1. Формулировка теоремы. Мы видели ( $\S 155$ ), что уравнения движения в задаче трех тел допускают десять интегралов: шесть интегралов движения центра тяжести, три интеграла моментов количества движения и интеграл энергии. Все эти так называемые классические интегралы являются алгебрачческими, т. е. имеют вид:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{9}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{9}, t\right)=\text { const },
\]

где $f$ означает алгебраическую функцию координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{9}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{9}$ и времени $t$.

Было сделано много неудачных попыток найти еще и другие алгебраические интегралы задачи трех тел, не зависящие от этих десяти. И вот в 1887 г. Брунс ${ }^{1}$ доказал, что таких интегралов больше не существует. Другими словами: Классические интегралы являются единственными независимыми алгебраческими интегралами задачи трех тел.

Следует заметить ${ }^{2}$, что несуществование алгебраических интегралов не обусловливает обязательно большой сложности уравнений. Одно из наиболее простых дифференциальных уравнений – линейное уравнение с постоянными коэффициентами:
\[
\ddot{x}-\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right) \dot{x}+\mu_{1} \mu_{2} x=0
\]

не имеет алгебраических интегралов, за исключением того случая, когда $\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}$ – рациональное число. В последнем случае уравнение имеет первый интеграл:
\[
\frac{\left(\dot{x}-\mu_{2} x\right)^{\mu_{2}}}{\left(\dot{x}-\mu_{1} x\right)^{\mu_{1}}}=\mathrm{const},
\]

который может быть преобразован в алгебраический.
2. Представление интегралов каю функций координат § 160. Мы переходим теперь к доказательству теоремы Брунса, рассматривая сначала только такие интегралы, которые не содержат явно времени.
${ }^{1}$ Berichte der Kgl. Sächs. Ges. d. Wiss., стр. 1, 55, 1887; Acta Math., т. 11, стр. 25; см. также Forsyth, Theory of Differential Equations, т. 3, гл. 17, 1900.
${ }^{2}$ Cм. Bohlin, Astron. lakttagelser och Undres. a Stockholms Observ., т. 9, № 1, 1908.

\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

где
\[
\begin{aligned}
H & =T-U \\
T & =\frac{1}{2 \mu}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2 \mu^{\prime}}\left(p_{4}^{2}+p_{5}^{2}+p_{6}^{2}\right) \\
U & =m_{1} m_{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}+m_{1} m_{2}\left\{q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}+\right. \\
& \left.+\frac{2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)+\left(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}}+ \\
& +m_{2} m_{3}\left\{q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}-\frac{2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)+\right. \\
& \left.+\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)\right\}^{-\frac{1}{2}}, \\
\mu & =\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}, \quad \mu^{\prime}=\frac{m_{3}\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} .
\end{aligned}
\]

Обозначим
\[
\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}=\mu, \quad \mu_{4}=\mu_{5}=\mu_{6}=\mu^{\prime} ;
\]

тогда
\[
T=\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}^{2}}{2 \mu_{r}} .
\]

Пусть координатами трех тел соответственно будут $\left(q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}\right)$, $\left(q_{4}^{\prime}, q_{5}^{\prime}, q_{6}^{\prime}\right),\left(q_{7}^{\prime}, q_{8}^{\prime}, q_{9}^{\prime}\right)$ и пусть $m_{k} \dot{q}_{r}^{\prime}=p_{r}^{\prime}$, где $k$ означает наибольшее число, удовлетворяющее условию $k \leqslant \frac{1}{3}(r+2)$. Интегралы, существование которых мы исследуем, имеют вид:
\[
\varphi\left(q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{9}^{\prime}, p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{9}^{\prime}\right)=a,
\]

где $a$ – произвольная постоянная, а $\varphi$ означает алгебраическую функцию от ее аргументов. Формулы § 160 дают возможность выразить $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{9}^{\prime}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{9}$ как линейные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{9}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{9}$. Если мы эти функции подставим в интеграл, то мы получим уравнение:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}\right)=a .
\]

Если интеграл $\varphi$ складывается из интегралов движения центра тяжести, то функция $f$ приведется, очевидно, к постоянной. В противном случае $f$ есть алгебраическая функция переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots$, $p_{6}$. Нам предстоит, следовательно, исследовать, допускают ли уравнения (1) интегралы вида (2).
3. Интегралы содержат импульсы. Покажем сначала, что интеграл вида (2) необходимо содержит величины $p$, т. е. что он не может являться функцией одних лишь величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$.
В самом деле, допустим, что интеграл
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}\right)=a
\]

не содержит ни одной из величин $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$. Дифференцирование по $t$ дает:
\[
0=\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial f}{\partial q_{r}} \dot{q}_{r}=\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial f}{\partial q_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} .
\]

Поэтому должны выполняться тождественно уравнения:
\[
\frac{\partial f}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, 6) .
\]

Следовательно, $f$ не содержит также $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$, т. е. сводится к постоянной.
4. Интеграл содержит только одно иррациональное выражение. Так как взаимные расстояния тел являются иррациональными функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$, то и $U$ также является иррациональной функцией этих переменных. Но если обозначить через $s$ сумму всех трех взаимных расстояний, то, как это нетрудно видеть, все эти расстояния могут быть выражены как рациональные функции семи величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, s$. Другими словами, иррациональности, входящие в расстояния, могут быть выражены через одну иррациональность $s$. Поэтому мы можем принять, что $U$ есть рациональная функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, s$.

Что касается функции $f$, то она, являясь алгебраической относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}$, не является обязательно рациональной. Приведем уравнение (2) к рациональному виду и расположим его до степеням $a$. Будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
a^{m}+a^{m-1} \varphi_{1}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)+ \\
\quad+a^{m-2} \varphi_{2}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)+\cdots+ \\
\quad+\varphi_{m}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)=0,
\end{array}
\]

где $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{m}$ суть некоторые рациональные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}$. Если левая часть этого уравнения приводима в переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$, т. е. может быть разложена на множители вида:
\[
\begin{array}{l}
a^{l}+a^{l-1} \psi_{1}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s\right)+\cdots+ \\
\quad+\psi_{l}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s\right)=0
\end{array}
\]

где $\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{l}$ суть некоторые рациональные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$, то одно из этих уравнений дает то значение $a$, которое соответствует уравнению (2), и мы можем рассматривать это уравнение вместо уравнения (3). Так как уравнения вида (4) содержат как частный случай уравнения вида (3), то мы можем принять, что значение $a$ определяется посредством $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$ неприводимым уравнением вида (4).

Дифференцируя (4) по $t$ и принимая во внимание уравнения (1), будем иметь:
\[
a^{l-1}\left(\psi_{1}, H\right)+a^{l-2}\left(\psi_{2}, H\right)+\cdots+\left(\psi_{l}, H\right)=0,
\]

где, как обычно, $\left(\psi_{r}, H\right)$ означают скобки Пуассона от $\psi_{r}^{\prime}$ и $H$.
Примем сначала, что выражения $\left(\psi_{r}, H\right)$, являющиеся рациональными функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$, не обращаются в нуль одновременно. Тогда уравнения (4) и (5) должны иметь по крайней мере один общий корень $a$; вследствие этого уравнение (4) в переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$ будет приводимым. Но так как это уравнение не приводимо, то исходное предположение приводит к противоречию. Выражения $\left(\psi_{r}, H\right.$ ) должны, следовательно, равняться нулю. Это значит, что все коэффициенты уравнения (4) являются интегралами уравнения (1). Интеграл $f$ может быть алгебраически выражен через другие интегралы, являющиеся рациональными функциями oт $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$.
5. Интеграл есть частное двух алгебраических полиномов. Теперь мы уже можем ограничиться рассмотрением интегралов вида:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s\right)=a,
\]

где $f$ означает рациональную функцию указанных аргументов. Вид функции $f$ может быть выяснен еще более точно при помощи следующих рассуждений. Если в уравнениях движения заменить величины $q_{r}, p_{r}, t$ величинами $q_{r} k^{2}, p_{r} k^{-1}, t k^{2}$, где $k$ – некоторая постоянная, то эти уравнения не изменяются. Поэтому если эту подстановку сделать в уравнение (6), то это уравнение, как бы ни было выбрано $k$, останется интегралом системы.

