В предыдущем параграфе мы выразили $\vartheta$ как функцию времени; остается определить теперь другие углы Эйлера: $\varphi$ и $\psi$. С этой целью мы воспользуемся обоими интегралами, соответствующими циклическим координатам $\varphi$ и $\psi$. Решение этих интегралов относительно $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$ дает:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\varphi}=\frac{a-b \cos \vartheta}{A \sin ^{2} \vartheta}, \\
\dot{\psi}=\frac{b}{C}-\frac{(a-b \cos \vartheta) \cos \vartheta}{A \sin ^{2} \vartheta} .
\end{array}
\]

Из полученных уравнений для $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$ и уравнения для $\dot{\vartheta}$ мы видим, что если рассматривать движения в зависимости от постоянных $M, A, C, h$ и постоянных интегрирования $a, b, c$, то постоянная $C$ входит только в постоянный член выражения для $\dot{\psi}$. Отсюда следует, что вспомогательному волчку с моментами инерции $A, A, A$ мы можем придать такое движение, чтобы его ось симметрии постоянно совпадала с осью симметрии заданного волчка. Единственное различие в движениях обоих волчков будет заключаться в том, что вспомогательный волчок будет обладать дополнительной постоянной угловой скоростью $\frac{b(C-A)}{A C}$ вокруг своей оси симметрии. Такого рода волчок с равными моментами инерции называется шаровым. Следовательно, движение всякого волчка может быть легко представлено как движение некоторого шарообразного волчка. Мы можем, следовательно, не нарушая общности рассуждений, вместо произвольного волчка всегда рассматривать волчок шарообразный.

Полагая в силу вышесказанного $C=A$ для определения $\varphi$ и $\psi$ получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\varphi}=\frac{a-b \cos \vartheta}{A \sin ^{2} \vartheta}=\frac{a+b}{2 A(\cos \vartheta+1)}-\frac{a-b}{2 A(\cos \vartheta-1)}, \\
\dot{\psi}=\frac{b-a \cos \vartheta}{A \sin ^{2} \vartheta}=\frac{a+b}{2 A(\cos \vartheta+1)}+\frac{a-b}{2 A(\cos \vartheta-1)} .
\end{array}
\]

Заменяя $\cos \vartheta$ его значением из уравнения
\[
\cos \vartheta=\frac{2 A}{M g h} \wp\left(t+\omega_{3}\right)+\frac{2 A c+b^{2}}{6 A M g h}
\]

и полагая
\[
\begin{array}{c}
\wp(l)=\frac{M g h}{2 A}-\frac{2 A c+b^{2}}{12 A^{2}}, \\
\wp(k)=-\frac{M g h}{2 A}-\frac{2 A c+b^{2}}{12 A^{2}},
\end{array}
\]

так что $l$ и $k$ являются известными мнимыми постоянными (они равны значениям $t+\omega_{3}$, соответствующим $\vartheta=0$ и $\vartheta=\pi$ ), мы приведем эти уравнения к виду:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\varphi}=\frac{M g h(a+b)}{4 A^{2}} \cdot \frac{1}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)}-\frac{M g h(a-b)}{4 A^{2}} \cdot \frac{1}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(l)}, \\
\dot{\psi}=\frac{M g h(a+b)}{4 A^{2}} \cdot \frac{1}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)}+\frac{M g h(a-b)}{4 A^{2}} \cdot \frac{1}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(l)} .
\end{array}
\]

Постоянные коэффициенты, стоящие в правых частях полученных уравнений, могут быть выражены через значения производной от функции $\wp$. Для этого мы установим зависимость между функцией $\wp$ и ее производной. Эта зависимость легко устанавливается, если значение $x$ из уравнения:
\[
x=\frac{2 A}{M g h} \wp\left(t+\omega_{3}\right)+\frac{2 A c+b^{2}}{6 A M g h}
\]

подставить в уравнение:
\[
A^{2}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}=-(a-b x)^{2}-2 A M g h\left(x-x^{3}\right)+2 A c\left(1-x^{2}\right) .
\]

