Обозначим наши три материальные точки через $P, Q, R$, их массы – через $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, их взаимные расстояния – через $r_{23}, r_{31}, r_{12}$. Выберем
${ }^{1}$ Движение каждого из тел вокруг центра тяжести, при котором естественно следует учитывать величину и форму тела, исследуя отдельно, например в теории прецессии и нутации. Однако в некоторых случаях (например для спутников больших планет) сжатие тел вызывает настолько значительный эффект, что такое разложение движения становится неуместным.
${ }^{2}$ По истории задачи трех тел, см. A. Gautier, Essai historique sur le probléme des trois corps, Paris, 1817; R. Grant, History of Physical Astronomy from the earliest ages to the middle of the nineteenth century, London $1852 ;$ E.T. Whittaker, Report on the progress of the solution of the Problem of Three Bodies, Brit. Ass. Rep. стр. 121, 1899; E. Lovett, Quart. Journ. Math., т. 42, стр. 252, 1911.

неподвижную прямоугольную систему осей $O x y z$ и пусть $q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}$, $q_{5}, q_{6}, q_{7}, q_{8}, q_{9}$ означают соответствующие координаты точек $P, Q, R$. Система обладает кинетической энергией:
\[
T=\frac{1}{2} m_{1}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\dot{q}_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2} m_{2}\left(\dot{q}_{4}^{2}+\dot{q}_{5}^{2}+\dot{q}_{6}^{2}\right)+\frac{1}{2} m_{3}\left(\dot{q}_{7}^{2}+\dot{q}_{8}^{2}+\dot{q}_{9}^{2}\right) .
\]

Между точками $m_{1}$ и $m_{2}$ действует сила притяжения $r^{2} m_{1} m_{2} r_{12}^{-2}$, где $k^{2}$ означает постоянную закона тяготения. Единицы измерений выберем таким образом, чтобы $k^{2}=1$ и, следовательно, сила притяжения равнялась $m_{1} m_{2} r_{12}^{-2}$. Этой силе в выражении потенциальной энергии соответствует член $-m_{1} m_{2} r_{12}^{-1}$. Система обладает поэтому потенциальной энергией:
\[
\begin{aligned}
V & =-\frac{m_{2} m_{3}}{r_{23}}-\frac{m_{3} m_{1}}{r_{31}}-\frac{m_{1} m_{2}}{r_{12}}= \\
& =-m_{2} m_{3}\left\{\left(q_{4}-q_{7}\right)^{2}+\left(q_{5}-q_{8}\right)^{2}+\left(q_{6}-q_{9}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}- \\
& -m_{3} m_{1}\left\{\left(q_{7}-q_{1}\right)^{2}+\left(q_{8}-q_{2}\right)^{2}+\left(q_{9}-q_{3}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}- \\
& -m_{1} m_{2}\left\{\left(q_{1}-q_{4}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{5}\right)^{2}+\left(q_{3}-q_{6}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Уравнения движений системы имеют вид:
\[
m_{k} \ddot{q}_{r}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 9),
\]

где $k$ – наибольшее число, удовлетворяющее неравенству $k \leqslant \frac{1}{3}(r+2)$. Эта система состоит из девяти дифференциальных уравнений второго порядка и, следовательно, имеет восемнадцатый порядок.
Полагая
\[
m_{k} \dot{q}_{r}=p_{r} \quad(r=1,2, \ldots, 9)
\]

и
\[
H=\sum_{r=1}^{9} \frac{p_{r}^{2}}{2 m_{k}}+V,
\]

мы приведем систему к каноническому виду:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, 9) .
\]

Таким образом, для определения переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{9}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{9}$ мы получили 18 дифференциальных уравнений первого порядка.

Лагранж $^{1}$ показал, что эта система может быть приведена к системе шестого порядка.
${ }^{1}$ Recueil des piéces qui ont remporté les prix de l’Acad. de Paris, т. 9, 1772. Ecтественно, Лагранж не приводит систему к гамильтоновой форме. Об улучшенном приведении лагранжевой системы см. Bohlin, Kongl. Sv. Vet.-Handl., т. 42, № 9, 1907.

Что такое приведение действительно возможно, заключаем из следующих соображений.

С одной стороны, так как кроме сил взаимного притяжения на систему не действуют никакие силы, то центр тяжести системы движется прямолинейно и равномерно. Это обстоятельство выражается шестью интегралами:
\[
\begin{array}{c}
p_{1}+p_{4}+p_{7}=a_{1}, \\
p_{2}+p_{5}+p_{8}=a_{3}, \\
p_{3}+p_{6}+p_{9}=a_{5}, \\
m_{1} q_{1}+m_{2} q_{4}+m_{3} q_{7}-\left(p_{1}+p_{4}+p_{7}\right) t=a_{2}, \\
m_{1} q_{2}+m_{2} q_{5}+m_{3} q_{8}-\left(p_{2}+p_{5}+p_{8}\right) t=a_{4}, \\
m_{1} q_{3}+m_{2} q_{6}+m_{3} q_{9}-\left(p_{3}+p_{6}+p_{9}\right) t=a_{6},
\end{array}
\]

где $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{6}$ – постоянные. Можно, следовательно, ожидать, что при помощи этих интегралов возможно понизить порядок системы до двенадцати.

С другой стороны, моменты количества движения тел относительно осей координат остаются во все время движения постоянными. Это обстоятельство выражается аналитически уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1}+q_{4} p_{5}-q_{5} p_{4}+q_{7} p_{8}-q_{8} p_{7}=a_{7}, \\
q_{2} p_{3}-q_{3} p_{2}+q_{5} p_{6}-q_{6} p_{5}+q_{8} p_{9}-q_{9} p_{8}=a_{8}, \\
q_{3} p_{1}-q_{1} p_{3}+q_{6} p_{4}-q_{4} p_{6}+q_{9} p_{7}-q_{7} p_{9}=a_{9},
\end{array}
\]

где $a_{7}, a_{8}, a_{9}$ также постоянны. При помощи этих трех интегралов мы можем понизить порядок системы с двенадцати до девяти. Но если за одну из координат принять азимут $\varphi$ одного из тел относительно какойнибудь неподвижной оси (например оси $O z$ ), а остальные координаты выбрать так, чтобы они определяли положение системы относительно плоскости с этим азимутом, то координата $\varphi$ будет циклической, и соответствующий ей интеграл, являющийся одним из интегралов моментов, дает возможность понизить порядок системы на две единицы. Этим способом система уравнений движения может быть приведена к восьмому порядку. Это положение, содержащееся в скрытой форме в вышецитированном исследовании Лагранжа, впервые высказано в явной форме Якоби ${ }^{1}$ в 1843 г. Такое приведение системы обычно называют исключением узла.

Наконец, так же как и в $\S 42$, можно при помощи интеграла энергии и исключения времени понизить порядок системы еще на три единицы.
${ }^{1}$ Journ. f. Math., т. 26, стр. 115. С точки зрения теории уравнений с частными производными мы можем это обстоятельство высказать так, что интегралы моментов дадут начало системе в инволюции, состоящей из двух функций, находящихся в инволюции относительно $H$ и между собой. Поэтому уравнение с частными производными Гамильтона-Якоби с 6 независимыми переменными может быть приведено к уравнению с $6-2=4$ независимыми переменными, а именно к уравнению Гамильтона-Якоби приведенной системы.

Уравнения движения могут быть, следовательно, приведены к системе шестого порядка.