Но $f$ есть рациональная функция аргументов и поэтому может быть представлена как дробь двух полиномов относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$. Если в этих полиномах заменить величины $q_{r}, p_{r}, s$ величинами $q_{r} k^{2}, p_{r} k^{-1}, s k^{2}$, то функция $f$ после умножения числителя и знаменателя на подходящую степень $k$ примет вид:
\[
f=\frac{A_{0} k^{p}+A_{1} k^{p-1}+\cdots+A_{p}}{B_{0} k^{q}+B_{1} k^{q-1}+\cdots+B_{q}},
\]

где $A_{0}, A_{1}, \ldots, B_{q}$ суть некоторые полиномы относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$. Так как $\frac{d f}{d t}$, то имеем:
\[
\begin{array}{c}
\left(B_{0} k^{q}+B_{1} k^{q-1}+\cdots+B_{q}\right)\left(\frac{d A_{0}}{d t} k^{p}+\cdots+\frac{d A_{p}}{d t}\right)- \\
-\left(A_{0} k^{p}+A_{1} k^{p-1}+\cdots+A_{p}\right)\left(\frac{d B_{0}}{d t} k^{q}+\cdots+\frac{d B_{q}}{d t}\right)=0 .
\end{array}
\]

Но величина $k$ – произвольная; поэтому в этом уравнении должны обращаться в нуль все коэффициенты при отдельных степенях $k$. Имеем, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
0=B_{0} \frac{d A_{0}}{d t}-A_{0} \frac{d B_{0}}{d t} \\
0=B_{1} \frac{d A_{0}}{d t}+B_{0} \frac{d A_{1}}{d t}-A_{1} \frac{d B_{0}}{d t} A_{0} \frac{d B_{1}}{d t}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
0=B_{q} \frac{d A_{p}}{d t}-A_{p} \frac{d B_{q}}{d t}
\end{array}
\]

Эти $q+p+1$ уравнений равносильны системе:
\[
\frac{1}{A_{0}} \frac{d A_{0}}{d t}=\frac{1}{A_{1}} \frac{d A_{1}}{d t}=\cdots=\frac{1}{A_{p}} \frac{d A_{p}}{d t}=\frac{1}{B_{0}} \frac{d B_{0}}{d t}=\cdots=\frac{1}{B_{q}} \frac{d B_{q}}{d t},
\]

откуда вытекает, что каждая из величин
\[
\frac{A_{1}}{A_{0}}, \frac{A_{2}}{A_{0}}, \ldots, \frac{A_{p}}{A_{0}}, \frac{B_{0}}{A_{0}}, \ldots, \frac{B_{q}}{A_{0}}
\]

является интегралом. Мы получили таким образом теорему: каждый интеграл вида $f$ может быть составлен из интегралов вида:
\[
\frac{G_{2}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s\right)}{G_{1}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s\right)}=\text { const },
\]

в котором каждая из функций $G_{1}, G_{2}$ является полиномом относительно своих аргулентов, которые лишь умножаются на некоторую степень $k$, если переменные $q_{r}, p_{r}, s$ заменить соответственно через $q_{r} k^{2}, p_{r} k^{-1}, s k^{2}$. Мы можем, следовательно, ограничиться рассмотрением интегралов только такого вида.

Далее, заметим, что функции $G_{1}$ и $G_{2}$ без ограничения общности рассуждений могут быть приняты действительными. В самом деле, если $P$ и $Q$ суть действительная и мнимая части какого-нибудь интеграла
\[
P+i Q=\text { const },
\]

то равенство
\[
\frac{d P}{d t}+i \frac{d Q}{d t}=0
\]

должно выполняться тождественно, но так как дифференциальные уравнения не содержат мнимых членов, то $\frac{d P}{d t}$ и $\frac{d Q}{d t}$ должны быть действительными. Поэтому каждая из величин $\frac{d P}{d t}$ и $\frac{d Q}{d t}$ в отдельности равна нулю; следовательно, $P$ и $Q$ являются сами интегралами и каждый комплексный интеграл складывается из двух действительных. Мы можем поэтому предполагать в дальнейшем, что функция $\frac{G_{1}}{G_{2}}$ является действительной.
6. Образование интегралов из числителя и знаменателя дроби. Разложим функцию $G_{1}$ на произведение неразложимых полиномов относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, коэффициенты которых являются рациональными функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, s$. Пусть $\psi$ есть один из этих полиномов, входящий множителем в $G_{1} \lambda$-раз, и пусть $\chi$ означает произведение всех остальных множителей, так что
\[
G_{1}=\psi^{\lambda} \chi .
\]

Если $G_{1}$ не приводимо, то естественно $G_{1}=\psi$ и $\chi=1$.
уравнение
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{G_{1}}{G_{2}}\right)=0
\]

дает
\[
\frac{\lambda}{\psi} \frac{d \psi}{d t}+\frac{1}{\chi} \frac{d \chi}{d t}-\frac{1}{G_{2}} \frac{d G_{2}}{d t}=0
\]

или
\[
\frac{d \psi}{d t}=\psi\left(\frac{1}{\lambda G_{2}} \frac{d G_{2}}{d t}-\frac{1}{\lambda \chi} \frac{d \chi}{d t}\right) .
\]

Но $\frac{d \psi}{d t}$ есть целая рациональная функция от $p_{1}, \ldots, p_{6} ; \psi$ есть также целая рациональная функция от $p_{1}, \ldots, p_{6}$, но степени на единицу ниже, чем $\frac{d \psi}{d t}$. Далее, $\psi$ не имеет общих множителей с $G_{2}$ или с $\chi$. Отсюда следует, что
\[
\frac{1}{\lambda G_{2}} \frac{d G_{2}}{d t}-\frac{1}{\lambda \chi} \frac{d \chi}{d t}
\]

есть целая рациональная функция первого порядка относительно $p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{6}$. Обозначим этот полином через $\omega$. Тогда будем иметь:
\[
\frac{d \psi}{d t}=\omega \psi .
\]

Аналогичным образом можно показать, что и все остальные неприводимые множители функции $G_{1}$ удовлетворяют такого рода уравнениям. Если все эти различные множители $G_{1}$ обозначить соответственно через $\psi^{\prime}, \psi^{\prime \prime}$, так что
\[
G_{1}=\psi^{\prime \mu} \psi^{\prime \prime} \ldots,
\]

и если уравнения, которым они удовлетворяют, имеют вид:
\[
\frac{1}{\psi^{\prime}} \frac{d \psi^{\prime}}{d t}=\omega^{\prime}, \quad \frac{1}{\psi^{\prime \prime}} \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d t} \omega^{\prime \prime}, \ldots,
\]

то
\[
\frac{1}{G_{1}} \frac{d G_{1}}{d t}=\frac{\mu}{\psi^{\prime}} \frac{d \psi^{\prime}}{d t}+\frac{
u}{\psi^{\prime \prime}} \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d t}+\cdots=\mu \omega^{\prime}+
u \omega^{\prime \prime}+\cdots=\omega,
\]

где $\omega$ есть целая и рациональная функция первого порядка относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$ и рациональная относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, s$. Таким образом, $G_{1}$ удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{d G_{1}}{d t}=\omega G_{1},
\]

и так как $\frac{G_{1}}{G_{2}}$ есть интеграл, то и $G_{2}$ удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{d G_{2}}{d t}=\omega G_{2} .
\]

Так как $G_{1}$ и $G_{2}$ удовлетворяют одному и тому же уравнению, то мы обе эти функции будем в дальнейшем обозначать через $\varphi$; следовательно, $\varphi$ означает действительный полином относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}, q_{1}, \ldots, q_{6}, s$, удовлетворяющий уравнению $\varphi=\omega \varphi$.

Но $\varphi$ лишь умножается на некоторую степень $k$, если величины $q_{r}, p_{r}, s$, заменить соответственно через $q_{r} k^{2}, p_{r} k^{-1}, s k^{2}$. Так как
\[
\omega=\frac{1}{\varphi} \frac{d \varphi}{d t}=\sum_{r=1}^{6} \frac{1}{\varphi}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}} \frac{p_{r}}{\mu}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}}\right),
\]

то $\omega$ умножается при этой подстановке на $k^{-3}$. Следовательно, $\omega$ не может содержать члена, свободного от $p_{1}, \ldots, p_{6}$, ибо такой член должен был бы умножиться на четную степень $k$. Поэтому $\omega$ имеет вид:
\[
\omega=\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{6} p_{6},
\]

где каждая из величин $\omega_{r}$ является однородной функцией ( -1 )-го порядка относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}, s$.

Далее, пусть один из членов функции $\varphi$ будет $m$-го порядка относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}$ и $n$-го порядка относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}, s$, а другой член $m^{\prime}$-го порядка относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}$ и $n^{\prime}$-го порядка относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}, s$. Так как оба эти члена при вышеуказанной постановке умножаются на одну и ту же степень $k$, то
\[
-m+2 n=-m^{\prime}+2 n^{\prime},
\]

и поэтому $m-m^{\prime}$ есть четное число. Следовательно, $\varphi$ может быть расположен следующим образом:
\[
\varphi=\varphi_{0}+\varphi_{2}+\varphi_{4}+\cdots,
\]

где $\varphi_{0}$ означает совокупность членов наивысшего порядка относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}, \varphi_{2}$ – совокупность членов порядка на две единицы ниже и т. д. Каждая из этих величин $\varphi_{r}$ есть полином относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}, s$, однородный как относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}$, так и относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}, s$.

