Рассмотрим систему материальных точек, движение которых либо совершенно свободно, либо подчинено определенным ограничениям. Эти ограничения могут быть вызваны либо связями, существующими между точками самой системы, либо связями между точками системы и точками, к этой системе не принадлежащими. Пусть точка массы $m$ имеет при определенной конфигурации системы прямоугольные координаты $x, y, z$ и пусть компоненты равнодействующей силы, приложенной к ней, суть $X, Y, Z$. Обозначим через $x+\delta x, y+\delta y, z+\delta z$ координаты точки, бесконечно близкой к точке $(x, y, z)$, в которую последняя может быть переведена без нарушения связей, наложенных на систему. (Если, например, связь заключается в том, что точка $m$ должна все время оставаться на некоторой поверхности.) Тогда выражение
\[
X \delta x+Y \delta y+Z \delta z
\]

называется работой ${ }^{2}$ сил, действующих на точку $m$, на бесконечно малом перемещении из положения $(x, y, z)$ в положение $(x+\delta x$, $y+\delta y, z+\delta z)$.

Очевидно, это выражение может быть физически истолковано как произведение отрезка, на который перемещается точка, на компонент силы по этому направлению.
${ }^{1}$ Сила соответствует vis motrix у Ньютона(Principia I, def. 8).
${ }^{2} \mathrm{Hьютон} \mathrm{определяет} \mathrm{«actio} \mathrm{agentis»} \mathrm{как} \mathrm{произведение} \mathrm{скорости} \mathrm{на} \mathrm{компонент} \mathrm{силы}$ по направлению движения; очевидно, что оно является производной от работы по времени. См. Principia, т. I, стр. 25, изд. 1687 г.

Так как силы складываются векторно, то сумма компонентов какого угодно числа сил, приложенных к одной точке, по какому угодно направлению равна компоненту равнодействующей по этому же направлению. Поэтому работа силы, приложенной к какой-нибудь точке, при некотором заданном перемещении равна сумме работ при этом же перемещении всех сил, на которые может быть разложена данная сила.

Допустим, что при движении системы материальная точка $m$ перешла из произвольно выбираемого начального положения в некоторое конечное положение, отстоящее от начального на конечном расстоянии. Тогда под работой сил на этом конечном перемещении мы будем понимать сумму работ этих сил на всех бесконечно малых перемещениях, на которые можно мыслить разложенным конечное перемещение. Эта работа выражается, следовательно, интегралом
\[
\int\left(X \frac{d x}{d s}+Y \frac{d y}{d s}+Z \frac{d z}{d s}\right) d s
\]

распространенным на отрезок $s$ траектории точки от ее начального до конечного положений.

Эти определения могут быть распространены и на всю систему материальных точек. Допустим, что все точки системы получают какиенибудь перемещения, не нарушающие условий связей, тогда под работой произведенной системой при этом движении, мы будем понимать сумму работ всех приложенных к ней сил.