Метод устранения уничтожающихся делителей из родственного интеграла, изложенный в двух предыдущих параграфах, не приводит к цели, когда среди членов третьего порядка функции $H$ содержится член $\mathrm{c} \cos \left(s_{2} p_{1}-s_{1} p_{2}\right)$. Этот член вводит уничтожающийся делитель в $\varphi_{3}$, и произвольные члены, которыми мы пользовались для устранения уничтожающихся делителей, не могут быть выбраны таким образом, чтобы устранить уничтожающийся делитель из $\varphi_{3}$.

В этом случае мы должны будем воспользоваться другим методом (совместно с методом § 201), который заключается в следующем. Допустим, что интеграл системы дифференциальных уравнений в переменных $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$ имеет вид:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)+\frac{g\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)}{\mu}=\gamma,
\]

где $\gamma$ – произвольная постоянная, а $\mu$ – определенная постоянная, образованная из величин, входящих в дифференциальное уравнение. Интеграл в этом виде теряет смысл, когда $\mu$ стремится к нулю. Но мы можем из него получить интеграл, который будет иметь смысл и тогда, когда $\mu \rightarrow 0$, если мы предположим сначала, что $\mu$ отлично от нуля, умножим обе части этого интеграла на $\mu$ и затем в полученном равенстве
\[
\mu f\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)+g\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=\mu \gamma
\]

будем приближать $\mu$ к нулю. Таким образом получится:
\[
g\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=c,
\]

где $c$ означает $\lim _{\mu \rightarrow 0}(\mu \gamma)$. Это и есть искомая форма интеграла.
Наш случай не так прост, ибо обращающаяся в нуль величина входит не только в (-1)-й степени, а в виде бесконечного ряда, содержащего все отрицательные степени.

Мы можем, однако, воспользоваться следующим приемом. При помощи метода § 201 мы можем исключить все отрицательные степени уничтожающейся величины, за исключением ( -1 )-й, а ( -1 )-ю степень мы можем исключить методом настоящего параграфа.