Докажем теперь следующее: Если в не входит явно в $\varphi_{0}$, то $\varphi$ путем умножения на подходяшую рациональную функцию от $q_{1}, \ldots, q_{6}$ может быть преобразован в интеграл.
В самом деле, если $\varphi_{0}$ не содержит $s$, то из уравнения:
\[
\frac{d \varphi}{d t}=\omega \varphi
\]

или
\[
\frac{d \varphi_{0}}{d t}+\frac{d \varphi_{2}}{d t}+\cdots=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{6} p_{6}\right)\left(\varphi_{0}+\varphi_{2}+\cdots\right)
\]

из сравнения членов наивысшего порядка относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}$ вытекает, что
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial q_{r}}=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{6} p_{6}\right) \varphi_{0} .
\]

Далее, $\varphi_{0}$ может содержать множителем величину $p_{6}$; чтобы учесть эту возможность, положим $\varphi_{0}=p_{6}^{k} \varphi_{0}^{\prime}$, где $\varphi_{0}^{\prime}$ уже не содержит больше множителем $p_{6}$, и где, в частности, может быть, что $k=0, \varphi_{0}^{\prime}=\varphi_{0}$. Заменяя в дифференциальном уравнении $\varphi_{0}$ через $p_{6}^{k} \varphi_{0}^{\prime}$, получим:
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}^{\prime}}{\partial q_{r}}=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{6} p_{6}\right) \varphi_{0}^{\prime} .
\]

Обозначим через $\varphi_{0}^{\prime \prime}$ совокупность членов в $\varphi_{0}^{\prime}$, не содержащих $p_{6}$. Тогда, приравнивая в обеих частях уравнения члены, не зависящие от $p_{6}$, будем иметь:
\[
\sum_{r=1}^{5} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}^{\prime \prime}}{\partial q_{r}}=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{5} p_{5}\right) \varphi_{0}^{\prime \prime} .
\]

Если $\varphi_{0}^{\prime \prime}$ есть функция одних лишь величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$, то мы ее обозначим через $R$. Тогда
\[
\frac{1}{\mu_{r}} \frac{\partial R}{\partial q_{r}}=\omega_{r} R \quad(r=1,2, \ldots, 5)
\]

или
\[
\mu_{r} \omega_{r}=\frac{1}{R} \frac{\partial R}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 5)
\]

и поэтому
\[
\frac{\partial}{\partial q_{s}}\left(\mu_{r} \omega_{r}\right)=\frac{\partial}{\partial q_{r}}\left(\mu_{s} \omega_{s}\right) \quad(r, s=1,2, \ldots, 5) .
\]

Если же $\varphi_{0}^{\prime \prime}$ зависит также и от величины $p_{1}, \ldots, p_{5}$, то, принимая, что $\varphi_{0}^{\prime \prime}$ содержит, например, $p_{5}$ множителем, положим $\varphi_{0}^{\prime \prime}=p_{5}^{\lambda} \varphi_{0}^{\prime \prime \prime}$, где $\varphi_{0}^{\prime \prime \prime}$ уже не содержит более $p_{5}$ в качестве множителя. Уравнение переходит тогда в
\[
\sum_{r=1}^{5} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}^{\prime \prime \prime}}{\partial q_{r}}=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{5} p_{5}\right) \varphi_{0}^{\prime \prime \prime} .
\]

Обозначим через $\varphi_{0}^{I V}$ совокупность членов в $\varphi_{0}^{\prime \prime \prime}$ не содержащих $p_{5}$. Сравнивая тогда в обеих частях уравнения члены, не зависящие от $p_{5}$, будем иметь:
\[
\sum_{r=1}^{5} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}^{I V}}{\partial q_{r}}=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\omega_{3} p_{3}+\omega_{4} p_{4}\right) \varphi_{0}^{I V} .
\]

Продолжая аналогичным образом дальше, мы придем к заключению, что либо
\[
\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\mu_{2} \omega_{2}\right)=\frac{\partial}{\partial q_{2}}\left(\mu_{1} \omega_{1}\right),
\] либо существует некоторая функция $\psi$, являющаяся полиномом относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, p_{2}$ и притом однородным как относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}$, так и относительно $p_{1}, p_{2}$, не содержащим никаких множителей, являющихся степенями от $p_{1}$ и $p_{2}$, и удовлетворяющая уравнению:
\[
\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}+\frac{p_{2}}{\mu_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}\right) \psi .
\]

Пусть
\[
\psi=a p_{1}^{l}+b p_{2}^{l}+c p_{1}^{l-1} p_{2}+\cdots ;
\]

сравнивая коэффициенты при $p_{1}^{l+1}$ и $p_{2}^{l+1}$ в обеих частях последнего уравнения, будем иметь:
\[
\omega_{1}=\frac{1}{\mu_{1} a} \frac{\partial a}{\partial q_{1}}, \quad \omega_{2}=\frac{1}{\mu_{2} b} \frac{\partial b}{\partial q_{2}} .
\]

Величины $a, b, c$ суть полиномы относительно $q_{1}, \ldots, q_{6}$. Они могут содержать какой-нибудь полином $Q$ общим множителем, так что
\[
a=a^{\prime} Q, \quad b=b^{\prime} Q, \quad \ldots
\]

Пусть
\[
\psi^{\prime}=a^{\prime} p_{1}^{l}+b^{\prime} p_{2}^{l}+c^{\prime} p_{1}^{l-1} p_{2}+\cdots,
\]

следовательно,
\[
\psi=Q \psi^{\prime} .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\psi^{\prime}}\left(\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{1}}+\frac{p_{2}}{\mu_{2}} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{2}}\right)=\frac{1}{\psi}\left(\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}+\frac{p_{2}}{\mu_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}\right)-\frac{1}{Q}\left(\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial Q}{\partial q_{1}}+\frac{p_{2}}{\mu_{2}} \frac{\partial Q}{\partial q_{2}}\right)= \\
=\left(\omega_{1}-\frac{1}{Q \mu_{1}} \frac{\partial Q}{\partial q_{1}}\right) p_{1}+\left(\omega_{2}-\frac{1}{Q \mu_{2}} \frac{\partial Q}{\partial q_{2}}\right) p_{2}=\omega_{1}^{\prime} p_{1}+\omega_{2}^{\prime} p_{2}
\end{array}
\]

где
\[
\omega_{1}^{\prime}=\frac{1}{\mu_{1} a^{\prime}} \frac{\partial a^{\prime}}{\partial q_{1}}, \quad \omega_{2}^{\prime}=\frac{1}{\mu_{2} b^{\prime}} \frac{\partial b^{\prime}}{\partial q_{2}}
\]

и, следовательно,
\[
\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{1}}+\frac{p_{2}}{\mu_{2}} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial q_{2}}=\left(\omega_{1}^{\prime} p_{1}+\omega_{2}^{\prime} p_{2}\right) \psi^{\prime} .
\]

Левая часть этого уравнения есть целая рациональная функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, p_{2}$. Но если $a^{\prime}$ содержит $q_{1}$, то и $\omega_{1}^{\prime}$ содержит в знаменателе если не $a^{\prime}$, то во всяком случае один множитель от $a^{\prime}$. Поэтому $\psi^{\prime}$ должно содержать в качестве множителя либо $a^{\prime}$, либо один множитель от $\omega^{\prime}$. Но последнее несовместимо с предположением, что $a^{\prime}, b^{\prime}, \ldots$ не имеют общих множителей. Поэтому $a^{\prime}$ не может содержать $q_{1}$ и $\omega_{1}^{\prime}$ равно нулю. Аналогично получается, что и $\omega_{2}^{\prime}$ тоже равно нулю.
Таким образом,
\[
\omega_{1}=\frac{1}{Q \mu_{1}} \frac{\partial Q}{\partial q_{1}}, \quad \omega_{2}=\frac{1}{Q \mu_{2}} \frac{\partial Q}{\partial q_{2}},
\]

поэтому
\[
\frac{\partial}{\partial q_{2}}\left(\mu_{1} \omega_{1}\right)=\frac{\partial}{\partial q_{1}}\left(\mu_{2} \omega_{2}\right) .
\]

Следовательно, второе наше допущение свелось к первому.
Аналогичным образом можно показать, что вообще
\[
\frac{\partial}{\partial q_{r}}\left(\mu_{s} \omega_{s}\right)=\frac{\partial}{\partial q_{s}}\left(\mu_{r} \omega_{r}\right) .
\]

Поэтому мы можем написать:
\[
\mu_{r} \omega_{r}=\frac{1}{R} \frac{\partial R}{\partial q_{r}},
\]

где $R$ некоторая рациональная функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$. Следовательно,
\[
\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{6} p_{6}=\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{1}{R} \frac{\partial R}{\partial q_{r}}=\sum_{r=1}^{6} \frac{1}{R} \frac{\partial R}{\partial q_{r}} \frac{d q_{r}}{d t}
\]

или
\[
\frac{1}{\varphi} \frac{d \varphi}{d t}=\frac{1}{R} \frac{d R}{d t}
\]

и поэтому
\[
\frac{\varphi}{R}=\text { const. }
\]

Таким образом, $\varphi$ путем умножения на некоторую рациональную функцию от $q_{1}, \ldots, q_{6}$, а именно на функцию $\frac{1}{R}$ может быть преобразовано в константу, чем теорема и доказывается.

Следовательно, если члены $\varphi_{k}$ от $G_{1}$ и $G_{2}$ не содержат явно $s$, то $G_{1}$ и $G_{2}$ путем умножения на подходящую рациональную функцию от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$ могут быть преобразованы в интегралы. Поэтому, если нам удастся доказать, что $\varphi_{0}$ не содержит явно $s$, то мы получим теорему, что каждый алгебраический интеграл задачи трех тел складывается из интегралов, являющихся полиномами относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, и рациональными функциями от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, s$.
7. Доказательство того, что $\varphi_{0}$ не содержит $s$. Предыдущее исследование предполагает, что функция $\varphi_{0}$ не содержит $s$. Мы хотим сейчас показать, что не может существовать никакой вещественной функции $\varphi_{0}$, удовлетворяющей уравнению:
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial q_{r}}=\left(\omega_{1} p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\cdots+\omega_{6} p_{6}\right) \varphi_{0}
\]

и содержащей $s$, что, следовательно, функция $\varphi_{0}$ нашей задачи не содержит $s$ и что предыдущий результат действительно имеет место.

