Допустим теперь, что система допускает интеграл вида:
\[
F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\text { const },
\]

где $F$ – однозначная функция от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, не содержащая $t$. Тогда в обозначениях $\S 173$ будем иметь:
\[
F\left\{\varphi_{i}(0)+\beta_{i}+\psi_{i}\right\}=F\left\{\varphi_{i}(0)+\beta_{i}\right\},
\]

где для краткости вместо $F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ пишется просто $F\left(x_{i}\right)$. Дифференцируя это равенство по $\beta_{i}$, получим:
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{1}} \frac{\partial \psi_{1}}{\partial \beta_{i}}+\frac{\partial F}{\partial x_{2}} \frac{\partial \psi_{2}}{\partial \beta_{i}}+\cdots+\frac{\partial F}{\partial x_{n}} \frac{\partial \psi_{n}}{\partial \beta_{i}}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где в выражениях $\frac{\partial F}{\partial x_{1}}, \frac{\partial F}{\partial x_{2}}, \ldots, \frac{\partial F}{\partial x_{n}}$ величины $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ следует заменить величинами $\varphi_{1}(0), \varphi_{2}(0), \ldots, \varphi_{n}(0)$. Из этих уравнений вытекает, что либо якобиан $\frac{\partial\left(\psi_{1}, \psi_{2}, \ldots, \psi_{n}\right)}{\partial\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)}$ равен нулю, либо все величины $\frac{\partial F}{\partial x_{1}}, \frac{\partial F}{\partial x_{2}}, \ldots, \frac{\partial F}{\partial x_{n}}$ обращаются в нуль при $t=0$.

Если имеет место последний случай, то для всех точек периодической траектории должны удовлетворяться уравнения:
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{1}}=0, \quad \frac{\partial F}{\partial x_{2}}=0, \quad \ldots, \quad \frac{\partial F}{\partial x_{n}}=0,
\]

так как начальный момент времени может быть выбран произвольно. Этот случай действительно может иногда представиться. Он будет, например, иметь место для круговых периодических траекторий планеты, находящейся под действием одной притягивающей массы в общей теории относительности. В самом деле, из уравнений $\S 170,3$, полагая $\rho=\frac{1}{1-\frac{\alpha}{r}} \frac{d r}{d t}$, легко находим зависимость между $r$ и $t$ в виде системы дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \rho}{d t}=\frac{\alpha \rho^{2}}{2 r^{2}}-\frac{1}{2} \frac{\alpha c^{2}}{r^{2}}+\frac{\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)^{2}}{r^{3}} \frac{c^{4}}{k^{2}} \\
\frac{d r}{d t}=\rho\left(1-\frac{\alpha}{r}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения допускают однозначный интеграл:
\[
\frac{\rho^{2}}{c^{4}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)}-\frac{1}{c^{2}\left(1-\frac{\alpha}{r}\right)}+\frac{1}{k^{2} r^{2}}=\frac{\beta}{k^{2}} .
\]

Написав этот интеграл в виде $F(\rho, r)=$ const, легко находим, что для круговой траектории выполняются условия:
\[
\frac{\partial F}{\partial \rho}=0, \quad \frac{\partial F}{\partial r}=0,
\]
т. е. условия (1).

Тем не менее случай, когда условия (1) выполняются для всех точек периодической траектории, встречается весьма редко и его следует рассматривать как исключение. Таким образом, мы должны предположить, что якобиан обращается в нуль. Но тогда, очевидно, детерминантное уравнение, определяющее характеристические показатели, удовлетворяется при $e^{\alpha T}=1$, т. е. при $\alpha=0$. Следовательно, если дифференциальные уравнения допускают однозначный интеграл, то, за исключением некоторых особых случаев, один из характеристических показателей равен нулю.

Другой способ доказательства этой теоремы в случае, когда дифференциальные уравнения имеют вид уравнений динамики, заключается в следующем.
Согласно $\S 144$, если система допускает интеграл:
\[
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)=\text { const },
\]

то уравнения в вариациях удовлетворяются значениями:
\[
\delta q_{r}=\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial p_{r}}, \quad \delta p_{r}=-\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial q_{r}}, \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $\varepsilon$ – малая постоянная величина. Но эти значения $\delta q_{r}$ и $\delta p_{r}$ будут периодическими, если траектория, для которой берутся вариации, является периодической. Поэтому соответствующий характеристический показатель обращается в нуль, чем теорема и доказывается. Исключение будет тогда, когда контактное преобразование, соответствующее рассматриваемому интегралу, преобразует периодическую траекторию в самое себя. Мы снова приходим, таким образом, к особым периодическим траекториям.
ЗАдАчА 1. Показать, что если дифференциальные уравнения не содержат явно времени и допускают $p$ однозначных интегралов $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{p}$, не содержащих явно $t$, то либо $p+1$ характеристических показателей равны нулю, либо все детерминанты, содержащиеся в таблице
\[
\left\|\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{k}}\right\| \quad(i=1,2, \ldots, p ; k=1,2, \ldots, n),
\]

обращаются в нуль во всех точках рассматриваемой периодической траектории.