Движение снаряда в воздухе дает пример другого вида диссипативных систем, так как сопротивление воздуха зависит от скорости. Нельзя указать общего метода, одинаково применимого для всех задач с такого рода силами. Однако один частный, практически важный случай — движение снаряда под действием силы тяжести и сопротивления, пропорционального некоторой степени скорости, — может быть разрешен следующим способом.

Для малых скоростей (не свыше 30 м/сек) сопротивление воздуха движению снаряда можно с достаточной точностью считать пропорциональным квадрату скорости. Для больших скоростей (примерно 600 м/сек) сопротивление воздуха есть приближенно линейная функция скорости.

Пусть $v$ есть скорость снаряда в момент времени $t,k{v}^n$ — сопротивление на единицу массы, $\vartheta$ — угол наклона траектории относительно горизонтали и $\rho$ — ее радиус кривизны. Компоненты ускорения снаряда по направлениям касательной и нормали к траектории суть $v\frac{dv}{ds}$ и $\frac{v^2}{\rho }$. Поэтому уравнениями движения будут:
$$v\frac{dv}{ds}=-g\sin \vartheta -k{v}^n,\frac{v^2}{\rho }=g\cos \vartheta .$$

Деля первое уравнение на второе, получим:
$$\frac{1}{v^{n+1}}\frac{dv}{d\vartheta }-\frac{\mathrm{tg}\vartheta }{v^n}=\frac{k}{g\cos \vartheta }$$

или
$$\frac{d}{d\vartheta }\left(\frac{1}{v^n}\right)+\frac{1}{v^n}\frac{d}{d\vartheta }(n\ln \frac{1}{\cos \vartheta })=-\frac{nk}{g}\frac{1}{\cos \vartheta }.$$

Интегрирование дает:
$$\frac{1}{v^n{\cos }^n\vartheta }+\text{ const }=-\frac{nk}{g}\int \frac{d\vartheta }{{\cos }^{n+1}\vartheta }.$$

Это уравнение выражает $v$ через $\vartheta$. Из уравнения $v^2=\rho g\cos \vartheta$ находим:
$$gt=-\int \frac{vd\vartheta }{\cos \vartheta }$$

и так как $v$ есть известная функция от $\vartheta$, то это уравнение определяет $t$ как функцию от $\vartheta$.

Прямоугольные координаты $x$ и $y$ могут быть теперь определены из уравнений:
$$x=\int v\cos \vartheta dt,y=\int v\sin \vartheta dt.$$

Таким образом, решение задачи приведено к квадратурам.
Силы сопротивления, пропорциональные $v,v^2$ или $av+b{v}^2$, исследованы Ньютоном (Principia, кн. II, $\mathrm{\S }1,2$ и 3). Случай сопротивления, пропорционального любой степени скорости, исследовал И. Бернулли ${}^1$ (1711).

Даламбер ${}^2$ показал, что если $\mathrm{gu}$ означает отношение сопротивления к массе снаряда, то интегрирование выполнимо в следующих случаях:
$$u=a+b{v}^n,u=a+b\ln v,u=a{v}^n+R+b{v}^{-n},u=a(\ln v{)}^n+R\ln v+b,$$

где $a,b,n$ — произвольные постоянные, а $R$ — также постоянная, зависящая от первых трех.

Сиаччи ${}^3$ нашел много других интегрируемых случаев, среди которых мы укажем на следующий:
$$\ln \int vdu=\frac{1}{2}c\int \frac{du}{1+a(u-1{)}^c}-\frac{1}{2}c\int \frac{du}{1+b(u+1{)}^c}+C,$$

где $a,b,c,C$ — произвольные постоянные. Это уравнение определяет $v$ как функцию от $u$; число входящих членов конечно, если $c$ рационально.

Пуассон ${}^4$ обнаружил (1806), что теория особых решений дифференциальных уравнений находит приложение в динамике, в особенности в задачах движения материальной точки под действием сил сопротивления. Уравнение прямолинейного движения материальной точки под действием силы сопротивления, пропорциональной квадратному корню из скорости, имеет вид:
$$\frac{dv}{dt}=-a{v}^{\frac{1}{2}}.$$

Если $c^2$ есть начальная скорость, то пока $t$ не превосходит величины $\frac{2c}{a}$, движение определяетсн общим интегралом
$$v={(c-\frac{1}{2}at)}^2,$$
${}^1$ Opera, т. I, стр. 502
${}^2$ Traite de l’equilibre et du mouvement des fluides, Paris 1714.
${}^3$ Comptes Rendus, т. 132 , стр. 1175,1901
${}^4$ Journ. de L’ecole Polyt., т. 6, тетр. 13, стр. 60.

а после этого оно будет представляться особым решением
$$v=0\text{. }$$

Задачд 1. Тяжелая точка падает вертикально вниз без начальной скорости в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Показать, что путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, равен:
$$\frac{gt}{\mu }-\frac{g}{\mu }+\frac{g}{{\mu }^2}{e}^{-\mu t},$$

где $\mu v$ — сопротивление на единицу массы.
Задача 2. Тяжелая точка падает вертикально вниз без начальной скорости в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости. Показать, что путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, равен:
$$\frac{1}{\mu }\ln \mathrm{ch}\sqrt{g\mu t}$$

где $\mu v^2$ — сопротивление на единицу массы.