Допустим, что существует функция $\varphi_{0}$, содержащая $s$ и удовлетворяющая вышенаписанному дифференциальному уравнению. Тогда, если в $\varphi_{0}$ подставить все восемь различных значений, которые может принимать $s$, то функция $\varphi_{0}$ примет ряд различных значений, которые мы обозначим соответственно через $\varphi_{0}^{\prime}, \varphi_{0}^{\prime \prime}, \ldots$ Все эти значения удовлетворяют уравнениям вида:
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}^{\prime}}{\partial q_{r}}=\omega^{\prime} \varphi_{0}^{\prime}, \quad \sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{0}^{\prime \prime}}{\partial q_{r}}=\omega^{\prime \prime} \varphi_{0}^{\prime \prime}, \ldots,
\]

где $\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}, \ldots$ означают значения $\omega$, получающиеся подстановкой значений $s$, соответствующих значениям $\varphi_{0}^{\prime}, \varphi_{0}^{\prime \prime}, \ldots$
Пусть
\[
\Phi=\varphi_{0}^{\prime} \varphi_{0}^{\prime \prime} \varphi_{0}^{\prime \prime \prime} \ldots
\]

Тогда
\[
\frac{1}{\Phi} \sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{r}}=\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}}\left(\frac{1}{\varphi_{0}^{\prime}} \frac{\partial \varphi_{0}^{\prime}}{\partial q_{r}}+\frac{1}{\varphi_{0}^{\prime \prime}} \frac{\partial \varphi_{0}^{\prime \prime}}{\partial q_{r}}+\cdots\right)=\omega^{\prime}+\omega^{\prime \prime}+\cdots=\Omega,
\]

где $\Omega$ есть линейная функция от $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, коэффициенты которой суть рациональные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$.

Но функция $\Omega$ по самому способу ее образования рациональна относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$ и не содержит $s$. Далее, она, очевидно, является полиномом относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$. Поэтому к функции $\Phi$ могут быть приложены уже доказанные положения, согласно которым (если $\Phi$ умножить на некоторую рациональную функцию от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$ ) $\Omega=0$, в силу чего функция $\Phi$ удовлетворяет уравнению:
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{r}}=0 .
\]

Можно указать сразу пять независимых решений этого уравнения с частными производными для $\Phi$, содержащего шесть независимых переменных, а именно:
\[
\frac{q_{2} p_{1}}{\mu_{1}}-\frac{q_{1} p_{2}}{\mu_{2}}, \ldots, \frac{q_{6} p_{1}}{\mu_{1}}-\frac{q_{1} p_{6}}{\mu_{6}} .
\]

Следовательно, $\Phi$ есть функция одних лишь величин:
\[
\frac{q_{2} p_{1}}{\mu_{1}}-\frac{q_{1} p_{2}}{\mu_{2}}, \ldots, \frac{q_{6} p_{1}}{\mu_{1}}-\frac{q_{1} p_{6}}{\mu_{6}}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6} .
\]

Множители функции $\Phi$ отличаются друг от друга лишь тем, что для их образования взяты различные значения величины $s$. Допустим, что величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$ связаны таким соотношением:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}\right)=0,
\]

что два значения величины $s$ совпадают. Тогда два множителя функции $\Phi$ будут также совпадать. Следовательно, уравнение $\Phi=0$, рассматриваемое как уравнение относительно $p_{1}$, должно при этом условии иметь по меньшей мере два одинаковых корня и поэтому $\frac{\partial \Phi}{\partial p_{1}}=0$. Аналогично получаем, что все величины $\frac{\partial \Phi}{\partial p_{2}}, \ldots, \frac{\partial \Phi}{\partial p_{6}}$ обращаются одновременно в нуль. Но так как функция $\Phi$ однородна относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, то уравнение
\[
p_{1} \frac{\partial \Phi}{\partial p_{1}}+p_{2} \frac{\partial \Phi}{\partial p_{2}}+\cdots+p_{6} \frac{\partial \Phi}{\partial p_{6}}=0
\]

равносильно уравнению $\Phi=0$ и, следовательно, последнее уравнение есть следствие уравнений:
\[
\frac{\partial \Phi}{\partial p_{1}}=0, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial p_{2}}=0, \quad \cdots, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial p_{6}}=0 .
\]

Если переменным, удовлетворяющим уравнению $\Phi=0$, придать бесконечно малые приращения, то последние должны быть связаны соотношением:
\[
\sum_{r=1}^{6}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial q_{r}} \delta q_{r}+\frac{\partial \Phi}{\partial p_{r}} \delta p_{r}\right)=0 .
\]

Но если $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}$ удовлетворяют уравнениям $\frac{\partial \Phi}{\partial p_{r}}=0$, то это соотношение переходит в следующее:
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{r}} \delta q_{r}=0 .
\]

Поэтому это соотношение между вариациями $\delta q_{r}$ должно быть эквивалентно соотношению:
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial f}{\partial q_{r}} \delta q_{r}=0 .
\]

Следовательно, уравнения:
\[
\frac{\partial f / \partial q_{1}}{\partial \Phi / \partial q_{1}}=\frac{\partial f / \partial q_{2}}{\partial \Phi / \partial q_{2}}=\cdots=\frac{\partial f / \partial q_{6}}{\partial \Phi / \partial q_{6}}
\]

должны являться следствием уравнений $\frac{\partial \Phi}{\partial p_{r}}=0$, и так как $\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{r}}=$ $=0$, то для системы значений $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, удовлетворяющих этим уравнениям,
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial f}{\partial q_{r}}=0 .
\]

Поэтому уравнения $f=0$ и $\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial f}{\partial q_{r}}=0$ могут быть получены алгебраически из уравнений $\frac{\partial \Phi}{\partial q_{r}}=0$. При этом алгебраическом исключении не имеют значения действительные значения величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$. Мы можем поэтому во всех уравнениях заменить $q_{r}$ через $q_{r}+p_{r} \frac{t}{\mu_{r}}$. Отсюда ясно, что уравнения:
\[
\begin{array}{c}
f\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t, \ldots, q_{6}+\frac{p_{6}}{\mu_{6}} t\right)=0, \\
\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial}{\partial q_{r}} f\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t, \ldots, q_{6}+\frac{p_{6}}{\mu_{6}} t\right)=0
\end{array}
\]

являются алгебраическим следствием уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial p_{r}} \Phi\left(q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)- \\
-\frac{t}{\mu_{r}} \frac{\partial}{\partial q_{r}} \Phi\left(q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, 6) .
\end{array}
\]

Следовательно, результат исключения $t$ из уравнений:
\[
\begin{array}{l}
f\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t, \ldots, q_{6}+\frac{p_{6}}{\mu_{6}} t\right)=0, \\
\frac{\partial}{\partial t} f\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t, \ldots, q_{6}+\frac{p_{6}}{\mu_{6}} t\right)=0
\end{array}
\]

должен являться алгебраической комбинацией уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial p_{r}} \Phi\left(q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)- \\
-\frac{t}{\mu_{r}} \frac{\partial}{\partial q_{r}} \Phi\left(q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)=0 \quad(r=1,2, \ldots, 6) .
\end{array}
\]

Такого рода алгебраической комбинацией является уравнение:
\[
\Phi\left(q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)=0,
\]

ибо оно получается из этих уравнений последовательным умножением их на $p_{1}, \ldots, p_{6}$ и сложением. Покажем, что это и есть то уравнение, которое получается в результате исключения $t$. Обозначим искомое уравнение через $\Psi$. Тогда уравнение:
\[
\sum_{r=1}^{6}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial q_{r}} \delta q_{r}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{r}} \delta p_{r}\right)=0
\]

должно являться комбинацией уравнений:
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial f}{\partial q_{r}}\left(\delta q_{r}+\frac{t}{\mu_{r}} \delta p_{r}\right)=0
\]

и
\[
\sum_{r=1}^{6} \frac{1}{\mu_{r}} \frac{\partial f}{\partial q_{r}} \delta p_{r}+\sum_{r=1}^{6} \sum_{s=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial^{2} f}{\partial q_{r} \partial q_{s}}\left(\delta q_{s}+\frac{t}{\mu_{s}} \delta p_{s}+\frac{p_{s}}{\mu_{s}} \delta t\right)=0 .
\]

Так как последнее уравнение содержит $\delta t$, то оно, очевидно, не может войти в комбинацию; следовательно, имеем:
\[
\frac{\partial \Psi / \partial q_{1}}{\partial f / \partial q_{1}}=\frac{\partial \Psi / \partial q_{2}}{\partial f / \partial q_{2}}=\cdots=\frac{\partial \Psi / \partial q_{6}}{\partial f / \partial q_{6}} ; \quad \frac{\partial \Psi}{\partial p_{r}}=\frac{t}{\mu_{r}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 6) .
\]

Совпадение этих уравнений с найденными уравнениями для $\Phi$ показывает, что уравнения $\Phi=0$ и $\Psi=0$ эквивалентны. Следовательно, уравнение $\Phi=0$ есть результат исключения $t$ из уравнений:
\[
f\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t, \ldots, q_{6}+\frac{p_{6}}{\mu_{6}} t\right)=0
\]

и
\[
\frac{\partial}{\partial t} f\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t, \ldots, q_{6}+\frac{p_{6}}{\mu_{6}} t\right)=0 .
\]

Легко указать все уравнения $f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}\right)=0$, являющиеся условием того, что уравнение для $s$ имеет кратные корни. Этот результат даст нам возможность найти всевозможные полиномы $\Phi$ и тем самым, – путем разложения $\Phi$ на множители, – все возможные полиномы $\varphi_{0}$.

