}^2\}{s}^2.$$

Уравнение движения
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{s}}\right)-\frac{\partial T}{\partial s}=-\frac{\partial V}{\partial s}$$

дает:
$$M(k^2+c^2){(\frac{1}{\rho }+\frac{1}{{\rho }^{\prime }})}^2\ddot{s}+Mg\{\frac{\rho +{\rho }^{\prime }}{\rho {\rho }^{\prime }}\cos \alpha -c{\left(\frac{\rho +{\rho }^{\prime }}{\rho {\rho }^{\prime }}\right)}^2\}s=0$$

Следовательно, колебания определяются уравнением:
$$s=A\cos (\lambda t+\epsilon ),$$

где $A$ и $\epsilon$ — постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями, а $\lambda$ определяется уравнением:
$${\lambda }^2=\frac{g}{k^2+c^2}\{\frac{\rho {\rho }^{\prime }}{\rho +{\rho }^{\prime }}\cos \alpha -c\}.$$

Период колебаний равен $\frac{2\pi }{\lambda }$.
2. Определить периоды нормальных колебаний точки, колеблющейся под действием силы тяжести около положения равновесия на некоторой покоящейся гладкой поверхности.

Касательная плоскость в положении равновесия материальной точки будет, очевидно, горизонтальной. Возьмем начало координат в положении равновесия и направим оси $x$ и $y$ по касательным к линиям кривизны в этой точке. Ось $z$ направим вертикально вверх. Тогда для уравнения поверхности будем приближенно иметь:
$$z=\frac{x^2}{2{\rho }_1}+\frac{y^2}{2{\rho }_2},$$

где ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$ — главные радиусы кривизны, считаемые положительными, если они направлены вверх. Для кинетической и потенциальной энергий имеем приближенно:
$$T=\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2),$$

где $m$ означает массу, и
$$V=mgz=mg(\frac{x^2}{2{\rho }_1}+\frac{y^2}{2{\rho }_2}).$$

Из этих равенств вытекает, что $x$ и $y$ являются нормальными координатами. Уравнения движения имеют вид:
$$\ddot{x}+\frac{g}{{\rho }_1}x=0,\ddot{y}+\frac{g}{{\rho }_2}y=0.$$

Следовательно, периоды нормальных колебаний соответственно равны:
$$2\pi \sqrt{\frac{{\rho }_1}{g}},2\pi \sqrt{\frac{{\rho }_2}{g}}.$$
3. Определить нормальные колебания твердого тела, имеющего закрепленную точку и колеблющегося под действием произвольной системы консервативных сил около положения равновесия.

Примем за неподвижную систему координат главные оси инерции тела в неподвижной точке в положении равновесия. Подвижные оси координат пусть совпадают, как обычно, с главными осями инерции. Положение тела в любой момент времени $t$ мы будем определять четырьмя параметрами $\xi ,\eta ,\zeta ,\chi \mathrm{\S }9$. Мы рассматриваем $\xi ,\eta ,\zeta$ как независимые координаты системы, а $\chi$ определяется из соотношения:
$${\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2+{\chi }^2=1.$$

Компоненты угловой скорости тела по подвижным осям координат определяются согласно § 16 равенствами:
$$\begin{array}{rl}{\omega }_1& =2(\chi \dot{\xi }+\zeta \dot{\eta }-\eta \dot{\zeta }-\xi \dot{\chi }),\\ {\omega }_2& =2(-\zeta \dot{\xi }+\chi \dot{\eta }+\xi \dot{\zeta }-\eta \dot{\chi }),\\ {\omega }_3& =2(\eta \dot{\xi }-\xi \dot{\eta }+\chi \dot{\zeta }-\zeta \dot{\chi }).\end{array}$$

Так как колебания очень малы, то мы рассматриваем $\xi ,\eta ,\zeta$ как малые первого порядка. $\chi$ отличается от единицы на малую величину второго порядка, следовательно, с точностью до величин порядка выше первого:
$${\omega }_1=2\dot{\xi },{\omega }_2=2\dot{\eta },{\omega }_3=2\dot{\zeta }.$$

Кинетическая энергия тела, которая дается уравнением
$$T=\frac{1}{2}(A{\omega }_1^2+B{\omega }_2^2+C{\omega }_3^2),$$

где $A,B,C$ — главные моменты инерции точки опоры, может быть написана в виде:
$$T=2(A{\dot{\xi }}^2+B{\dot{\eta }}^2+C{\dot{\zeta }}^2).$$

Потенциальную энергию тела, являющуюся определенной функцией его положения, т. е. параметров $\xi ,\eta ,\zeta$, мы обозначим через $V(\xi ,\eta ,\zeta )$.

