Преодолев в § 201-204 затруднения, вызванные наличием членов с уничтожающимися делителями в родственных интегралах в случаях 2 и 3 , мы можем использовать эти интегралы для завершения интеграции динамической системы так же, как мы это сделали в § 199 для случая 1. Мы получим, таким образом, разложения для координат, как функций от времени во всех случаях. Но эти разложения будут совершенно различными в зависимости от того, какому из этих трех случаев соответствует данная динамическая система. Этим результатом объясняется теорема Пуанкаре, что ряды Небесной Механики не могут сходиться равномерно при всех значениях постоянных, лежащих в некоторых пределах. Ряды, которыми занимался Пуанкаре, принадлежат к типу, отнесенному нами к случаю 1 , и мы видели, что если $s_{1}$ и $s_{2}$ изменять непрерывно, эти ряды должны быть заменены рядами, соответствующими случаям 2 или 3 всякий раз, когда отношение $\frac{s_{1}}{s_{2}}$ переходит от иррациональных значений к рациональным. Выгодность решения при помощи родственных интегралов заключается в том, что вид родственного интеграла, соответствующий каждому из трех случаев, может быть легко определен. Таким образом, затруднения устраняются, если для получения выражений координат как функции от времени воспользоваться родственными интегралами.

Относительно дальнейших исследований по вопросу об общем решении уравнений динамики следует указать на важные мемуары Черри, опубликованные в 1924-1927 гг. в «Proc. Camb. Phil. Soc.», «Trans. Camb. Phil. Soc.» и «Proc. Lond. Math. Soc.», а также работы Б. Б. Бекера и Э. Б. Росса (Е. B. Ross) в «Proc. Edin. Math. Soc.», т. 39-41, 1921-1923.