Восемь корней $s$ являются восемью значениями, которые может принимать выражение $\pm r_{1} \pm r_{1} \pm r_{3}$, где $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ означают взаимные расстояния наших трех тел. Поэтому совпадение двух корней $s$ можно рассматривать как следствие каждого из уравнений:
\[
\begin{array}{c}
r_{1}=0, \quad r_{2}=0, \quad r_{3}=0, \quad r_{2}= \pm r_{3}, \quad r_{3}= \pm r_{1}, \quad r_{1}= \pm r_{2}, \\
r_{1} \pm r_{2} \pm r_{3}=0 .
\end{array}
\]

Уравнение $r_{1}=0$ дает:
\[
q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=0,
\]

и результат исключения $t$ из уравнений:
\[
\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t\right)^{2}+\left(q_{2}+\frac{p_{2}}{\mu_{2}} t\right)^{2}+\left(q_{3}+\frac{p_{3}}{\mu_{3}} t\right)^{2}=0
\]

и
\[
\frac{d}{d t}\left\{\left(q_{1}+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} t\right)^{2}+\left(q_{2}+\frac{p_{2}}{\mu_{2}} t\right)^{2}+\left(q_{3}+\frac{p_{3}}{\mu_{3}} t\right)^{2}\right\}=0
\]

есть
\[
q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\left(\frac{p_{1}^{2}}{\mu_{1}^{2}}+\frac{p_{2}^{2}}{\mu_{2}^{2}}+\frac{p_{3}^{2}}{\mu_{3}^{2}}\right)=\left(\frac{q_{1} p_{1}}{\mu_{1}}+\frac{q_{2} p_{2}}{\mu_{2}}+\frac{q_{3} p_{3}}{\mu_{3}}\right)^{2} .
\]

Получаемое отсюда значение $\Phi$ есть, следовательно,
\[
\Phi=\left(\frac{q_{1} p_{2}}{\mu_{2}}-\frac{q_{2} p_{1}}{\mu_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{q_{2} p_{3}}{\mu_{3}}-\frac{q_{3} p_{2}}{\mu_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{q_{3} p_{1}}{\mu_{1}}-\frac{q_{1} p_{3}}{\mu_{3}}\right)^{2} .
\]

Это выражение не может быть разложено на действительные множители и поэтому в этом случае не существует действительного $\varphi_{0}$.

Аналогичный результат может быть получен и в случае $r_{2}=0$ и $r_{3}=0$. Рассмотрим теперь уравнение:
\[
r_{2}= \pm r_{3},
\]

которое может быть написано в виде:
\[
\begin{array}{c}
q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}+\frac{2 m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)+ \\
+\left(\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)=q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}- \\
-\frac{2 m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)\left(\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)
\end{array}
\]

или
\[
2\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)+\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)=0 .
\]

Заменяя $q_{r}$ через $q_{r}+\frac{p_{r} t}{\mu_{r}}$ и составляя дискриминант полученного таким образом уравнения относительно $t$, получим:
\[
\begin{aligned}
\Phi & =\left\{2\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)+\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)\right\} \times \\
& \times\left\{2\left(\frac{p_{1} p_{4}}{\mu_{1} \mu_{4}}+\frac{p_{2} p_{5}}{\mu_{2} \mu_{5}}+\frac{p_{3} p_{6}}{\mu_{3} \mu_{6}}\right)-\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\frac{p_{1}^{2}}{\mu_{1}^{2}}+\frac{p_{2}^{2}}{\mu_{2}^{2}}+\frac{p_{3}^{2}}{\mu_{3}^{2}}\right)\right\}- \\
& -\left\{\frac{q_{1} p_{4}}{\mu_{4}}+\frac{q_{4} p_{1}}{\mu_{1}}+\frac{q_{2} p_{5}}{\mu_{5}}+\frac{q_{5} p_{2}}{\mu_{2}}+\frac{q_{3} p_{6}}{\mu_{6}}+\frac{q_{6} p_{3}}{\mu_{3}}+\right. \\
& \left.+\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\frac{q_{1} p_{1}}{\mu_{1}}+\frac{q_{2} p_{2}}{\mu_{2}}+\frac{q_{3} p_{3}}{\mu_{3}}\right)\right\}^{2} .
\end{aligned}
\]

Это выражение может быть разложено на полиномы, линейные относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$. Следовательно, и в этом случае не существует $\varphi_{0}$.

Аналогично можно показать, что и в случае уравнений $r_{3}= \pm r_{1}$, $r_{1}= \pm r_{2}$ не существует функции $\varphi_{0}$.
Наконец, уравнения:
\[
r_{1} \pm r_{2} \pm r_{3}=0,
\]

в рациональной форме принимают вид:
\[
\left(r_{3}^{2}-r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)^{2}-4 r_{3}^{2} r_{1}^{2}=0 .
\]

При $r_{1}=0$ этот случай приводится к предыдущему; так как полином $\Phi$ в этом частном случае не разлагается на множителей, то то же самое будет иметь место и в общем случае.

Следовательно, не существует вещественных полиномов $\varphi_{0}$, содержащих s.

Резюмируя, можем сказать: Мы до сих пор доказали, что всякий не зависящий от $t$ алгебраический интеграл дифференциальных уравнений задачи трех тел есть алгебраическая функция интегралов $\varphi$, каждый из которых может быть представлен в виде:
\[
\varphi_{0}+\varphi_{2}+\varphi_{4}+\cdots,
\]

где $\varphi_{0}$ есть однородный полином некоторой $k$-й степени относительно переменных $p$ и однородная алгебраическая функция некоторой $l$-й степени относительно переменных $q ; \varphi_{2}$ есть однородный полином $(k-2)$-й степени относительно переменных $p$ и однородная алгебраическая функция ( $l-1$ )-й степени относительно переменных $q ; \varphi_{4}$ есть однородный полином ( $k-4$ )-й степени относительно $p$ и функция ( $l-2$ )-й степени относительно $q$ и т. д.

8. Функция $\varphi_{0}$ зависит только от импульсов и от интегралов моментов количества движения. Подставляя в уравнение:
\[
\frac{d \varphi}{d t}=0 \text { или } \sum_{r=1}^{6}\left(\frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}}+\frac{\partial U}{\partial q_{r}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}\right)=0
\]

вместо $\varphi$ его значение $\varphi_{0}+\varphi_{2}+\varphi_{4}+\ldots$ и приравнивая члены одного и того же порядка, получим:
\[
\begin{array}{l}
0=\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial q_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \\
0=\sum_{r=1}^{6}\left(\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial q_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r}}+\frac{\partial \varphi_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}}\right), \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
0=\sum_{r=1}^{6}\left(\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial q_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r}}+\frac{\partial \varphi_{k-2}}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}}\right), \\
0\left.=\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial \varphi_{k}}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}}\right) .
\end{array}
\]

Первое из этих уравнений есть линейное уравнение с частными производными, определяющее $\varphi_{0}$; оно легко разрешается и дает:
\[
\varphi_{0}=f_{0}\left(P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{6}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}\right),
\]

где
\[
P_{r}=\frac{q_{r} p_{1}}{\mu_{1}}-\frac{q_{1} p_{r}}{\mu_{r}} \quad(r=2,3, \ldots, 6) .
\]

Пусть $\varphi_{2}$, выраженное в переменных $q_{1}, P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}$, имеет вид:
\[
\varphi_{2}=f_{2}\left(q_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{6}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial f_{2}}{\partial q_{1}} & =\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial q_{1}}+\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial q_{r}} \frac{\partial q_{r}}{\partial q_{1}}=\quad\left(q_{r}=\frac{\mu_{1} P_{r}}{p_{1}}+\frac{\mu_{1} p_{r} q_{1}}{\mu_{r} p_{1}}\right) \\
& =\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial q_{1}}+\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial q_{r}} \frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}}
\end{aligned}
\]

или
\[
\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial q_{1}}=\sum_{r=1}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial q_{r}}=-\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}} .
\]

Интегрируя, находим:
\[
f_{2}=\chi\left(P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)-\int \frac{\mu_{1}}{p_{1}} \sum_{r=1}^{6} \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}} d q_{1} .
\]

Отсюда следует, что $\int X d q_{1}$, где $X$ функция от $q_{1}, P_{2}, \ldots, P_{6}$, определяемая уравнением:
\[
\begin{aligned}
X & =\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial \varphi_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}}=\left(\frac{\partial f_{0}}{\partial p_{1}}+\sum_{s=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{s}} \frac{q_{s}}{\mu_{1}}\right)+\sum_{r=2}^{6}\left(\frac{\partial f_{0}}{\partial p_{r}}-\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{q_{1}}{\mu_{r}}\right) \frac{\partial U}{\partial q_{r}}= \\
& =\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}}+\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}}\left(\frac{q_{r}}{\mu_{1}} \frac{\partial U}{\partial q_{1}}-\frac{q_{1}}{\mu_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}}\right)
\end{aligned}
\]

не может содержать логарифмических членов.
Если $V$ означает функцию $U$, выраженную в переменных $q_{1}$, $P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}$, то
\[
\frac{\partial U}{\partial q_{r}}=\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial V}{\partial P_{r}}(r>1) \quad \text { и } \quad \frac{\partial U}{\partial q_{1}}=\frac{\partial V}{\partial q_{1}}-\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial V}{\partial P_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r}} .
\]

Нетрудно видеть, что члены в $X$, которые могут вызвать появление логарифмических членов в $\int X d q_{1}$, суть:
\[
\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}}\left\{\frac{p_{r} V}{\mu_{r} p_{1}}+\frac{p_{r} q_{1}}{\mu_{r} p_{1}} \sum_{s=2}^{6} \frac{\partial V}{\partial P_{s}} \frac{p_{s}}{\mu_{s}}+\frac{q_{1} p_{1}}{\mu_{r} \mu_{1}} \frac{\partial V}{\partial P_{r}}\right\} .
\]