Так как положению равновесия соответствуют нулевые значения величин $\xi ,\eta ,\zeta$, то в разложение $V(\xi ,\eta ,\zeta )$ по возрастающим степеням $\xi ,\eta ,\zeta$ не должно входить линейных членов. Наинизшим членом будет, следовательно,
член второго порядка, так что, пренебрегая членами более высоких порядков, можем написать:
$$V=a{\xi }^2+b{\eta }^2+c{\zeta }^2+2f\eta \zeta +2g\zeta \xi +2h\xi \eta ,$$

где $a,b,c,f,h$ — некоторые постоянные.
Задача определения нормальных координат равносильна совместному приведению двух форм:
$$A{\xi }^2+B{\eta }^2+C{\zeta }^2,a{\xi }^2+b{\eta }^2+c{\zeta }^2+2f\eta \zeta +2g\zeta \xi +2h\xi \eta$$

к виду:
$$A_1{x}^2+B_1{y}^2+C_1{z}^2,a_1{x}^2+b_1{y}^2+c_1{z}^2,$$

где $x,y,z$ — некоторые линейные формы величий $\xi ,\eta ,\zeta$.
Уравнение эллипсоида инерции, отнесенного к неподвижной системе координат в его положении равновесия, имеет вид:
$$A{x}^2+B{Y}^2+C{Z}^2=1.$$

Рассмотрим одновременно поверхность второго порядка:
$$a{X}^2+b{Y}^2+c{Z}^2+2fYZ+2gZX+2hXY=1,$$

которую мы будем называть эллипсоидом равного потенциала, и определим общую систему сопряженных диаметров обоих эллипсоидов. Пусть $X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }$ — отнесенные к этим диаметрам координаты какой-нибудь точки, имеющей в неподвижной системе координаты $X,Y,Z$. Пусть зависимость между $X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }$ и $X,Y,Z$ устанавливается соотношениями:
$$\begin{array}{l}X=l_1{X}^{\prime }+m_1{Y}^{\prime }+n_1{Z}^{\prime },\\ Y=l_2{X}^{\prime }+m_2{Y}^{\prime }+n_2{Z}^{\prime },\\ Z=l_3{X}^{\prime }+m_3{Y}^{\prime }+n_3{Z}^{\prime }.\end{array}$$

Посредством этого преобразования уравнения эллипсоидов приводятся к виду:
$$A_1{X}^{\prime 2}+B_1{Y}^{\prime 2}+C_1{Z}^{\prime 2}=1,a_1{X}^{\prime 2}+b_1{Y}^{\prime 2}+c_1{Z}^{\prime 2}=1.$$

Следовательно, преобразованием, определяющим нормальные координаты, будет:
$$\begin{array}{l}\xi =l_{1}x+m_{1}y+n_{1}z,\\ \eta =l_{2}x+m_{2}y+n_{2}z,\\ \zeta =l_{3}x+m_{3}y+n_{3}z.\end{array}$$

Отсюда следует, что при нормальных колебаниях, при которых изменяется один лишь $x$, постоянно соблюдаются соотношения:
$$\xi :\eta :\zeta =l_1:l_2:l_3.$$

Но согласно определениям $\mathrm{\S }9$ величины $\xi ,\eta ,\zeta$ с точностью до величин порядка выше первого, очевидно, пропорциональны направляющим косинусам мгновенной оси вращения твердого тела. Следовательно, эти нормальные колебания представляют собой малые колебания около прямой
$$X:Y:Z=l_1:l_2:l_3,$$

