Пусть требуется найти потенциальную функцию, при которой заданное на поверхности семейство кривых
${ }^{1}$ Возможность еще и других случаев исследовал Дарбу (Darboux, Bull. de la Soc. Math. de France, т. 5. 1877).
есть семейство возможных траекторий материальной точки, вынужденной оставаться на этой поверхности. Три прямоугольных координаты точки на поверхности можно выразить в функции двух параметров $u, v$, так что линейный элемент на поверхности представится в виде:
\[
d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2}
\]
где $E, F, G$ – известные функции $u, v$. Семейство кривых, описываемых точкой под действием искомых сил, пусть задано уравнением
\[
q(u, v)=\text { const },
\]
и пусть
\[
p(u, v)=\mathrm{const}
\]
есть принадлежащая этому семейству кривых семейство ортогональных траекторий. Тогда вместо $u, v$ в качестве параметров поверхности можно принять $p$ и $q$. С помощью этих параметров линейный элемент можно представить в форме:
\[
d s^{2}=E^{\prime} d q^{2}+G^{\prime} d p^{2} .
\]
Член, содержащий $d p d q$, выпадает, так как кривые $p=$ const и $q=$ const пересекаются под прямым углом. $E^{\prime}$ и $G^{\prime}$ – известные функции $p$ и $q$.
Кинетическая энергия точки, движущейся на поверхности, есть
\[
T=\frac{1}{2}\left(E^{\prime} \dot{q}^{2}+G^{\prime} \dot{p}^{2}\right) .
\]
Поэтому уравнения движения Лагранжа будут иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(E^{\prime} \dot{q}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial E^{\prime}}{\partial q} \dot{q}^{2}+\frac{\partial G^{\prime}}{\partial q} \dot{p}^{2}\right)=-\frac{\partial V}{\partial q}, \\
\frac{d}{d t}\left(G^{\prime} \dot{p}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial E^{\prime}}{\partial p} \dot{q}^{2}+\frac{\partial G^{\prime}}{\partial p} \dot{p}^{2}\right)=-\frac{\partial V}{\partial p},
\end{array}
\]
где $V$ – неизвестная потенциальная функция. Эти уравнения должны удовлетворяться при $\dot{q}=0$; следовательно, они приводятся к виду:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \frac{\partial G^{\prime}}{\partial q} \dot{p}^{2} & =\frac{\partial V}{\partial q}, \\
\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial q}\left(G^{\prime} \dot{p}^{2}\right) & =-\frac{\partial V}{\partial p} .
\end{aligned}
\]
Отсюда, исключая $\dot{p}^{2}$, найдем:
\[
\frac{\partial}{\partial p}\left(G^{\prime} \frac{\partial V}{\partial q}: \frac{\partial G^{\prime}}{\partial q}\right)+\frac{\partial V}{\partial p}=0 .
\]
Интеграция этого уравнения дает:
\[
G^{\prime} \frac{\partial V}{\partial q}: \frac{\partial G^{\prime}}{\partial q}+V=f(q),
\]
где $f$ – произвольная функция или
\[
\frac{\partial}{\partial q}\left(V G^{\prime}\right)=\frac{\partial G^{\prime}}{\partial q} f(q),
\]
а поэтому
\[
V=\frac{g(p)}{G^{\prime}}+\frac{1}{G^{\prime}} \int \frac{\partial G^{\prime}}{\partial q} f(q) d q,
\]
где $g$ – также произвольная функция.
Величина $\frac{1}{G^{\prime}}$ есть дифференциальный параметр первого порядка $\Delta_{1}(p)^{1}$ функции $p$. Получаем, таким образом, теорему Жуковского, высказанную им в 1890 г.:
Если $q=$ const есть семейство кривых на поверхности, а $p=$ const
– семейство их ортогональных траекторий, то кривые $q=$ const суть возможные траектории материальной точки на поверхности, если сила, действующая на точку, допускает потенциал
\[
V=\Delta_{1}(p) g(p)+\Delta_{1}(p) \int f(q) \frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{1}{\Delta_{1}(p)}\right) d q,
\]
где $f$ и означают произвольные функции, $а \Delta_{1}$ есть дифференциальный параметр первого порядка.
Написанное выше уравнение дает:
\[
\frac{1}{2} \dot{p}^{2}=\frac{\partial V}{\partial q}: \frac{\partial G^{\prime}}{\partial q}=-\frac{1}{G^{\prime}} V+\frac{f(q)}{G^{\prime}} .
\]
Поэтому уравнением энергии движения будет:
\[
\frac{1}{2} G^{\prime} \dot{p}^{2}+V=f(q) .
\]
${ }^{1} \mathrm{Ecли} \mathrm{линейный} \mathrm{элемент} \mathrm{на} \mathrm{поверхности} \mathrm{задан} \mathrm{в} \mathrm{виде:}$
\[
d s^{2}=E d u^{2}+2 F d u d v+G d v^{2},
\]
то первый дифференциальный параметр функции $\varphi(u, v)$ определяется так:
\[
\Delta_{1}(\varphi)=\frac{1}{E G-F^{2}}\left\{E\left(\frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)^{2}-2 F \frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \varphi}{\partial v}+G\left(\frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)^{2}\right\} .
\]
Дифференциальный параметр есть инвариант поверхности, т. е. при переходе от переменных $u, v$ к новым переменным $u^{\prime}, v^{\prime}$ дифференциальный параметр преобразовывается в выражение, составленное по тому же способу из новых переменных $u^{\prime}, v^{\prime}$ с соответствующими коэффициентами $E^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime}$.