Поэтому члены, могущие быть логарифмическими в $\int X d q_{1}$ суть:
\[
\begin{aligned}
\sum_{r=2}^{6} \frac{p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \int V d q_{1} & +\sum_{r=2}^{6} \sum_{s=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r} p_{s}}{\mu_{r} \mu_{s} p_{1}} \frac{\partial}{\partial P_{s}} \int q_{1} V d q_{1}+ \\
& +\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{1}}{\mu_{r} \mu_{1}} \frac{\partial}{\partial P_{r}} \int q_{1} V d q_{1}
\end{aligned}
\]

Но $V$ есть сумма трех членов, каждый из которых имеет вид $\left(A+B q_{1}+C q_{1}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$. Взяв эти члены в отдельности, для трансцендентной
части последнего выражения получим:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{1}{\sqrt{-C}} \arcsin \frac{2 C q_{1}+B}{\left(B^{2}-4 A C\right)^{\frac{1}{2}}}- \\
-\sum_{r=2}^{6} \sum_{s=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r} p_{s}}{\mu_{r} \mu_{s} p_{1}} \frac{1}{2 C \sqrt{-C}} \frac{\partial B}{\partial P_{s}} \arcsin \frac{2 C q_{1}+B}{\left(B^{2}-4 A C\right)^{\frac{1}{2}}}- \\
-\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{1}}{\mu_{r} \mu_{1}} \frac{1}{2 C \sqrt{-C}} \frac{\partial B}{\partial P_{r}} \arcsin \frac{2 C q_{1}+B}{\left(B^{2}-4 A C\right)^{\frac{1}{2}}}
\end{array}
\]

Поэтому для каждой из дробей $\left(A+B q_{1}+C q_{1}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ должно иметь место соотношение:
\[
C \sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r} p_{1}}-\sum_{r=2}^{6} \sum_{s=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r} p_{s}}{\mu_{r} \mu_{s} p_{1}} \frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial P_{s}}-\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{1}}{\mu_{r} \mu_{1}} \frac{1}{2} \frac{\partial B}{\partial P_{r}}=0 .
\]

Но для первой из этих дробей, а именно для $\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ имеем:
\[
A=\frac{\mu_{1}^{2}}{p_{1}^{2}}\left(P_{2}^{2}+P_{3}^{2}\right), \quad \frac{1}{2} B=\frac{\mu_{1}^{2} P_{2} p_{2}}{\mu_{2} p_{1}^{2}}+\frac{\mu_{1}^{2} P_{3} p_{3}}{\mu_{3} p_{1}^{2}}, \quad C=1+\frac{\mu_{1}^{2} p_{2}^{2}}{\mu_{2}^{2} p_{1}^{2}}+\frac{\mu_{1}^{2} p_{3}^{2}}{\mu_{3}^{2} p_{1}^{2}} .
\]

Поэтому первое из трех уравнений имеет вид:
\[
\begin{aligned}
\left(1+\frac{\mu_{1}^{2} p_{2}^{2}}{\mu_{2}^{2} p_{1}^{2}}+\frac{\mu_{1}^{2} p_{3}^{2}}{\mu_{3}^{2} p_{1}^{2}}\right) \sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} & -\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r} p_{1}}\left(\frac{\mu_{1}^{2} p_{2}^{2}}{\mu_{2}^{2} p_{1}^{2}}+\frac{\mu_{1}^{2} p_{3}^{2}}{\mu_{3}^{2} p_{1}^{2}}\right)- \\
-\left(\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{2}} \frac{\mu_{1} p_{2}}{\mu_{2}^{2} p_{1}}+\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{3}} \frac{\mu_{1} p_{3}}{\mu_{3}^{2} p_{1}}\right) & =0
\end{aligned}
\]

или
\[
\sum_{r=2}^{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r}}\left(\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{2}} \frac{\mu_{1} p_{2}}{\mu_{2}^{2}}+\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{3}} \frac{\mu_{1} p_{3}}{\mu_{3}^{2}}\right)-0,
\]

или (так как $\mu_{1}=\mu_{2}=\mu_{3}$ )
\[
\sum_{r=4}^{6} p_{r} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{r}}=0
\]

Решение этого уравнения показывает, что $f_{0}$ есть функция от
\[
p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}, P_{2}, P_{3},\left(p_{4} q_{5}-p_{5} q_{4}\right),\left(p_{4} q_{6}-p_{6} q_{4}\right) .
\]

Так как все три выражения ( $A+B q_{1}+C q_{1}^{2}$ ) суть линейные функции от величин $\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right),\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right),\left(q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}\right)$, то мы можем для нашей цели заменить их этими величинами. Поэтому в качестве второго выражения ( $A+B q_{1}+C q_{1}^{2}$ ) мы принимаем величину $\left(q_{1} q_{4}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{6}\right)$ или
\[
\begin{aligned}
q_{1}\left(\frac{\mu P_{4}}{p_{1}}+\right. & \left.\frac{\mu P_{4}}{\mu^{\prime} p_{1}} q_{1}\right)+\left(\frac{\mu P_{2}}{p_{1}}+\frac{p_{2} q_{1}}{p_{1}}\right)\left(\frac{\mu P_{5}}{p_{1}}+\frac{\mu p_{5} q_{1}}{\mu^{\prime} p_{1}}\right)+ \\
& +\left(\frac{\mu P_{3}}{p_{1}}+\frac{p_{3} q_{1}}{p_{1}}\right)\left(\frac{\mu P_{6}}{p_{1}}+\frac{\mu p_{6} q_{1}}{\mu^{\prime} p_{1}}\right) .
\end{aligned}
\]

Для нее
\[
\begin{aligned}
B & =\frac{\mu P_{4}}{p_{1}}+\frac{\mu P_{5} p_{2}}{p_{1}^{2}}+\frac{\mu^{2} P_{2} p_{5}}{\mu^{\prime} p_{1}^{2}}+\frac{\mu P_{6} p_{3}}{p_{1}^{2}}+\frac{\mu^{2} P_{3} p_{6}}{\mu^{\prime} p_{1}^{2}}, \\
C & =\frac{\mu p_{4}}{\mu^{\prime} p_{1}}+\frac{\mu p_{2} p_{5}}{\mu^{\prime} p_{1}^{2}}+\frac{\mu p_{3} p_{6}}{\mu^{\prime} p_{1}^{2}},
\end{aligned}
\]

и соответствующим уравнением будет:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{2}}\left(p_{2} p_{4}-p_{1} p_{5}\right)+\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{3}}\left(p_{3} p_{4}-p_{1} p_{6}\right)+\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{4}}\left(\frac{\mu p_{4}^{2}}{\mu^{\prime}}-p_{1}^{2}\right)+ \\
+\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{5}}\left(\frac{\mu p_{4} p_{5}}{\mu^{\prime}}-p_{1} p_{2}\right)+\frac{\partial f_{0}}{\partial P_{6}}\left(\frac{\mu p_{4} p_{6}}{\mu^{\prime}}-p_{1} p_{3}\right)=0
\end{array}
\]

В качестве третьего выражения для ( $\left.A+B q_{1}+C q_{1}^{2}\right)$ мы можем принять величину $q_{4}^{2}+q_{5}^{2}+q_{6}^{2}$. Можно показать, что соответствующее уравнение совпадает с (7) и может быть поэтому отброшено. ІІам нужно, таким образом, рассмотреть только уравнения (7) и (8). Упрощая (8) при помощи (7), мы можем этим уравнениям придать вид:
\[
\begin{array}{c}
p_{4} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{4}}+p_{5} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{5}}+p_{6} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{6}}=0 \\
\left(p_{2} p_{4}-p_{1} p_{5}\right) \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{2}}+\left(p_{4} p_{3}-p_{1} p_{6}\right) \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{3}}-p_{1}\left(p_{1} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{4}}+p_{2} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{5}}+p_{3} \frac{\partial f_{0}}{\partial P_{6}}\right)=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения являются, очевидно, алгебраически независимыми и условия интегрируемости Якоби выполняются для них тождественно, так как коэффициенты при производных $\frac{\partial f_{0}}{\partial P}$ не содержат величины $P$. Оба уравнения образуют поэтому полную систему с пятью независимыми переменными $P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}, P_{6}$. Они имеют, следовательно, $5-2=3$ независимых интегралов и всякий другой интеграл будет функцией от этих трех интегралов и от величин $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$.
Нетрудно убедится, что тремя независимыми решениями будут:
\[
\begin{array}{l}
P_{2} p_{3}-P_{3} p_{2}+P_{5} p_{6}-P_{6} p_{5}, \\
P_{3} p_{1} \quad+P_{6} p_{4}-P_{4} p_{6}, \\
-P_{2} p_{1}+P_{4} p_{5}-P_{5} p_{4}, \\
\end{array}
\]

или
\[
\frac{P_{1} L}{\mu}, \frac{p_{1} M}{\mu}, \frac{p_{1} N}{\mu},
\]

где
\[
\begin{aligned}
L & =q_{2} p_{3}-q_{3} p_{2}+q_{5} p_{6}-q_{6} p_{5}, \\
M & =q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}+q_{6} p_{4}-q_{4} p_{6}, \\
N & =q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}+q_{4} p_{5}-q_{5} p_{4} .
\end{aligned}
\]

Три уравнения:
\[
L=\text { const }, \quad M=\text { const }, \quad N=\text { const, }
\]