т. е. около прямой
$$Y^{\prime }=0,Z^{\prime }=0,$$

являющейся общим сопряженным диаметром обоих эллипсоидов.
Таким образом: нормальные колебания тела представляют собой малые колебания около общих сопряженных диаметров эллипсоида инерции и эллипсоида равного потенциала.
4. Определить нормальные координаты и периоды нормальных колебаний системы с тремя степенями свободы, для которой
$$T=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2),V=\frac{1}{2}\{p^2(x^2+y^2)+2\alpha z(x+y)+q^2{z}^2\},$$

где $\alpha$ мало по сравнению с $p$ и $q$. Показать далее, что если система выведена из положения равновесия таким образом, что $y$ и $z$ вначале равны нулю, то по истечении промежутка времени $\pi p(q^2-p^2)/{\alpha }^{2}x$-колебание мгновенно прекращается, и тогда существует $y$-колебание, имеющее амплитуду первоначального $x$-колебания.

Эта форма кинетической и потенциальной энергий наводит на мысль ввести преобразование:
$$x+y=2\xi ,x-y=2\eta ,$$

которое дает:
$$T={\dot{\xi }}^2+{\dot{\eta }}^2+\frac{1}{2}{\dot{z}}^2,V=p^2{\xi }^2+p^2{\eta }^2+2\alpha z\xi +\frac{1}{2}{q}^2{z}^2.$$

Переменная $\eta$ есть, следовательно, нормальная координата. Для приведения остальных членов кинетической и потенциальной энергий к суммам квадратов, полагаем:
$$z=\zeta -\frac{2\alpha }{q^2-p^2}\phi ,\xi =\phi +\frac{\alpha }{q^2-p^2}\zeta$$

и тогда получим:
$$\begin{array}{l}T={\dot{\eta }}^2+\{1+\frac{2{\alpha }^2}{{(q^2-p^2)}^2}\}{\dot{\phi }}^2+\frac{1}{2}\{1+\frac{2{\alpha }^2}{{(q^2-p^2)}^2}\}{\dot{\zeta }}^2,\\ V=p^2{\eta }^2+\{p^2-\frac{{\alpha }^2(2q^2-4p^2)}{{(q^2-p^2)}^2}\}{\phi }^2+\frac{1}{2}\{q^2+\frac{(4q^2-2p^2){\alpha }^2}{{(q^2-p^2)}^2}\}{\zeta }^2.\end{array}$$

Переменные $\eta ,\phi ,\zeta$ будут, следовательно, нормальными координатами. Пусть в начальный момент
$$\begin{array}{l}x=k,y=0,z=0,\\ \dot{x}=0,\dot{y}=0,\dot{z}=0\end{array}$$

и $k$ настолько мало, что можно пренебречь его произведением на какиелибо другие малые величины. При этой степени приближения вначале будем иметь:
$$\eta =\frac{1}{2}k,\phi =\frac{1}{2}k,\zeta =0.$$

Поэтому колебания для нормальных координат $\eta ,\phi$ определятся уравнениями:
$$\eta =\frac{1}{2}k\cos pt,\phi =\frac{1}{2}k\cos \left[t{\left\{\frac{p^2-\frac{{\alpha }^2(2q^2-4p^2)}{{(q^2-p^2)}^2}}{1+\frac{2{\alpha }^2}{{(q^2-p^2)}^2}}\right\}}^{\frac{1}{2}}\right].$$

Последнему уравнению можно придать вид:
$$\phi =\frac{1}{2}k\cos \left[pt\{1-\frac{{\alpha }^2}{p^2(q^2-p^2)}\}\right]$$

или
$$\phi =\frac{1}{2}k\cos pt\cos \frac{{\alpha }^{2}t}{p(q^2-p^2)}+\frac{1}{2}k\sin pt\sin \frac{{\alpha }^{2}t}{p(q^2-p^2)}.$$

Следовательно, начальное движение может быть приближенно представлено уравнениями:
$$\eta =\frac{1}{2}k\cos pt,\phi =\frac{1}{2}k\cos pt$$

или
$$x=k\cos pt,y=0.$$

По истечении промежутка времени $\frac{\pi p(q^2-p^2)}{{\alpha }^2}$ движение приближенно представится уравнениями:
$$\eta =\frac{1}{2}k\cos pt,\phi =-\frac{1}{2}k\cos pt$$

или
$$x=0,y=-k\cos pt,$$

что и доказывает наше предложение.