Для того, чтобы конфигурацию колеблющейся системы представить как функцию времени, определим сначала нормальные координаты системы и выразим через них кинетическую и потенциальную энергии. Мы получим для них выражения:
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\dot{q}_{2}^{2}+\cdots+\dot{q}_{n}^{2}\right), \quad V=\frac{1}{2}\left(\lambda_{1} q_{1}^{2}+\lambda_{2} q_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n} q_{n}^{2}\right),
\]
где $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ – нормальные координаты, а $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ – корни детерминантного уравнения $\left\|a_{r s} \lambda-b_{r s}\right\|=0$, которые согласно предыдущему являются все действительными.
Уравнение Лагранжа
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}}
\]
для какой-нибудь координаты $q_{r}$ принимает вид:
\[
\ddot{q}_{r}+\lambda_{r} q_{r}=0 .
\]
Это уравнение имеет интегралы:
\[
\begin{array}{ll}
q_{r}=A_{r} \cos \left(\sqrt{\lambda_{r}} t+B_{r}\right) & \text { при } \lambda_{r}>0, \\
q_{r}=A_{r} t+B_{r} & \text { при } \lambda_{r}=0, \\
q_{r}=A_{r} e^{\sqrt{-\lambda_{r}} t}+B_{r} e^{-\sqrt{-\lambda_{r}} t} & \text { при } \lambda_{r}<0,
\end{array}
\]
где $A_{r}$ и $B_{r}$ – постоянные интегрирования.
Из этих интегралов заключаем: если в начале движения все нормальные координаты за исключением одной, например $q_{r}$, равны нулю, а постоянная $\lambda$, соответствующая этой неуничтожающейся координате, положительна, то система совершает колебания, при которых изменяется только $q_{r}$. Кроме того, система принимает первоначальное положение по истечении промежутка времени $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda r}}$. Это обстоятельство высказывают обычно следующим образом: каждой нормальной координате $q_{r}$, для которой соответствующая постоянная $\lambda$ положительна, отвечает независимый вид колебаний системы с периодом $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda r}}$.
Если система отнесена к другим любым координатам, не являющимся нормальными, то эти новые координаты являются линейными функциями нормальных. Колебания, соответствующие отдельным нормальным координатам, совершенно независимы друг от друга. Поэтому всякое мыслимое колебание системы может быть рассматриваемо как результат наложения $n$ независимых нормальных колебаний. В этом заключается теорема о сложении колебаний, высказанная впервые Д. Бернулли ${ }^{1}$.
Если не все величины $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ положительны, то, как это вытекает из вышенаписанных интегралов, нормальные координаты $q_{r}$, которым соответствуют неположительные корни $\lambda_{r}$, при малом отклонении системы от положения равновесия не колеблются около их нулевых значений. Напротив, эти координаты, вообще говоря, возрастают таким образом, что наше предположение, положенное в основу всего исследования (предположение о возможности пренебрегать высшими степенями координат), делается необоснованным. В этом случае вообще нет никаких колебаний. Положение равновесия называется тогда неустойчивым. Но если отклонение от положения равновесия произведено таким образом, что оно не затрагивает нормальных координат,
${ }^{1}$ Histoire de l’Academie de Berlin, annee 1753, стр. 147.
соответствующих неположительным корням, то система совершает колебания, при которых остальные нормальные координаты колеблются около их нулевых значений.
Колебания, соответствующие нормальным координатам с положительными значениями корней $\lambda_{r}$ называются устойчивыми. Согласно изложенному в предыдущих параграфах, для того, чтобы положение равновесия было устойчивым, необходимо, чтобы потенциальная энергия колеблющейся системы была определенной положительной формой.
Этот результат можно также получить из интеграла энергии
\[
T+V=h .
\]
Здесь $T$ и $V$ – квадратичные формы, представляющие соответственно кинетическую и потенциальную энергии, а $h$ – некоторая постоянная. Если первоначальное отклонение от положения равновесия мало, то величина $h$ будет также малой. Но $T$ есть определенная положительная форма; если теперь $V$ – также определенная и положительная форма, то каждая из форм $T$ и $V$ должна быть меньше $h$; поэтому обе эти формы должны сохранять в течение всего движения малое значение. Следовательно, система не отклоняется значительно от положения равновесия, т. е. положение равновесия устойчиво.