Если $k$ принять за аргумент функции $\wp$, то из определения $k$ вытекает, что соответствующее значение $x$ равно -1. Поэтому последнее уравнение дает:
\[
A^{2}\left\{\frac{2 A \wp^{\prime}(k)}{M g h}\right\}^{2}=-(a+b)^{2}
\]

или
\[
\wp^{\prime}(k)=\frac{i M g h(a+b)}{2 A^{2}} .
\]

Аналогично получим:
\[
\wp^{\prime}(l)=\frac{i M g h(a-b)}{2 A^{2}} .
\]

Поэтому уравнения для $\varphi$ и $\psi$ могут быть записаны в форме:
\[
\begin{aligned}
2 i \dot{\varphi} & =\frac{\wp^{\prime}(k)}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)}-\frac{\wp^{\prime}(l)}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(l)}, \\
2 i \dot{\psi} & =\frac{\wp^{\prime}(k)}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)}+\frac{\wp^{\prime}(l)}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(l)} .
\end{aligned}
\]

Но
\[
\frac{\wp^{\prime}(k)}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)}
\]

есть эллиптическая функция, полюсы которой в каждом параллелограмме периодов конгруэнтны значениям $t= \pm k-\omega_{3}$. Соответствующие вычеты равны 1 и -1 ; функция имеет нули при $t+\omega_{3}=0$. Поэтому
\[
\frac{\wp^{\prime}(k)}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)}=\zeta\left(t+\omega_{3}-k\right)-\zeta\left(t+\omega_{3}+k\right)+2 \zeta(k)
\]

и, следовательно,
\[
\int \frac{\wp^{\prime}(k) d t}{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)}=\ln \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}-k\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}+k\right)}+2 \zeta(k) t+\text { const. }
\]

Поэтому интегралы уравнений для $\varphi$ и $\psi$ могут быть записаны в форме:
\[
\begin{aligned}
e^{2 i\left(\varphi-\varphi_{0}\right)} & =\frac{\sigma\left(t+\omega_{3}-k\right) \sigma\left(t+\omega_{3}+l\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}+k\right) \sigma\left(t+\omega_{3}-l\right)} e^{2\{\zeta(k)-\zeta(l)\} t}, \\
e^{2 i\left(\psi-\psi_{0}\right)} & =\frac{\sigma\left(t+\omega_{3}-k\right) \sigma\left(t+\omega_{3}-l\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}+k\right) \sigma\left(t+\omega_{3}+l\right)} e^{2\{\zeta(k)+\zeta(l)\} t},
\end{aligned}
\]

где $\varphi_{0}$ и $\psi_{0}$ – постоянные интегрирования.

Эти уравнения приводят к простым выражениям для параметров Кэли-Клейна $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ (§12), определяющих положение подвижных осей $O x y z$ относительно неподвижных осей $O X Y Z$. Ибо согласно определению:
\[
\begin{array}{ll}
\alpha=\cos \frac{1}{2} \vartheta \cdot e^{\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)}, & \beta=i \sin \frac{1}{2} \vartheta \cdot e^{\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)}, \\
\gamma=i \sin \frac{1}{2} \vartheta \cdot e^{\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)}, & \delta=\cos \frac{1}{2} \vartheta \cdot e^{-\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)} ;
\end{array}
\]

но, с другой стороны,
\[
\begin{array}{c}
\cos ^{2} \frac{1}{2} \vartheta=+\cos \vartheta=1+\frac{2 A}{M g h} \wp\left(t+\omega_{3}\right)+\frac{2 A c+b^{2}}{6 A M g h}= \\
=\frac{2 A}{M g h}\left\{\wp\left(t+\omega_{3}\right)-\wp(k)\right\}=-\frac{2 A}{M g h} \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}+k\right) \sigma\left(t+\omega_{3}-k\right)}{\sigma^{2}(k) \sigma^{2}\left(t+\omega_{3}\right)}
\end{array}
\]

