Теория последнего множителя тесно связана с теорией интегральных инвариантов, порядок которых совпадает с порядком системы.
Пусть
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r} \quad(r=1,2, \ldots, k),
\]

где $X_{r}$ — данные функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t$, есть некоторая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Какому условию должна удовлетворять функция $M$ от $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}, t$, для того чтобы величина
\[
\iint \ldots \int M \delta x_{1} \delta x_{2} \ldots \delta x_{k}
\]

была интегральным инвариантом.
Пусть $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}$ означают произвольную систему постоянных интегрирования наших дифференциальных уравнений, так что после их разрешения величины $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}$ могут быть представлены как функции от $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}, t$. Тогда
\[
\int \ldots \int M \delta x_{1} \delta x_{2} \ldots \delta x_{k}=\iint \ldots \int M \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\right)} \delta c_{1} \delta c_{2} \ldots \delta c_{k} .
\]

Поэтому условием инвариантности будет:
\[
\frac{d}{d t}\left\{M \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\right)}\right\}=0
\]

или
\[
\frac{d M}{d t} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\right)}+M \sum_{r=1}^{k} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{r-1}, X_{r}, x_{r+1}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\right)}=0,
\]

или
\[
\frac{d M}{d t} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\right)}+M \sum_{r=1}^{k} \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{r}} \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)}{\partial\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}\right)}=0,
\]

или
\[
\frac{d M}{d t}+M \sum_{r=1}^{k} \frac{\partial X_{r}}{\partial x_{r}}=0 .
\]

Последнее уравнение показывает, что $M$ есть последний множитель для рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

Этот результат приводит непосредственно к следующей теореме: Если движение динамической системы определяется уравнениями:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $H$ — произольная функиия переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots$, $p_{n}, t$, то выражение
\[
\iint \ldots \int \delta q_{1} \delta q_{2} \ldots \delta q_{n} \delta p_{1} \delta p_{2} \ldots \delta p_{n}
\]

есть интегральный инвариант этой системы. В самом деле, последний множитель в этом случае равен единице. Эта теорема имеет важное значение в приложениях динамики к термодинамике.
ЗадАчА. В системе с двумя степенями свободы интеграл энергии, разрешенный относительно $p_{1}$, имеет вид:
\[
H^{\prime}\left(q_{1}, q_{2}, p_{2}, h\right)+p_{1}=0 .
\]

Показать, что для всех траекторий, соответствующих одному и тому же значению постоянной интегрирования, величина
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial h} \delta q_{1} \delta q_{2} \delta p_{2}
\]

не зависит от времени и от выбора координат. Показать далее, что траектории могут быть рассматриваемы как линии тока в стационарном движении жидкости, имеющей плотность $\frac{\partial H^{\prime}}{\partial h}$.