1. Показать, что при движении точки по эллипсу под действием двух центров, притягивающих по закону Ньютона, движение устойчиво. (Новиков.)
2. ‘І’очка массы 1 движется свободно на плоскости под действием нескольких притягивающих центров по закону Ньютона. Пусть $V(x, y)$ означает полную потенциальную энергию точки. Показать, что интеграл:
\[
\frac{1}{2 \pi} \iint\left[\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) \ln \{h-V(x, y)\}\right] d x d y
\]
распространенный на площадь, ограниченную периодической траекторией с постоянной энергией $h$ (причем центры сил должны быть исключены из области интегрирования при помощи окружностей сколь угодно малых радиусов), равен уменьшенному на две единицы числу центров, заключенных внутри траектории. (Monthly Notices R. A. S., т. 62 , стр. 186.)
3. Семейство плоских траекторий определяется дифференциальным уравнением:
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\varphi(x, y),
\]
где $x$ и $y$ – текущие прямоугольные кординаты точки на траектории. Пусть $\delta n$ означает нормальное отклонение точки $(x, y)$ от некоторой смежной траектории семейства. Показать, что $\delta n$ удовлетворяет уравнению:
\[
\frac{d^{2} \delta n}{d t^{2}}+I \delta n=0,
\]
где
\[
I=\left\{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right\}\left(-\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\{\varphi(x, y)\}^{2},
\]
и переменная $t$ определяется уравнением:
\[
\frac{d x}{d t}=1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} .
\]
(Sheepshanks Astron. Exam.)
4. Точка движется под действием отталкивающего центра. Показать, что траектории всегда имеют гиперболический характер и никогда не окружают центра сил. Показать далее, что асимптоты не проходят через центр сил, если работа, необходимая для приведения точки в ее положение из бесконечности, конечна и что если эта работа бесконечна, то асимптоты проходят через центр сил и продолжительность всего движения может быть конечной. (Schouten.)
5. Показать, что при движении точки на покоящейся гладкой поверхности под действием силы тяжести кривая, отделяющая притягивающую область от отталкивающей, складывается из контура, получающегося при проектировании поверхности на горизонтальную плоскость, и геометрического места точек, в которых направление асимптотических линий горизонтально.
6. Точка свободно движется в пространстве под действием двух ньютоновых центров притяжения. Показать, что когда постоянная энергии имеет отрицательное значение, точка описывает спираль вокруг линии центров, расположенную внутри трубки, образованной двумя эллипсоидами вращения и двумя гиперболоидами вращения с общими фокусами в центре сил. Показать далее, что когда постоянная энергии равна нулю или положительна, точка описывает спираль, расположенную внутри области, образованной одним эллипсоидом и двумя уходящими в бесконечность полостями гиперболоидов той же самой софокусной системы. (Bonacini.)
7. Показать, что для того чтобы семейство из $\infty^{2}$ кривых, определяемых дифференциальным уравнением
\[
y^{\prime \prime}=\varphi\left(x, y, y^{\prime}\right),
\]
представляло собой семейство траекторий динамической системы, определяемой уравнениями движения:
\[
\begin{aligned}
\dot{x}+\lambda(x, y) \dot{y} & =\frac{\partial \mu(x, y)}{\partial x}, \\
\dot{y}-\lambda(x, y) \dot{x} & =\frac{\partial \mu(x, y)}{\partial y},
\end{aligned}
\]
необходимо и достаточно, чтобы величина:
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial y^{\prime}}-\frac{3 \varphi y^{\prime}}{1+y^{\prime 2}}
\]
была полной производной функции от $x$ и $y$ по $x$. (P. Frank и K. Ogura.)
8. Точка движется в плоскости под действием силы, зависящей только от положения. Ей сообщают в заданном положении всевозможные скорости в заданном направлении и получают, таким образом, семейство из $\infty^{1}$ траекторий. Показать, что геометрическое место фокусов соприкасающихся парабол есть окружность, проходящая через заданную точку. Показать далее, что если направление скорости изменять, то геометрическое место центров $\infty^{1}$ этих окружностей есть коническое сечение с фокусом в заданной точке, переходящее в двойную прямую, когда действующая сила консервативна.
9. Для того чтобы семейство из $\infty^{5}$ пространственных кривых, из которых через каждую точку в каждом направлении проходит $\infty^{1}$ кривых, представляло собой семейство траекторий в произвольном поле сил, зависящих только от положения, необходимо (но не достаточно), чтобы:
$\alpha$ ) соприкасающиеся плоскости $\infty^{2}$ кривых, проходящих через данную точку, проходили через одну прямую;
$\beta$ ) центры соприкасающихся шаров $\infty^{1}$ кривых, проходящих через данную точку в данном направлении, лежали на одной прямой.
10. Показать, что $\infty^{2}$ кривых натурального семейства, ортогональных к произвольной поверхности, ортогональны к $\infty^{1}$ поверхностям, т. е. образуют конгруэнцию нормалей. (Эти поверхности суть поверхности равного действия.) (Hamilton.)
11. Показать, что свойством, указанным в задаче 10 , обладают только натуральные системы.
12. Семейство из $\infty^{4}$ кривых тогда и только тогда является натуральным семейством траекторий, когда:
$\alpha$ ) соприкасающиеся окружности в какой-нибудь точке $p$ всех кривых, проходящих через эту точку, имеют еще одну общую точку $P$; вследствие этого три из этих соприкасающихся окружностей имеют касание третьего порядка;
$\beta)$ эти три окружности взаимно ортогональны.
13. Единственные точечные преобразования, преобразующие всякое натуральное семейство в натуральное же, суть те, которые принадлежат конформной группе.
[Задачи 8, 9, 11, 12 и 13 заимствованы из мемуаров Каснера (Kasner, Trans. of the Amer. Math. Soc., 1906-1909). Относительно дальнейшей литературы в этом направлении см. Kasner, Differential Geometric Aspects of Dynamics (Princeton Colloquium Lectures).]
14. Два однократно-бесконечных семейства кривых, образующих ортогональную систему, являются траекториями в определенном консервативном поле сил. Пусть $U$ означает действие материальной точки в положении $(x, y)$ при ее движении по кривой первого семейства, а $V-$ действие при движении по кривой второго семейства. Показать, что $U$ и $V$ суть сопряженные функции от $x$ и $y$ и что семейства $U$-const и $V$-const совпадают с семейством траекторий. (P. G. Tait и K. Ogura.)