представляют собой три интеграла моментов количества движения системы. Таким образом, мы доказали, что $\varphi_{0}$ есть функция одних лишь величин $L, M, N, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$.
9. Доказательство того, что $\varphi_{0}$ есть функция от $T, L, M$ и $N$. Так как величина $\varphi_{0}$, рассматриваемая как функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}$, есть целая и рациональная функция относительно величин $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, то она будет, очевидно, целой и рациональной относительно величин $L, M, N, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$.
Полагая
\[
\varphi_{0}=G\left(L, M, N, p_{1}, \ldots, p_{6}\right),
\]

будем иметь:
\[
\frac{\varphi_{0}}{d t}=\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial G}{\partial p_{r}} \frac{d p_{r}}{d t}=\sum_{r=1}^{6} \frac{\partial G}{\partial p_{r}} \frac{\partial U}{\partial q_{r}} .
\]

Уравнение для $f_{2}$ принимает вид:
\[
f_{2}=\chi\left(P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)-\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \sum_{r=1}^{6} \frac{\partial G}{\partial p_{r}} \int Y_{r} d q_{1},
\]

где $Y_{r}$ означает величину $\frac{\partial U}{\partial q_{r}}$, выраженную через $q_{1}, P_{2}, \ldots, P_{6}$, $p_{1}, \ldots, p_{6}$. Поэтому имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \sum_{r=1}^{6} \frac{\partial G}{\partial p_{r}} \int Y_{r} d q_{1}= \\
=\int \frac{\mu_{1}}{p_{1}}\left\{\frac{\partial G}{\partial p_{1}}\left(\frac{\partial V}{\partial q_{1}}-\sum \frac{\partial V}{\partial P_{r}} \frac{p_{r}}{\mu_{r}}\right)+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial V}{\partial P_{2}} \frac{\partial G}{\partial p_{2}}+\cdots+\frac{p_{1}}{\mu_{1}} \frac{\partial V}{\partial P_{6}} \frac{\partial G}{\partial p_{6}}\right\} d q_{1}= \\
=\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}} \int \frac{\partial V}{\partial q_{1}} d q_{1}+\sum_{r=2}^{6} \int \frac{\partial V}{\partial P_{r}}\left(\frac{\partial G}{\partial p_{r}}-\frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right) d q_{1}= \\
=\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}} V+\sum_{r=2}^{6}\left(\frac{\partial G}{\partial p_{r}}-\frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right) \frac{\partial}{\partial P_{r}} \int V d q_{1}= \\
=\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}} \sum_{A} \frac{m_{1} m_{2}}{\left(A+B q_{1}+C q_{1}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}+\sum_{r=2}^{6}\left(\frac{\partial G}{\partial p_{r}}-\frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right) \times \\
\times \sum_{A} \frac{m_{1} m_{2}\left(-2 A \frac{\partial B}{\partial P_{r}}-q_{1} B \frac{\partial B}{\partial P_{r}}+B \frac{\partial A}{\partial P_{r}}+2 C q_{1} \frac{\partial A}{\partial P_{r}}\right)}{\left(B^{2}-4 A C\right)\left(A+B q_{1}+C q_{1}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}, \\
\end{array}
\]

где $\sum_{A}$ означает суммирование по всем трем значениям выражения $A+B q_{1}+C q_{1}^{2}$.

Так как $\chi\left(P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)$ не может дать членов, содержащих $A+B q_{1}+C q_{1}^{2}$ в знаменателе, то все члены, умножающиеся на $\left(A+B q_{1}+C q_{1}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$ должны иметь тот же характер, что и $\varphi_{2}$, т. е. они, рассматриваемые как функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$, $p_{1}, \ldots, p_{6}$, должны быть целыми и рациональными относительно величин $p_{1}, \ldots, p_{6}$. Следовательно, выражение:
\[
\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}+2 \sum_{r=2}^{6}\left(\frac{\partial G}{\partial p_{r}}-\frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right) \frac{-A \frac{\partial B}{\partial P_{r}}-\frac{1}{2} q_{1} B \frac{\partial B}{\partial P_{r}}+\frac{1}{2} B \frac{\partial A}{\partial P_{r}}+C q_{1} \frac{\partial A}{\partial P_{r}}}{B^{2}-4 A C},
\]

рассматриваемое как функция от $q_{1}, \ldots, q_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}$, должно быть целым и рациональным относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}$. Полагая сначала $A+B q_{1}+C q_{1}^{2}=q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}$, для этого выражения мы получим значение:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}-\sum_{r=2}^{3}\left(\frac{\partial G}{\partial p_{r}}-\frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right) \times \\
\times \frac{-p_{r}\left\{\mu\left(P_{2}^{2}+P_{3}^{2}\right)+q_{1}\left(P_{2} p_{2}+P_{3} p_{3}\right)\right\}+P_{r}\left\{\mu\left(P_{2} p_{2}+P_{3} p_{3}\right)+q_{1}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)\right\}}{2\left\{p_{1}^{2} P_{2}^{2}+p_{1}^{2} P_{3}^{2}+\left(p_{2} P_{3}-p_{3} P_{2}\right)^{2}\right\}}
\end{array}
\]

или (опуская один множитель $\mu$ )
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}-\sum_{r=2}^{3}\left(\frac{\partial G}{\partial p_{r}}-\frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right) \times \\
\times \frac{-p_{r}\left\{p_{1}\left(q_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)-p_{2} q_{1} q_{2}-p_{3} q_{1} q_{3}\right\}+\left(q_{r} p_{1}-p_{r} q_{1}\right)\left(p_{1} q_{1}+p_{2} q_{2}+p_{3} q_{3}\right)}{2 p_{1}\left\{\left(q_{2} p_{1}-p_{2} q_{1}\right)^{2}+\left(q_{3} p_{1}-p_{3} q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2} q_{3}-p_{3} q_{2}\right)^{2}\right\}}
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}-\frac{\left(\frac{\partial G}{\partial p_{2}}-\frac{\mu_{1} p_{2}}{\mu_{2} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right)\left(-p_{2} q_{3}^{2}\right)-p_{2} q_{1}^{2}+p_{1} q_{1} q_{2}+p_{3} q_{2} q_{3}}{2\left\{\left(q_{2} p_{1}-q_{1} p_{2}\right)^{2}+\left(q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}\right)^{2}+\left(q_{3} p_{2}-q_{2} p_{3}\right)^{2}\right\}}- \\
-\frac{\left(\frac{\partial G}{\partial p_{3}}-\frac{\mu_{1} p_{3}}{\mu_{3} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}\right)\left(-p_{3} q_{2}^{2}-p_{3} q_{1}^{2}+q_{3} q_{1} p_{1}+q_{3} q_{2} p_{2}\right)}{2\left\{\left(q_{2} p_{1}-q_{1} p_{2}\right)^{2}+\left(q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}\right)^{2}+\left(q_{3} p_{2}-q_{2} p_{3}\right)^{2}\right\}} .
\end{array}
\]

Последняя дробь представляет собой целую рациональную функцию от $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$.Следовательно, числитель должен делиться нацело на знаменатель.

Но $G$ есть полином относительно $L, M, N$ и, следовательно, каждое из выражений:
\[
\frac{\partial G}{\partial p_{2}}-\frac{\mu_{1} p_{2}}{\mu_{2} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}} \quad \text { и } \quad \frac{\partial G}{\partial p_{3}}-\frac{\mu_{1} p_{3}}{\mu_{3} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}
\]

суть целье рациональные функции от $L, M, N$, в которые $q_{1}, q_{2}, q_{3}$ входят лишь посредством $L, M, N$. Поэтому эти выражения либо совсем не содержат ни одной из величин $q_{1}, q_{2}, q_{3}$, либо они содержат члены, свободные от $q_{1}, q_{2}, q_{3}$. В обоих случаях знаменатель не может быть множителем числителя. Условие, следовательно, выполняется лишь в предположении, что
\[
\frac{\partial G}{\partial p_{2}}-\frac{\mu_{1} p_{2}}{\mu_{2} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}=0, \quad \frac{\partial G}{\partial p_{3}}-\frac{\mu_{1} p_{3}}{\mu_{3} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}=0 .
\]

Давая теперь $A, B, C$ вторую и третью системы значений, мы получим, как это и следовало ожидать из симметрии, что
\[
\frac{\partial G}{\partial p_{r}}-\frac{\mu_{1} p_{r}}{\mu_{r} p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}=0 \quad(r=4,5,6) .
\]

Таким образом, функция $G$ удовлетворяет этим пяти уравнениям, образующим полную систему из пяти независимых уравнений с шестью независимыми переменными, и имеющим поэтому только одно независимое решение. Это решение легко находится и имеет вид:
\[
\sum_{s=1}^{6} \frac{p_{s}^{2}}{2 \mu_{s}} \text { или } T .
\]

Функция $G$ зависит, следовательно, от $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$ лишь посредством $T$; так как $G$ есть полином относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, то он должен быть также полиномом и относительно $T$.

