Результат, полученный в § 137, дает также возможность определить преобразования всей совокупности $2 n+1$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$ в новые переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, T$, при которых система Гамильтона:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]
переходит снова в гамильтонову систему:
\[
\frac{d Q_{r}}{d T}=\frac{\partial K}{\partial P_{r}}, \quad \frac{d P_{r}}{d T}=-\frac{\partial K}{\partial Q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]
В самом деле, эта задача эквивалентна задаче определения преобразований, переводящих дифференциальную форму:
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\cdots+p_{n} d q_{n}+h d t,
\]
у которой переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, h, t$ связаны соотношением:
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)+h=0
\]
в дифференциальную форму:
\[
P_{1} d Q_{1}+P_{2} d Q_{2}+\cdots+P_{n} d Q_{n}+k d T+\text { полный дифференциал, }
\]
в которой переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, k, T$ связаны соотношением:
\[
K\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, T\right)+k=0 .
\]
Этому условию удовлетворяет всякое контактное преобразование $2 n+2$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, h$ в переменные $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, T, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, k$. Если такое преобразование составлено, то функцию $K$ можно определить, заменяя в уравнении
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t\right)+h=0
\]
величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, t, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, h$ их выражениями через $Q_{1}$, $Q_{2}, \ldots, Q_{n}, T, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, k$ и разрешая это уравнение относительно $k$. Полученное уравнение будет вида:
\[
K\left(Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}, P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}, T\right)+k=0,
\]
и искомое преобразование полностью определится.
