Движение снаряда в воздухе дает пример другого вида диссипативных систем, так как сопротивление воздуха зависит от скорости. Нельзя указать общего метода, одинаково применимого для всех задач с такого рода силами. Однако один частный, практически важный случай – движение снаряда под действием силы тяжести и сопротивления, пропорционального некоторой степени скорости, – может быть разрешен следующим способом.

Для малых скоростей (не свыше 30 м/сек) сопротивление воздуха движению снаряда можно с достаточной точностью считать пропорциональным квадрату скорости. Для больших скоростей (примерно 600 м/сек) сопротивление воздуха есть приближенно линейная функция скорости.

Пусть $v$ есть скорость снаряда в момент времени $t, k v^{n}$ – сопротивление на единицу массы, $\vartheta$ – угол наклона траектории относительно горизонтали и $\rho$ – ее радиус кривизны. Компоненты ускорения снаряда по направлениям касательной и нормали к траектории суть $v \frac{d v}{d s}$ и $\frac{v^{2}}{\rho}$. Поэтому уравнениями движения будут:
\[
v \frac{d v}{d s}=-g \sin \vartheta-k v^{n}, \quad \frac{v^{2}}{\rho}=g \cos \vartheta .
\]

Деля первое уравнение на второе, получим:
\[
\frac{1}{v^{n+1}} \frac{d v}{d \vartheta}-\frac{\operatorname{tg} \vartheta}{v^{n}}=\frac{k}{g \cos \vartheta}
\]

или
\[
\frac{d}{d \vartheta}\left(\frac{1}{v^{n}}\right)+\frac{1}{v^{n}} \frac{d}{d \vartheta}\left(n \ln \frac{1}{\cos \vartheta}\right)=-\frac{n k}{g} \frac{1}{\cos \vartheta} .
\]

Интегрирование дает:
\[
\frac{1}{v^{n} \cos ^{n} \vartheta}+\text { const }=-\frac{n k}{g} \int \frac{d \vartheta}{\cos ^{n+1} \vartheta} .
\]

Это уравнение выражает $v$ через $\vartheta$. Из уравнения $v^{2}=\rho g \cos \vartheta$ находим:
\[
g t=-\int \frac{v d \vartheta}{\cos \vartheta}
\]

и так как $v$ есть известная функция от $\vartheta$, то это уравнение определяет $t$ как функцию от $\vartheta$.

Прямоугольные координаты $x$ и $y$ могут быть теперь определены из уравнений:
\[
x=\int v \cos \vartheta d t, \quad y=\int v \sin \vartheta d t .
\]

Таким образом, решение задачи приведено к квадратурам.
Силы сопротивления, пропорциональные $v, v^{2}$ или $a v+b v^{2}$, исследованы Ньютоном (Principia, кн. II, $\S 1,2$ и 3). Случай сопротивления, пропорционального любой степени скорости, исследовал И. Бернулли ${ }^{1}$ (1711).

Даламбер ${ }^{2}$ показал, что если $\mathrm{gu}$ означает отношение сопротивления к массе снаряда, то интегрирование выполнимо в следующих случаях:
\[
u=a+b v^{n}, u=a+b \ln v, u=a v^{n}+R+b v^{-n}, u=a(\ln v)^{n}+R \ln v+b,
\]

где $a, b, n$ – произвольные постоянные, а $R$ – также постоянная, зависящая от первых трех.

Сиаччи ${ }^{3}$ нашел много других интегрируемых случаев, среди которых мы укажем на следующий:
\[
\ln \int v d u=\frac{1}{2} c \int \frac{d u}{1+a(u-1)^{c}}-\frac{1}{2} c \int \frac{d u}{1+b(u+1)^{c}}+C,
\]

где $a, b, c, C$ – произвольные постоянные. Это уравнение определяет $v$ как функцию от $u$; число входящих членов конечно, если $c$ рационально.

Пуассон ${ }^{4}$ обнаружил (1806), что теория особых решений дифференциальных уравнений находит приложение в динамике, в особенности в задачах движения материальной точки под действием сил сопротивления. Уравнение прямолинейного движения материальной точки под действием силы сопротивления, пропорциональной квадратному корню из скорости, имеет вид:
\[
\frac{d v}{d t}=-a v^{\frac{1}{2}} .
\]

Если $c^{2}$ есть начальная скорость, то пока $t$ не превосходит величины $\frac{2 c}{a}$, движение определяетсн общим интегралом
\[
v=\left(c-\frac{1}{2} a t\right)^{2},
\]
${ }^{1}$ Opera, т. I, стр. 502
${ }^{2}$ Traite de l’equilibre et du mouvement des fluides, Paris 1714.
${ }^{3}$ Comptes Rendus, т. 132 , стр. 1175,1901
${ }^{4}$ Journ. de L’ecole Polyt., т. 6, тетр. 13, стр. 60.

а после этого оно будет представляться особым решением
\[
v=0 \text {. }
\]

Задачд 1. Тяжелая точка падает вертикально вниз без начальной скорости в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Показать, что путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, равен:
\[
\frac{g t}{\mu}-\frac{g}{\mu}+\frac{g}{\mu^{2}} e^{-\mu t},
\]

где $\mu v$ – сопротивление на единицу массы.
Задача 2. Тяжелая точка падает вертикально вниз без начальной скорости в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости. Показать, что путь, пройденный точкой к моменту времени $t$, равен:
\[
\frac{1}{\mu} \ln \operatorname{ch} \sqrt{g \mu t}
\]

где $\mu v^{2}$ – сопротивление на единицу массы.