или
\[
\cos \frac{1}{2} \vartheta=\left(\frac{-A}{M g h}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{\left\{\sigma\left(t+\omega_{3}+l\right) \sigma\left(t+\omega_{3}-l\right)\right\}^{\frac{1}{2}}}{\sigma(l) \sigma\left(t+\omega_{3}\right)}
\]

и аналогично:
\[
\sin \frac{1}{2} \vartheta=\left(\frac{A}{M g h}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{\left\{\sigma\left(t+\omega_{3}+l\right) \sigma\left(t+\omega_{3}-l\right)\right\}^{\frac{1}{2}}}{\sigma(l) \sigma\left(t+\omega_{3}\right)} .
\]

Поэтому, комбинируя эти уравнения с найденными выражениями для $e^{2 i \varphi}$ и $e^{2 i \psi}$, найдем:
\[
\begin{aligned}
\alpha & =\left(\frac{-A}{M g h}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e^{\frac{1}{2} i\left(\varphi_{0}+\psi_{0}\right)}}{\sigma(k)} \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}-k\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}\right)} e^{t \zeta(k)}, \\
\beta & =\left(\frac{-A}{M g h}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e^{\frac{1}{2} i\left(\varphi_{0}-\psi_{0}\right)}}{\sigma(l)} \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}+l\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}\right)} e^{-t \zeta(l)}, \\
\gamma & =\left(\frac{-A}{M g h}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e^{\frac{1}{2} i\left(\psi_{0}-\varphi_{0}\right)}}{\sigma(l)} \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}-l\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}\right)} e^{t \zeta(l)}, \\
\delta & =\left(\frac{-A}{M g h}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{e^{-\frac{1}{2} i\left(\varphi_{0}+\psi_{0}\right)}}{\sigma(k)} \frac{\sigma\left(t+\omega_{3}+k\right)}{\sigma\left(t+\omega_{3}\right)} e^{-t \zeta(k)} .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения дают выражения параметров $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ как функция времени.

ЗАДАчА 1. Волчок массы $M$ движется вокруг закрепленной точки своей оси симметрии. Моменты инерции относительно оси симметрии и относительно перпендикулярной к ней прямой, проходящей через точку опоры, равны соответственно $C$ и $A$. Центр тяжести находится на расстоянии $h$ от точки опоры. Волчок приводится в положение, при котором угол, образованный его осью и направленной вниз вертикалью, равен $\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ и ему сообщают угловую скорость $\frac{\sqrt{A M g h \sqrt{3}}}{C}$ вокруг его оси. Показать, что ось, если ее пустить, опишет конус
\[
\sin ^{2} \vartheta \sin 2 \varphi=\left(-\cos \vartheta-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{3}{2}}(-\cos \vartheta+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}
\]

или
\[
\sin ^{2} \vartheta \sin 2 \varphi=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \sqrt[4]{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \vartheta\right)^{\frac{1}{2}},
\]

где $\varphi$ – азимут, а $\vartheta$ – угол наклона оси волчка относительно направленной вверх вертикали. (Camt. Math. Tripos, часть I, 1894.)
В рассматриваемом случае начальные значения равны:
\[
\cos \vartheta=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \varphi=0, \quad \dot{\vartheta}=0, \quad \dot{\varphi}=0, \quad \dot{\psi}=\frac{\sqrt{A M g h \sqrt{3}}}{C} .
\]

Они дают:
\[
a=-\frac{\sqrt{A M g h}}{\sqrt[4]{3}}, \quad b=\sqrt[4]{3} \sqrt{A M g h}, \quad C=-M g h \sqrt{3} .
\]

Подставляя эти значения в общее дифференциальное уравнение для $\vartheta$, т. е. в уравнение
\[
\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}=-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-M g h \cos \vartheta+c,
\]

получим:
\[
A \dot{\vartheta}^{2} \sin ^{2} \vartheta=-M g h\left(\cos \vartheta+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(\sqrt{3}+2 \cos \vartheta)(-\cos \vartheta+\sqrt{3}) .
\]