Так как $\varphi_{0}$ однородна как относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$, так и относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{6}$, и величины $L, M, N$ линейны относительно $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{6}$, а $T$ не содержит величин $q_{1}, \ldots, q_{6}$ и имеет второй порядок относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}$, то функция $T$ должна, очевидно, входить в $\varphi_{0}$, – если она вообще туда входит, – лишь в качестве множителя. Поэтому мы имеем право предположить, что
\[
\varphi_{0}=h(L, M, N) T^{m},
\]

где $h$ есть целая рациональная и однородная функция ее аргументов.
10. Доказательство теоремы Брунса для интегралов, не зависящих от времени.
Уравнение, определяющее функцию $f_{2}$, имеет вид:
\[
f_{2}=\chi\left(P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)-\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}} U .
\]

Нo
\[
\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial p_{1}}=\frac{\mu_{1}}{p_{1}} \frac{\partial G}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial p_{1}}=m h(L, M, N) T^{m-1},
\]

и поэтому
\[
f_{2}=\chi\left(P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)-m h(L, M, N) T^{m-1} U .
\]

Отсюда имеем:
\[
\begin{array}{c}
\varphi=\varphi_{0}+\varphi_{2}+\varphi_{4}+\ldots=h(L, M, N)\left(T^{m}-m T^{m-1} U\right)+ \\
+\chi\left(P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right)+\varphi_{4}+\varphi_{6}+\ldots
\end{array}
\]

Следовательно, интеграл $\varphi$ складывается из двух других интегралов:
1. Из интеграла $h(L, M, N)(T-U)^{m}$, являющегося следствием классических интегралов, и
2. Из интеграла $\varphi^{\prime}$, где
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime}=\varphi_{0}^{\prime}+\varphi_{2}^{\prime}+\varphi_{4}^{\prime}+\ldots, \\
\varphi_{0}^{\prime}=\chi\left(P_{2}, \ldots, P_{6}, p_{1}, \ldots, p_{6}\right) \\
\varphi_{2}^{\prime}=\varphi_{4}-\frac{m(m-1)}{2 !} h(L, M, N) T^{m-2} U^{2}, \\
\varphi_{4}^{\prime}=\varphi_{6}+\frac{m(m-1)(m-2)}{3 !} h(L, M, N) T^{m-3} U^{3}, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

Интеграл $\varphi^{\prime}$, имея такой же характер, как и $\varphi$, отличается от последнего тем, что его старший член $\varphi_{0}^{\prime}$ относительно переменных $p_{1}, \ldots, p_{6}$ имеет порядок на две единицы ниже, чем старший член в интеграле $\varphi$. Мы доказали, что интеграл $\varphi$ может быть составлен из классических интегралов и интеграла $\varphi^{\prime}$. Аналогичным способом и $\varphi^{\prime}$ может быть составлен из классических интегралов и некоторого интеграла $\varphi^{\prime \prime}$, имеющего такой же характер, как и $\varphi$, но порядок относительно переменных $p$ на четыре единицы ниже, чем у $\varphi$. Продолжая, таким образом, дальше, мы придем к заключению, что $\varphi$ может быть составлен из классических интегралов и из некоторого интеграла $\varphi^{(n)}$, имеющего относительно переменных $p$ порядок, равный единице или нулю. В первом случае в равенстве
\[
\varphi^{(n)}=\varphi_{0}^{(n)}=h(L, M, N) T^{k}
\]

величина $k$ должна, очевидно, равняться нулю и, следовательно, $\varphi^{(n)}$ составляется из классических интегралов. Напротив, во втором случае функция $\varphi^{(n)}$, будучи нулевого порядка относительно $p_{1}, \ldots, p_{6}$, зависит только от величины $q_{1}, \ldots, q_{6}$. Но мы доказали, что такие интегралы не могут существовать. Следовательно, $\varphi$ всегда может быть составлен алгебраически из классических интегралов. Таким образом, теорема Брунса доказана: Каждый, не зависящий от времени, алгебраческий интеграл задачи трех тел есть алгебрачческая комбинация классических интегралов.
11. Распространение теоремы Брунса на интегралы, зависящие также и от времени. Перейдем теперь к рассмотрению таких алгебраических интегралов задачи трех тел, которые зависят также и от времени.
Для этой цели мы берем уравнения движения в виде системы восемнадцатого порядка ( $\S 155$ ). Нам надо поэтому исследовать интегралы вида:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}, t\right)=a,
\]

где $f$ – алгебраическая функция аргументов.
Функция $f$, вообще говоря, нерациональна. Приведя последнее уравнение к рациональному виду относительно переменной $t$, получим уравнение вида:
\[
\begin{array}{c}
a^{m}+a^{m-1} \varphi_{1}\left(q_{1}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}, t\right)+ \\
+a^{m-2} \varphi_{2}\left(q_{1}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}, t\right)+\cdots+ \\
+\varphi_{m}\left(q_{1}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}, t\right)=0,
\end{array}
\]

где функции $\varphi$ являются рациональными относительно $t$ и алгебраическими относительно остальных аргументов. Мы можем считать, что уравнение неприводимо относительно $t$, т. е. не может быть разложено на множители рациональные относительно $t$ и более низких степеней относительно $a$. Ибо если она приводима, то она может быть заменена теми ее неприводимыми множителями, которые соответствуют первоначальному уравнению $f=a$.
Дифференцирование по $t$ дает:
\[
a^{m-1} \frac{d \varphi_{1}}{d t}+a^{m-2} \frac{d \varphi_{2}}{d t}+\cdots+\frac{d \varphi_{m}}{d t}=0 .
\]

Все величины $\frac{d \varphi_{r}}{d t}$, рассматриваемые как функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{9}$, $p_{1}, \ldots, p_{9}, t$ рациональны относительно $t$. Следовательно, первоначальное уравнение является приводимым относительно $t$ если последнее уравнение не удовлетворяется тождественно. Поэтому
\[
\frac{d \varphi_{r}}{d t}=0 \quad(r=1,2, \ldots, m),
\]
т. е. величины $\varphi_{r}$ являются сами интегралами. Интеграл $f$ складывается из интегралов $\varphi$, являющихся рациональными функциями относительно $t$ и алгебраическими относительно $q_{1}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}$.

Разлагая такого рода интеграл на простые множители первого порядка относительно $t$, получим:
\[
\frac{P\left(t-\varphi_{1}\right)^{m_{1}}\left(t-\varphi_{2}\right)^{m_{2}} \cdots\left(t-\varphi_{k}\right)^{m_{k}}}{\left(t-\psi_{1}\right)^{n_{1}}\left(t-\psi_{2}\right)^{n_{2}} \cdots\left(t-\psi_{l}\right)^{n_{l}}},
\]

где $P, \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{k}, \psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{l}$ суть алгебраические функции от $q_{1}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}$. Так как это выражение есть интеграл, то
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{P} \frac{d P}{d t}+\frac{m_{1}}{t-\varphi_{1}}\left(1-\frac{d \varphi_{1}}{d t}\right)+\cdots+\frac{m_{k}}{t-\varphi_{k}}\left(1-\frac{d \varphi_{k}}{d t}\right)- \\
-\frac{n_{1}}{t-\psi_{1}}\left(1-\frac{d \psi_{1}}{d t}\right)-\cdots-\frac{m_{k}}{t-\psi_{l}}\left(1-\frac{d \psi_{l}}{d t}\right)=0 .
\end{array}
\]

Если в этом уравнении заменить величины $\frac{d P}{d t}, \frac{d \varphi_{1}}{d t}, \ldots, \frac{d \varphi_{k}}{d t}$, $\frac{d \psi_{1}}{d t}, \ldots, \frac{d \psi_{l}}{d t}$ их значениями $(P, H),\left(\varphi_{1}, H\right), \ldots,\left(\psi_{l}, H\right)$, то это уравнение должно перейти в тождество. Последнее, однако, возможно только тогда, когда
\[
\frac{d P}{d t}=0,1-\frac{d \varphi_{1}}{d t}=0, \ldots, 1-\frac{d \varphi_{k}}{d t}=0, \ldots, 1-\frac{d \psi_{1}}{d t}=0, \ldots, 1-\frac{d \psi_{l}}{d t}=0,
\]
т. е. когда все выражения:
\[
P, t-\varphi_{1}, t-\varphi_{2}, \ldots, t-\varphi_{k}, t-\psi_{1}, t-\psi_{2}, \ldots, t-\psi_{l}
\]

суть интегралы. Следовательно, всякий зависящий от $t$ алгебраический интеграл задачи трех тел складывается:
1. Из алгебраических интегралов, не содержащих $t$.
2. Из интеграла вида:
\[
t-\varphi=\mathrm{const},
\]

где $\varphi$ есть алгебраическая функция от $q_{1}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}$.
Но, как известно,
\[
t-\frac{m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}+m_{3} q_{7}}{p_{1}+p_{4}+p_{7}}=\mathrm{const},
\]

есть интеграл. Поэтому каждый, содержащий $t$, алгебраический интеграл может быть составлен:
1. Из алгебраических интегралов, не содержащих $t$.
2. Из интегралов вида:
\[
\varphi-\frac{m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}+m_{3} q_{7}}{p_{1}+p_{4}+p_{7}}=\mathrm{const},
\]

где $\varphi$ есть алгебраическая функция от $q_{1}, \ldots, q_{9}, p_{1}, \ldots, p_{9}$.
3. Из классического интеграла:
\[
t-\frac{m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}+m_{3} q_{7}}{p_{1}+p_{4}+p_{7}} .
\]

Но первый и второй интегралы являются алгебраическими и не содержат времени. Поэтому согласно доказанному раньше они являются алгебраическими комбинациями классических интегралов.

Таким образом, получаем окончательно: всякий алгебраический интеграл задачи трех тел вне зависимости от того, содержит ли он явно время или нет, складывается из классических интегралов.

Теорему Брунса обобщил Пенлеве ${ }^{1}$, доказав, что всякий интеграл задачи $n$-тел, являющийся алгебраической функцией от скоростей и какой угодно функцией от координат, есть комбинация классических интегралов.