В качестве дальнейшего примера рассмотрим движение двух свободных точек с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущихся под действием сил взаимного притяжения или отталкивания, направленных по линии, соединяющей обе точки, и зависящих только от расстояния между точками.

Система имеет шесть степеней свободы, так как прямоугольные координаты каждой точки могут принимать какие угодно значения. В качестве шести координат системы примем координаты $X, Y, Z$ центра тяжести обеих точек, отнесенные к неподвижной системе осей, и координаты $x, y, z$ точки $m_{2}$ относительно подвижных осей, имеющих начало в точке $m_{1}$, и направленных параллельно неподвижным осям.

Координаты точек $m_{1}$ и $m_{2}$ относительно неподвижных осей соответственно равны:
\[
\begin{array}{lll}
X-\frac{m_{2} x}{m_{1}+m_{2}}, & Y-\frac{m_{2} y}{m_{1}+m_{2}}, & Z-\frac{m_{2} z}{m_{1}+m_{2}}, \\
X+\frac{m_{1} x}{m_{1}+m_{2}}, & Y+\frac{m_{1} y}{m_{1}+m_{2}}, & Z+\frac{m_{1} z}{m_{1}+m_{2}} .
\end{array}
\]

Отсюда для кинетической энергии системы получаем:
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} m_{1}\left(\dot{X}-\frac{m_{2} \dot{x}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}+\frac{1}{2} m_{1}\left(\dot{Y}-\frac{m_{2} \dot{y}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}+ \\
& +\frac{1}{2} m_{1}\left(\dot{Z}-\frac{m_{2} \dot{z}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}+\frac{1}{2} m_{2}\left(\dot{X}+\frac{m_{1} \dot{x}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}+ \\
& +\frac{1}{2} m_{2}\left(\dot{Y}+\frac{m_{1} \dot{y}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}+\frac{1}{2} m_{2}\left(\dot{Z}+\frac{m_{1} \dot{z}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}
\end{aligned}
\]

или
\[
T=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\dot{X}^{2}+\dot{Y}^{2}+\dot{Z}^{2}\right)+\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right) .
\]

Так как потенциальная энергия системы зависит только от расстояния между точками, то она может быть выражена как функция от $x, y, z$. Обозначим ее через $V(x, y, z)$.
Уравнениями Лагранжа для движения системы будут:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{X}=0, \quad \ddot{Y}=0, \quad \ddot{Z}=0, \\
\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \ddot{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}, \quad \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \ddot{y}=-\frac{\partial V}{\partial y}, \quad \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \ddot{z}=-\frac{\partial V}{\partial z} .
\end{array}
\]

Первые три уравнения показывают, что центр тяжести движется прямолинейно и равномерно. Из последних трех уравнений вытекает, что точка $m_{2}$ движется относительно точки $m_{1}$ так, как если бы точка $m_{1}$ была неподвижна и притягивала точку $m_{2}$ с силой, для которой потенциальная энергия равна $\frac{m_{1}+m_{2}}{m_{1}} V .{ }^{1}$
ЗАДАчА 1. Если две свободные точки движутся под действием сил взаимного притяжения, то касательные к их траекториям пересекают любую неподвижную плоскость в двух точках, обладающих тем свойством, что прямая, их соединяющая, все время проходит через неподвижную точку.