Уравнение
\[
\dot{\varphi}=\frac{a-b \cos \vartheta}{A^{2} \sin ^{2} \vartheta}
\]

дает:
\[
\dot{\varphi}=-\sqrt{\frac{M g h \sqrt{3}}{A}} \cdot \frac{\cos \vartheta+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sin ^{2} \vartheta} .
\]

Деля это уравнение на квадратный корень из предыдущего, получим:
\[
\varphi=3^{\frac{1}{4}} \int\left(-\cos \vartheta-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{1}{2}}(\sqrt{3}+2 \cos \vartheta)^{-\frac{1}{2}}(-\cos \vartheta+\sqrt{3})^{-\frac{1}{2}} \frac{d \vartheta}{\sin \vartheta}
\]

или
\[
\varphi=3^{\frac{1}{4}} \int\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{1}{2}}(\sqrt{3}-2 x)^{-\frac{1}{2}}(x+\sqrt{3})^{-\frac{1}{2}}\left(1-x^{2}\right)^{-1} d x,
\]

где $x=-\cos \vartheta$.
Полагая теперь
\[
u=\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{3}{2}}(x+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-x\right)^{-\frac{1}{2}},
\]

дифференцируя, получим:
\[
\frac{d u}{d x}=\frac{3}{2}\left(1-x^{2}\right)\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{1}{2}}(x+\sqrt{3})^{-\frac{1}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-x\right)^{-\frac{3}{2}}
\]

и
\[
1+\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8} u^{2}=\frac{3^{\frac{3}{2}}\left(1-x^{2}\right)^{2}}{8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-x\right)} .
\]

Поэтому имеем:
\[
\varphi=\frac{3^{\frac{3}{4}}}{4 \sqrt{2}} \int \frac{d u}{1+\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8} u^{2}}
\]

или
\[
2 \varphi=\operatorname{arctg}\left(3^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{2}} u\right)
\]

или
\[
\operatorname{tg} 2 \varphi=3^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{-\frac{3}{2}}\left(-\cos \vartheta-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{\frac{3}{2}}(-\cos \vartheta+\sqrt{3})^{\frac{1}{2}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\cos \vartheta\right)^{-\frac{1}{2}},
\]

что эквивалентно высказанному выше положению.
ЗАДАчА 2. Показать, что логарифмы параметров Кэли-Клейна, рассматриваемые как функции $t$, представляют эллиптические интегралы третьего рода.

Задачд 3. Вывести выражения параметров Кэли-Клейна как функций времени, показав, что они удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида:
\[
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Y y=0,
\]

где $Y$ есть некоторая двоякопериодическая функция времени. Эти уравнения принадлежат к типу уравнений Эрмита-Ламэ и, следовательно, могут быть проинтегрированы при помощи эллиптических функций второго рода.

Одним из простых видов движения волчка является такое движение, при котором ось волчка сохраняет постоянный наклон по отношению к вертикали. При таком так называемом стационарном движении величины $\dot{\vartheta}$ и $\ddot{\vartheta}$ равны постоянно нулю. Так как
\[
\frac{1}{2} A \dot{\vartheta}^{2}=-\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}-M g h \cos \vartheta+c,
\]

To
\[
0=\frac{d}{d \vartheta}\left\{\frac{(a-b \cos \vartheta)^{2}}{2 A \sin ^{2} \vartheta}+M g h \cos \vartheta\right\}
\]

По выполнении дифференцирования и замене величины $a-b \cos \vartheta$ ее значением $A \dot{\varphi} \sin ^{2} \vartheta$ получим:
\[
0=-b \dot{\varphi}+A \dot{\varphi}^{2} \cos \vartheta+M g h .
\]

Это уравнение диет зависимость между постоянными $\dot{\varphi}, \vartheta$ и $b$ (из которых последняя зависит от скорости вращения волчка вокруг его оси) при стационарном движении.