Пользуясь принципом наименьшего действия, можно сделать интересное преобразование движения естественной динамической системы с двумя степенями свободы. Пусть система имеет кинетическую энергию
\[
\frac{1}{2}\left\{a_{11}\left(q_{1}, q_{2}\right) \dot{q}_{1}^{2}+2 a_{12}\left(q_{1}, q_{2}\right) \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+a_{22}\left(q_{1}, q_{2}\right) \dot{q}_{2}^{2}\right\}
\]

и потенциальную энергию $\psi\left(q_{1}, q_{2}\right)$. По $\S 100$ траектории, принадлежащие к системам решений с общей энергией $h$, определены тем условием, что интеграл
\[
\int\left(a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}\right) d t
\]

стационарен для любого отрезка действительной траектории по сравнению с кривыми, имеющими те же самые концы, и для $d t$, связанного с дифференциалами координат уравнением:
\[
\frac{1}{2}\left(a_{11} \dot{q}_{1}^{2}+2 a_{12} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+a_{22} \dot{q}_{2}^{2}\right)+\psi\left(q_{1}, q_{2}\right)=h .
\]

Поэтому интеграл
\[
\int(h-\psi)^{\frac{1}{2}}\left(a_{11} d q_{1}^{2}+2 a_{12} d q_{1} d q_{2}+a_{22} d q_{2}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}
\]

стационарен. Это выражает принцип наименьшего действия для движения по инерции материальной точки на любой поверхности, линейный элемент которой задан выражением:
\[
d s^{2}=(h-\psi)\left(a_{11} d q_{1}^{2}+2 a_{12} d q_{1} d q_{2}+a_{22} d q_{2}^{2}\right),
\]

и определяет поэтому геодезические линии этой поверхности. Уравнения траекторий данной динамической системы совпадают, следовательно, с уравнениями геодезических линий на этой поверхности.
ЗадАчА 1. Доказать, что параболические траектории свободной тяжелой точки соответствуют геодезическим линиям на определенной поверхности вращения.

ЗадАчА 2. Показать, что траектории, описываемые точкой плоскости под действием центральной силы $\varphi^{\prime}(r)$, соответствуют геодезическим линиям поверхности вращения, меридианная кривая которой имеет уравнение $z=f(\rho)$, где
\[
f^{\prime}(\rho)=\left\{\left(\rho \frac{d r}{r d \rho}\right)^{2}-1\right\}^{\frac{1}{2}},
\]

а $r$ и $\rho$ связаны соотношением:
\[
\rho^{2}=r^{2}\{-\varphi(r)+h\} .
\]