Все ряды, рассмотренные в предыдущем параграфе, обладают тем недостатком, что они не дают никаких явных указаний о характере движения по истечении большого интервала времени и не проливают свет на число и вид различных возможных для системы движений. Кроме того действительное выполнение всех связанных с этими рядами вычислений сопряжено с большими трудностями. Вследствие этого мы переходим сейчас к рассмотрению рядов совершенно иного вида.
${}^1$ Этот последний факт был известен Вейерштрассу. Cм. Acta Math., т. 35, стр. 55. В этом случае движение происходит в плоскости.
2 Для ограниченной задачи трех тел Армелини (Comptes Rendus, т. 158, стр. 253,1914$)$ предложил более простое уравнение.

Рассмотрим задачу колебательного движения математического маятника ( $\mathrm{\S }44$ ) и заменим эллиптическую функцию, входящую в ее решение, ее тригонометрическим разложением ${}^1$. Будем иметь:
$$\sin \frac{1}{2}\vartheta =\frac{2\pi }{K}\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{\frac{1}{2}(2s-1)}}{1-q^{2s-1}}\sin \frac{(2s-1)\pi \mu (t-t_0)}{2K},$$

где $\vartheta$ означает угол наклона маятника относительно вертикали ко времени $t,K$ и $t_0$ — произвольные постоянные интегрирования, $\mu$ — определенная постоянная и $q=e^{-\frac{\pi K^{\prime }}{K}}$, где $K^{\prime }-$ дополнительный к $K$ полный эллиптический интеграл. Это разложение, в котором каждый член есть тригонометрическая функция от $t$ справедливо для всех значений времени. Если постоянная $q$ не велика, то уже первые члены этого ряда достаточно точно представляют движение для всех значений $t$. Такого же характера тригонометрическое разложение может быть получено и для кругового движения маятника.

Если мы обратимся к небесной механике, то мы увидим, что там уже давно пользовались тригонометрическими рядами как наилучшим способом для выражения координат отдельных членов солнечной системы. Эти ряды имеют вид:
$$\sum a_{n_1,n_2,\dots ,n_k}\cos (n_1{\vartheta }_1+n_2{\vartheta }_2+\cdots +n_k{\vartheta }_k),$$

где суммирование распространяется на все положительные и отрицательные значения величин $n_1,n_2,\dots ,n_k,{\vartheta }_r$ имеет вид ${\lambda }_{r}t+{\epsilon }_r$, и величины $\alpha ,\lambda ,\epsilon$ суть постоянные. Делоне (Delaunay) ${}^2$ показал в 1860 г., что такого рода рядами могут быть представлены координаты Луны. Аналогичный результат получил Ньюком (Newcomb) ${}^3$ и для координат планет, а целый ряд последующих исследователей ${}^4$ применили этот метод к решению общей задачи трех тел. Этот метод может быть распространен и на другие динамические системы, для которых уравнения движения имеют вид, аналогичный с уравнениями движения задачи трех тел. В нижеследующих параграфах мы излагаем метод ${}^5$, приводящий к тригонометрическим рядам и пригодный для всех динамических систем.
1 Уиттекер и Ватсон, Современный анализ, $\mathrm{\S }22,6$.
${}^2$ Theorie du mouvement de la lune, Paris 1860 .
${}^3$ Smithsonian Contributions, 1874.
${}^4$ Например, Линдстед (Lindstedt), Тиссеран (Tisserand) и Пуанкаре.
${}^5$ Whittaker, Proc. Lond. Math. Soc., т. 34. стр. 206, 1902; Proc. R. S. E., т. 37. стр. 95, 1916.